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等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果.不等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口.
“转化与化归”思想是处理数学问题的一种基本策略.转化和化归就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，就是在数学研究中，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方法. 转化有等价转化与不等价转化.等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果.不等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口.在高中数学中，经常出现许多导函数不等价性的结论，例如：f(x)在区间I上为增函数（或减函数），则f′(x)≥0（f′(x)≤0），反之f′(x)≥0（f′(x)≤0），则f(x)不一定是增函数（或减函数），同样f′(x0)=0,则f(x)在x=x0处不一定有极值，他们显然不是充要条件，但是在解题中，我们经常将他们当作等价命题来使用，不加检验，以致错解，本文对此进行探讨.
问题情境一：
导函数f′(x)>0是否是函数f(x)在I内单调递增的充要条件？ 提示：否，例如函数y=x3.
变形：函数在y=ax3-1（-∞,+∞）上减函数，则实数a的取值范围？
错解：有的同学这样做 ∵函数y=ax3-1在（-∞,+∞)上减函数.∴f′(x)≤0在（-∞,+∞)上恒成立，即3ax2≤0,又x2≥0,再采用分离系数得a≤0,所以a的取值范围为(-∞,0］.
以上解法是我们学生做这种题型的常见做法，但是这是错误.我们可以检验一下，当a=0时，y=-1在（-∞,+∞)上为常值函数，不具备单调性，显然a≠0，所以a的取值范围为(-∞,0).
一、 探究错因
我们说函数f(x)为增函数（或减函数）一定有f′(x)≥0（f′(x)≤0），在不改变单调性的情况下，使f′(x)=0成立的原因，无非两种情况：
第一、在函数y=f(x)图像上存在有限个可疑点，使得f′(x)=0，但不影响其单调性，比如：y=x3,在x=0时，f′(x)=0，但函数y=x3在R上仍然为单调增函数.
第二、在函数y=f(x)图像上存在无限多个可疑点，而且它们离散的，不构成区间，不影响函数的单调性，比如：y=x+sinx,令y′=1+cosx=0，则x=2kπ+π(k∈Z),在所有的x=2kπ+π(k∈Z)点处，y′=0,但函数y=x+sinx在R上仍然为单调函数.
第三、这就是f(x)为增函数，f′(x)≥0中f′(x)=0产生的原因，反之，却不一定成立，即f′(x)≥0不一定有f(x)为增函数.
因为在函数y=f(x)图像上可能存在无限多个可疑点，使得f′(x)=0，但它们是连续的，构成一个小区间，在这个区间上f(x)=c为常值函数，而常值函数没有单调性，这就是f′(x)≥0，f(x)不一定为增函数的原因，也就是说这两者是不等价的，它们是不等价性，不是充要条件，
这就是本题产生错解的原因，所以对上述的结果必须要检验，因为它们是不等价性命题.
二、 解决途径
方案1:结合图像求解，如右图所示，由y=ax3-1得y′=3ax2.
当a=0时，y=-1为常值函数，无单调性，故舍去；
当a≠0时，y′=3ax2≤0在R上恒成立，只要a＜0.综上所述a＜0.故a的取值范围为(-∞,0).
方案2：利用f′(x)≤0, 并对a值检验，舍去多余的解，这种方法在前面已经叙述过.
方案3：利用f′(x)＜0,再补上相应的a值.因为y′＜3ax2<0在R上恒成立,显然x2＞0，所以a＜0，下面看能否补上a=0的值.当a=0时，y=-1为常值函数，无单调性，舍去.
拓展结论：在研究单调性问题时，运用导数求解时，特别注意是不等价性命题一定要检验.
三、 应用结论
例1 已知函数f(x)=2ax-1x2,x∈(0,1］上为增函数，求a的范围.
分析：f′(x)=2a+2x3,由f(x)在(0,1］上为增函数.故f′(x)≥0在(0,1］上恒成立，即
2a+2x3≥0，即a≥-1x3.设g(x)=-1x3,在(0,1］上为增函数.∴g(x)max=-1.
∴a≥-1,下面检验a=-1的合理性.
当a=-1时，f′(x)=-2+2x3=2(1-x)(1+x+x2)x3，当x∈(0,1)时，f′(x)>0,则f(x)在(0,1)上为增函数，又在x=0处，不讨论单调性，故f(x)在(0,1］上为增函数.综上所述：a的取值范围为［-1,+∞).
例2 已知f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,在（-∞,0)上为增函数，求a的取值范围.
分析：先求导得：f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a,因为原函数在（-∞,0上为增函数.故此时，有两种方案：Ⅰ） 可以采用分离系数的方法，转化为恒成立问题，不过有点麻烦.
Ⅱ） 上面已经讲过，可结合函数图像来求范围，下面我们结合图像来求解.
又∵f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).
所以，当a=1时，f′(x)=6(x-1)2≥0,函数f(x)在（-∞,0)上为增函数，满足题意.
当a＞1时，在(-∞,1)上，f′(x)≥0，从而在（-∞,0)上f′(x)＞0，故f(x)在（-∞,0)上为增函数.
