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【摘 要】本文介绍了微积分中的极限思想与其重要性，并详细论述在教学中如何运用极限思想建构微积分中的基本概念.
【关键词】微积分；极限思想；基本概念
微积分作为大学生的一门必修基础课，旨在培养学生的数学素养，并为后续专业课程的学习打好基础，在提高高等教育质量的工作中起着举足轻重的作用.数学教育研究表明，尽管学生能计算函数的极限、导数和积分，但他们往往并不能很好地理解其基本概念以及概念与概念之间的联系.Davis 和 Vinner [1]的研究证实，学生未能解释为什么极限的概念是微积分的基本概念，未能讲出极限概念在微积分中所起的作用，对于极限与连续、导数等其它概念之间的联系也不甚了解，而建立完善的概念关系对于透彻理解微积分基本概念是十分必要的.朱卫民[2]发现，有相当一部分学生对极限、连续和导数的理解彼此孤立，对它们两两之间的联系不甚了解，有相当多的学生甚至认为是利用连续性来定义极限的.事实上，极限是建立连续、导数、积分、级数等微积分基本概念的基础，因此，我们认为充分理解微积分的基本概念就需弄清楚什么是极限与极限思想以及我们是怎样通过极限思想来建构微积分的基本概念的。
一、什么是极限与极限思想
极限思想在古希腊的穷竭法和中国古代的割圆术中已经萌芽.但是，直到19世纪初，人们对极限的理解还没有摆脱几何直观.直到1821年，法国数学家柯西才把极限概念建立在算术的基础上.他把极限定义为：若变量的一串数值无限地趋向某一定值时，其差可以随意地小，则该定值称为这一串数值的极限.19世纪70年代，德国的维尔斯特拉斯等人在数学分析的算术化过程中，进一步用ε-N语言更精确地把极限概念表述为：如果序列x1，x2…xn…对于任意给定的无论怎样小的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，不等式|xn-a|<ε恒成立，则称数a为该序列的极限.即极限的概念的建立经过了两个发展阶段：动态极限的定义与静态极限的定义.当今微积分教材也都采用了这两种定义，即所谓的描述性定义以及极限的语言ε-（N）δ.其中函数两种情形的极限描述性定义为：给定函数y=f（x），当|x|充分大以后有定义，如果当|x|无限增大时，函数f（x）无限的接近于確定数A，则称A为函数f（x）当x趋向无穷时的极限，记作■f（x）=A；设f（x）在U（x0）内有定义，A是一确定常数，如果当自变量x无限的接近x0时，函数f（x）无限的接近于A，则称为A函数f（x）当x趋向x0时的极限，记作■f（x）=A.所谓极限思想方法，是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某对象在无限变化的过程中变化结果的思想方法.事实上极限思想方法主要是运用了极限的动态（描述性）定义，而极限的静态定义（ε-δ（N）描述）主要在微积分的证明中加以运用。
二、极限思想在微积分中的地位
极限思想揭示了有限和无限的相互转化.从左往右看，是无限向有限的转化，从右向左看，是有限中包含无限；极限思想揭示了近似和精确的相互转化；极限思想体现了量变到质变的规律；极限思想揭示了变量和常量，过程和结果的对立统一.总之，极限思想揭示了变量和常量，无限和有限，近似和精确，量变与质变的对立与统一.极限思想是近代数学的一种重要思想，微积分就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科.它是微积分乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是微积分与初等数学的本质区别之处，许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边梯形面积、曲面体体积等问题），正是由于采用了极限的思想方法得以解决.极限的思想方法贯穿于微积分课程的始终，在几乎所有的微积分教材，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分的概念，产生了微积分中连续思想及应用、导数思想及应用、微分思想及应用、积分思想及应用、级数思想及应用等，从而形成一套完整的微积分理论.这也标志了极限思想在微积分中的重要地位。
三、利用极限思想建构微积分基本概念
（一）利用极限思想建构连续函数的定义
连续性是连续函数的一种良好性态，其直观意义即指其图像能一笔形成.连续性在直观上很好理解，但单纯的直观描述不好直接应用于计算和证明.在微积分教学中我们从直观入手，抓住其本质特点：连续函数f（x）的自变量的两个取值足够接近其对应的函数值也将足够接近，我们将自变量的一个取值固定为x0，让自变量的另一个取值x无限接近这个固定的值x0，则其对应的函数值f（x）也会无限的接近x0所对应的函数值f（x0），这就表明函数f（x）当x趋于x0时有极限，并且极限值为f（x0），从而我们得到函数在x0处连续的严格表述：若函数f（x）在x0的某个去心领域内有定义，且■f（x）=f（x0），则称f（x）在点x0连续.也可换成另一种等价的描述：即函数f（x）在x0处，自变量的改变量△x越小的话，其函数值的改变量△y也越小，当自变量的改变量△x无限接近0，其函数值的改变量△y也无限接近0，从而得到其等价的定义：若函数f（x）在x0的某个去心领域内有定义，且■△y=0，则称f（x）在点x0连续.接下来如果函数f（x）在区间I内的任意一点都连续，则我们称函数f（x）在区间I内连续，也称f（x）为区间I内的连续函数.