当a＜1时，要使函数f(x)在（-∞,0)上为增函数，只要f′(x)≥0在（-∞,0)上恒成立，所以只要a≥0或f(0)≥0
.综上所述：a的取值范围为［0,+∞).（结合图像求解，可能做法更精确）
问题情境二：已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0，求a,b的值.
错解：∵f(x)=x3+3ax2+bx+a ∴f′(x)=3x2+6ax+b
根据题意可得：-6a-b+3=0
a2+3a-b-1=0
. 解之得a=1
b=3或a=2
b=9
实际上当a=1,b=3时，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,则f(x)在定义域上是增函数，无极值，舍去，所以a=2,b=9.
有些同学不理解为什么要舍去一组解？在整个的解题过程中，好像没有问题.
一、 探究错因：实际上同问题情境一的错因是一样的，都是解题过程中，未注意解题过程的不等价性，对所的结果未加检验造成的：f(x)在x=x0处有极值,必有f′(x0)=0,但f′(x0)=0，并不意味着x=x0是极值点.
二、 解决途径：同上面的解法一样，不过要多一个检验的过程.
三、 拓展结论：解决极值类问题，利用导数值为零，所得结果要检验.进而可以推广到一个常识性的结论：不等价性命题一定要检验，只有等价性命题不要检验.
四、 应用结论
例 求函数y=(x-1)3+2的极值点.
分析：∵y=(x-1)3+2=x3-3x2+3x+1.∴y′=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0，即f(x)在定义域上为增函数，∴f(x)的极值点不存在.但是，有点同学可能这样解∵y=x3-3x2+3x+1 ∴y′=3x2-6x+3
令y′=0，则x=1.∴x=1是极值点.
这种解法显然是错误的，忽视了检验的过程，将不等价性的命题转化为等价性的命题来做，以致出错.
通过以上问题的分析，在导函数问题中，存在许多不等价性的命题，在解题时，要慎重对待，多加检验，避免出错，同时我们更要记住：等价性命题无须检验，不等价性命题必须要检验.它在高中数学在很多地方出现.
总之，转化思想是中学数学解题的重要思想方法，但并非万能的方法，即并不是所有的问题都可以通过转化而得到解决的.因此，我们不能只停留在转化的分析，而必须有创新的精神，不断地进行新的研究，在研究中获得新方法、新理论.
【参考文献】
［1］ 孙翔峰 光明日报出版社 三维设计 2011.4
［2］ 薛金星 陕西人民教育出版社 中学教材全解2008.6
“转化与化归”思想是处理数学问题的一种基本策略.转化和化归就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，就是在数学研究中，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方法. 转化有等价转化与不等价转化.等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果.不等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口.在高中数学中，经常出现许多导函数不等价性的结论，例如：f(x)在区间I上为增函数（或减函数），则f′(x)≥0（f′(x)≤0），反之f′(x)≥0（f′(x)≤0），则f(x)不一定是增函数（或减函数），同样f′(x0)=0,则f(x)在x=x0处不一定有极值，他们显然不是充要条件，但是在解题中，我们经常将他们当作等价命题来使用，不加检验，以致错解，本文对此进行探讨.
问题情境一：
导函数f′(x)>0是否是函数f(x)在I内单调递增的充要条件？ 提示：否，例如函数y=x3.
变形：函数在y=ax3-1（-∞,+∞）上减函数，则实数a的取值范围？
错解：有的同学这样做 ∵函数y=ax3-1在（-∞,+∞)上减函数.∴f′(x)≤0在（-∞,+∞)上恒成立，即3ax2≤0,又x2≥0,再采用分离系数得a≤0,所以a的取值范围为(-∞,0］.
以上解法是我们学生做这种题型的常见做法，但是这是错误.我们可以检验一下，当a=0时，y=-1在（-∞,+∞)上为常值函数，不具备单调性，显然a≠0，所以a的取值范围为(-∞,0).
一、 探究错因
我们说函数f(x)为增函数（或减函数）一定有f′(x)≥0（f′(x)≤0），在不改变单调性的情况下，使f′(x)=0成立的原因，无非两种情况：
第一、在函数y=f(x)图像上存在有限个可疑点，使得f′(x)=0，但不影响其单调性，比如：y=x3,在x=0时，f′(x)=0，但函数y=x3在R上仍然为单调增函数.
第二、在函数y=f(x)图像上存在无限多个可疑点，而且它们离散的，不构成区间，不影响函数的单调性，比如：y=x+sinx,令y′=1+cosx=0，则x=2kπ+π(k∈Z),在所有的x=2kπ+π(k∈Z)点处，y′=0,但函数y=x+sinx在R上仍然为单调函数.
第三、这就是f(x)为增函数，f′(x)≥0中f′(x)=0产生的原因，反之，却不一定成立，即f′(x)≥0不一定有f(x)为增函数.