（二）利用极限思想建构函数导数、积分的定义
导数积分是微积分最基本的概念，积分又包括不定积分与定积分，弄清楚导数的概念，再利用导数与不定积分互为逆运算，我们不难搞清楚不定积分的概念，从而关键是搞清楚导数与定积分的概念.而导数与定积分的概念的建立我们认为有着异曲同工之妙，其大致可归结于以下三步.第一步，由实际问题出发，提出某些问题的准确值利用现有知识无法直接求出，例如作变速直线运动的物体在已知路程与时间的函数关系式时求物体某时刻的瞬时速度以及求曲边梯形面积.第二步，解决问题，这一步中又可分为三小步：退而求其次先求其近似值；想方设法提高近似程度，进而发现近似值无限逼近准确值的极限条件；按上述条件取极限.当然在这一步中的一些细节上的处理还是有不一样的地方，例如，求函数的瞬时速度的近似值，我们可以启发学生利用平均速度近似代替，而求曲边梯形面积的近似值不仅启发学生利用规则图形的面积予以近似，更要提醒学生思考是大范围中的近似代替好还是小范围中的近似代替好，进而引出先将曲边梯形进行细分.最后，我们利用第二步中的方法解决一些相类似的问题，导数和定积分概念的引入就水到渠成了. （三）利用极限思想建构反常积分与级数定义
广义积分与级数的定义如果直接给出定义学生往往难于理解，但若我们在教学时注意将概念的建立过程讲清楚，则学生亦能掌握.这两个概念都是利用极限思想得出的，并且也都要讨论收敛与发散的问题，我们认为其构建的过程可以归为一类.其实，我们觉得这两个概念的建立事实上也类似于导数与定积分的概念的建立，本质的区别在于可导函数的导数和可积函数在某个区间上的定积分都是确定的，而无穷限上的反常积分、无界函数的反常积分或级数（无限项的和）是需要讨论的，简单地说就是有可能收敛（为确定的数或函数），也有可能是发散（不确定）.下面我们以无穷限上的反常积分的例子加以说明.首先假设函数f（X）[a，+∞在上的积分是一个确定的数，因积分区间为无限区间其准确值我们直接求不出，从而我们考虑退而求其次求其近似值，那么又怎样进行近似代替呢？此时，我们可启发学生利用有限区间近似代替无限区间，即用闭区间[a，b]近似代替无限区间[a，+∞）（其中b为一充分大的有限正数），也就相当于求得了这个确定的数的一个近似值■f（x）dx；怎样提高近似程度呢？显然b越大其近似程度会越好，当b趋于+∞时，近似值无限逼近准确值；从而我们有：在函数f（x）在[a，+∞）上的积分是一个确定的数的前提下，■f（x）dx=■■f（x）dx.接下来我们借助几何直观意义指出并不是所有函数在[a，+∞）的积分都是一个确定的数，例如■xdx，由此启发学生思考得出函数f（x）在[a，+∞）上的积分是一个确定的数的充分必要条件为存在■■f（x）dx.此时再给出函数f（x）在[a，+∞）的反常积分就比较好理解了.事实上这也会加深对极限的理解，即在很多情況下我们可用有限表达无限。
总之，极限是微积分基本概念的基础，在微积分基本概念的教学中我们应该把这个概念是怎样利用极限这个工具建立起来的，即概念的形成过程讲解清楚.学生只有深刻理解了概念的形成过程，才能深刻理解，掌握微积分，并利用微积分的相关知识解决实际问题，真正做到学以致用。
作者简介：米黑龙（1977-），女，湖南商学院数学与统计学院，硕士，研究方向为常微分方程。
参考文献：
[1]朱卫民.大一学生对微积分基本概念的理解[J].数学教育学报，2010，19（4）：37–40·
[2]隋如彬 .微积分[M].北京： 科技出版社，2009·
[3]（美） 霍华德·加德纳 .多元智能[M].北京： 新华 出版 社，1999·
[4]毛京中.高等数学概念教学的一些思考 [J].数学教育学报，2003，12（2）：83–86·
[5]杨慧卿 .“为理解而教”观念下的《 微积分》 教学[J].黄山学院学报，2008，10（5）：157–159.
【关键词】微积分；极限思想；基本概念
微积分作为大学生的一门必修基础课，旨在培养学生的数学素养，并为后续专业课程的学习打好基础，在提高高等教育质量的工作中起着举足轻重的作用.数学教育研究表明，尽管学生能计算函数的极限、导数和积分，但他们往往并不能很好地理解其基本概念以及概念与概念之间的联系.Davis 和 Vinner [1]的研究证实，学生未能解释为什么极限的概念是微积分的基本概念，未能讲出极限概念在微积分中所起的作用，对于极限与连续、导数等其它概念之间的联系也不甚了解，而建立完善的概念关系对于透彻理解微积分基本概念是十分必要的.朱卫民[2]发现，有相当一部分学生对极限、连续和导数的理解彼此孤立，对它们两两之间的联系不甚了解，有相当多的学生甚至认为是利用连续性来定义极限的.事实上，极限是建立连续、导数、积分、级数等微积分基本概念的基础，因此，我们认为充分理解微积分的基本概念就需弄清楚什么是极限与极限思想以及我们是怎样通过极限思想来建构微积分的基本概念的。
一、什么是极限与极限思想
极限思想在古希腊的穷竭法和中国古代的割圆术中已经萌芽.但是，直到19世纪初，人们对极限的理解还没有摆脱几何直观.直到1821年，法国数学家柯西才把极限概念建立在算术的基础上.他把极限定义为：若变量的一串数值无限地趋向某一定值时，其差可以随意地小，则该定值称为这一串数值的极限.19世纪70年代，德国的维尔斯特拉斯等人在数学分析的算术化过程中，进一步用ε-N语言更精确地把极限概念表述为：如果序列x1，x2…xn…对于任意给定的无论怎样小的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，不等式|xn-a|<ε恒成立，则称数a为该序列的极限.即极限的概念的建立经过了两个发展阶段：动态极限的定义与静态极限的定义.当今微积分教材也都采用了这两种定义，即所谓的描述性定义以及极限的语言ε-（N）δ.其中函数两种情形的极限描述性定义为：给定函数y=f（x），当|x|充分大以后有定义，如果当|x|无限增大时，函数f（x）无限的接近于確定数A，则称A为函数f（x）当x趋向无穷时的极限，记作■f（x）=A；设f（x）在U（x0）内有定义，A是一确定常数，如果当自变量x无限的接近x0时，函数f（x）无限的接近于A，则称为A函数f（x）当x趋向x0时的极限，记作■f（x）=A.所谓极限思想方法，是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某对象在无限变化的过程中变化结果的思想方法.事实上极限思想方法主要是运用了极限的动态（描述性）定义，而极限的静态定义（ε-δ（N）描述）主要在微积分的证明中加以运用。
二、极限思想在微积分中的地位
极限思想揭示了有限和无限的相互转化.从左往右看，是无限向有限的转化，从右向左看，是有限中包含无限；极限思想揭示了近似和精确的相互转化；极限思想体现了量变到质变的规律；极限思想揭示了变量和常量，过程和结果的对立统一.总之，极限思想揭示了变量和常量，无限和有限，近似和精确，量变与质变的对立与统一.极限思想是近代数学的一种重要思想，微积分就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科.它是微积分乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是微积分与初等数学的本质区别之处，许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边梯形面积、曲面体体积等问题），正是由于采用了极限的思想方法得以解决.极限的思想方法贯穿于微积分课程的始终，在几乎所有的微积分教材，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分的概念，产生了微积分中连续思想及应用、导数思想及应用、微分思想及应用、积分思想及应用、级数思想及应用等，从而形成一套完整的微积分理论.这也标志了极限思想在微积分中的重要地位。
三、利用极限思想建构微积分基本概念
（一）利用极限思想建构连续函数的定义
连续性是连续函数的一种良好性态，其直观意义即指其图像能一笔形成.连续性在直观上很好理解，但单纯的直观描述不好直接应用于计算和证明.在微积分教学中我们从直观入手，抓住其本质特点：连续函数f（x）的自变量的两个取值足够接近其对应的函数值也将足够接近，我们将自变量的一个取值固定为x0，让自变量的另一个取值x无限接近这个固定的值x0，则其对应的函数值f（x）也会无限的接近x0所对应的函数值f（x0），这就表明函数f（x）当x趋于x0时有极限，并且极限值为f（x0），从而我们得到函数在x0处连续的严格表述：若函数f（x）在x0的某个去心领域内有定义，且■f（x）=f（x0），则称f（x）在点x0连续.也可换成另一种等价的描述：即函数f（x）在x0处，自变量的改变量△x越小的话，其函数值的改变量△y也越小，当自变量的改变量△x无限接近0，其函数值的改变量△y也无限接近0，从而得到其等价的定义：若函数f（x）在x0的某个去心领域内有定义，且■△y=0，则称f（x）在点x0连续.接下来如果函数f（x）在区间I内的任意一点都连续，则我们称函数f（x）在区间I内连续，也称f（x）为区间I内的连续函数.
（二）利用极限思想建构函数导数、积分的定义
导数积分是微积分最基本的概念，积分又包括不定积分与定积分，弄清楚导数的概念，再利用导数与不定积分互为逆运算，我们不难搞清楚不定积分的概念，从而关键是搞清楚导数与定积分的概念.而导数与定积分的概念的建立我们认为有着异曲同工之妙，其大致可归结于以下三步.第一步，由实际问题出发，提出某些问题的准确值利用现有知识无法直接求出，例如作变速直线运动的物体在已知路程与时间的函数关系式时求物体某时刻的瞬时速度以及求曲边梯形面积.第二步，解决问题，这一步中又可分为三小步：退而求其次先求其近似值；想方设法提高近似程度，进而发现近似值无限逼近准确值的极限条件；按上述条件取极限.当然在这一步中的一些细节上的处理还是有不一样的地方，例如，求函数的瞬时速度的近似值，我们可以启发学生利用平均速度近似代替，而求曲边梯形面积的近似值不仅启发学生利用规则图形的面积予以近似，更要提醒学生思考是大范围中的近似代替好还是小范围中的近似代替好，进而引出先将曲边梯形进行细分.最后，我们利用第二步中的方法解决一些相类似的问题，导数和定积分概念的引入就水到渠成了. （三）利用极限思想建构反常积分与级数定义
广义积分与级数的定义如果直接给出定义学生往往难于理解，但若我们在教学时注意将概念的建立过程讲清楚，则学生亦能掌握.这两个概念都是利用极限思想得出的，并且也都要讨论收敛与发散的问题，我们认为其构建的过程可以归为一类.其实，我们觉得这两个概念的建立事实上也类似于导数与定积分的概念的建立，本质的区别在于可导函数的导数和可积函数在某个区间上的定积分都是确定的，而无穷限上的反常积分、无界函数的反常积分或级数（无限项的和）是需要讨论的，简单地说就是有可能收敛（为确定的数或函数），也有可能是发散（不确定）.下面我们以无穷限上的反常积分的例子加以说明.首先假设函数f（X）[a，+∞在上的积分是一个确定的数，因积分区间为无限区间其准确值我们直接求不出，从而我们考虑退而求其次求其近似值，那么又怎样进行近似代替呢？此时，我们可启发学生利用有限区间近似代替无限区间，即用闭区间[a，b]近似代替无限区间[a，+∞）（其中b为一充分大的有限正数），也就相当于求得了这个确定的数的一个近似值■f（x）dx；怎样提高近似程度呢？显然b越大其近似程度会越好，当b趋于+∞时，近似值无限逼近准确值；从而我们有：在函数f（x）在[a，+∞）上的积分是一个确定的数的前提下，■f（x）dx=■■f（x）dx.接下来我们借助几何直观意义指出并不是所有函数在[a，+∞）的积分都是一个确定的数，例如■xdx，由此启发学生思考得出函数f（x）在[a，+∞）上的积分是一个确定的数的充分必要条件为存在■■f（x）dx.此时再给出函数f（x）在[a，+∞）的反常积分就比较好理解了.事实上这也会加深对极限的理解，即在很多情況下我们可用有限表达无限。
总之，极限是微积分基本概念的基础，在微积分基本概念的教学中我们应该把这个概念是怎样利用极限这个工具建立起来的，即概念的形成过程讲解清楚.学生只有深刻理解了概念的形成过程，才能深刻理解，掌握微积分，并利用微积分的相关知识解决实际问题，真正做到学以致用。
作者简介：米黑龙（1977-），女，湖南商学院数学与统计学院，硕士，研究方向为常微分方程。
参考文献：
[1]朱卫民.大一学生对微积分基本概念的理解[J].数学教育学报，2010，19（4）：37–40·
[2]隋如彬 .微积分[M].北京： 科技出版社，2009·
[3]（美） 霍华德·加德纳 .多元智能[M].北京： 新华 出版 社，1999·
[4]毛京中.高等数学概念教学的一些思考 [J].数学教育学报，2003，12（2）：83–86·
[5]杨慧卿 .“为理解而教”观念下的《 微积分》 教学[J].黄山学院学报，2008，10（5）：157–159.