因为在函数y=f(x)图像上可能存在无限多个可疑点，使得f′(x)=0，但它们是连续的，构成一个小区间，在这个区间上f(x)=c为常值函数，而常值函数没有单调性，这就是f′(x)≥0，f(x)不一定为增函数的原因，也就是说这两者是不等价的，它们是不等价性，不是充要条件，
这就是本题产生错解的原因，所以对上述的结果必须要检验，因为它们是不等价性命题.
二、 解决途径
方案1:结合图像求解，如右图所示，由y=ax3-1得y′=3ax2.
当a=0时，y=-1为常值函数，无单调性，故舍去；
当a≠0时，y′=3ax2≤0在R上恒成立，只要a＜0.综上所述a＜0.故a的取值范围为(-∞,0).
方案2：利用f′(x)≤0, 并对a值检验，舍去多余的解，这种方法在前面已经叙述过.
方案3：利用f′(x)＜0,再补上相应的a值.因为y′＜3ax2<0在R上恒成立,显然x2＞0，所以a＜0，下面看能否补上a=0的值.当a=0时，y=-1为常值函数，无单调性，舍去.
拓展结论：在研究单调性问题时，运用导数求解时，特别注意是不等价性命题一定要检验.
三、 应用结论
例1 已知函数f(x)=2ax-1x2,x∈(0,1］上为增函数，求a的范围.
分析：f′(x)=2a+2x3,由f(x)在(0,1］上为增函数.故f′(x)≥0在(0,1］上恒成立，即
2a+2x3≥0，即a≥-1x3.设g(x)=-1x3,在(0,1］上为增函数.∴g(x)max=-1.
∴a≥-1,下面检验a=-1的合理性.
当a=-1时，f′(x)=-2+2x3=2(1-x)(1+x+x2)x3，当x∈(0,1)时，f′(x)>0,则f(x)在(0,1)上为增函数，又在x=0处，不讨论单调性，故f(x)在(0,1］上为增函数.综上所述：a的取值范围为［-1,+∞).
例2 已知f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,在（-∞,0)上为增函数，求a的取值范围.
分析：先求导得：f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a,因为原函数在（-∞,0上为增函数.故此时，有两种方案：Ⅰ） 可以采用分离系数的方法，转化为恒成立问题，不过有点麻烦.
Ⅱ） 上面已经讲过，可结合函数图像来求范围，下面我们结合图像来求解.
又∵f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).
所以，当a=1时，f′(x)=6(x-1)2≥0,函数f(x)在（-∞,0)上为增函数，满足题意.
当a＞1时，在(-∞,1)上，f′(x)≥0，从而在（-∞,0)上f′(x)＞0，故f(x)在（-∞,0)上为增函数.
当a＜1时，要使函数f(x)在（-∞,0)上为增函数，只要f′(x)≥0在（-∞,0)上恒成立，所以只要a≥0或f(0)≥0
.综上所述：a的取值范围为［0,+∞).（结合图像求解，可能做法更精确）
问题情境二：已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0，求a,b的值.
错解：∵f(x)=x3+3ax2+bx+a ∴f′(x)=3x2+6ax+b
根据题意可得：-6a-b+3=0
a2+3a-b-1=0
. 解之得a=1
b=3或a=2
b=9
实际上当a=1,b=3时，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,则f(x)在定义域上是增函数，无极值，舍去，所以a=2,b=9.
有些同学不理解为什么要舍去一组解？在整个的解题过程中，好像没有问题.
一、 探究错因：实际上同问题情境一的错因是一样的，都是解题过程中，未注意解题过程的不等价性，对所的结果未加检验造成的：f(x)在x=x0处有极值,必有f′(x0)=0,但f′(x0)=0，并不意味着x=x0是极值点.
二、 解决途径：同上面的解法一样，不过要多一个检验的过程.
三、 拓展结论：解决极值类问题，利用导数值为零，所得结果要检验.进而可以推广到一个常识性的结论：不等价性命题一定要检验，只有等价性命题不要检验.
四、 应用结论
例 求函数y=(x-1)3+2的极值点.
分析：∵y=(x-1)3+2=x3-3x2+3x+1.∴y′=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0，即f(x)在定义域上为增函数，∴f(x)的极值点不存在.但是，有点同学可能这样解∵y=x3-3x2+3x+1 ∴y′=3x2-6x+3
令y′=0，则x=1.∴x=1是极值点.
这种解法显然是错误的，忽视了检验的过程，将不等价性的命题转化为等价性的命题来做，以致出错.
通过以上问题的分析，在导函数问题中，存在许多不等价性的命题，在解题时，要慎重对待，多加检验，避免出错，同时我们更要记住：等价性命题无须检验，不等价性命题必须要检验.它在高中数学在很多地方出现.
总之，转化思想是中学数学解题的重要思想方法，但并非万能的方法，即并不是所有的问题都可以通过转化而得到解决的.因此，我们不能只停留在转化的分析，而必须有创新的精神，不断地进行新的研究，在研究中获得新方法、新理论.
【参考文献】
［1］ 孙翔峰 光明日报出版社 三维设计 2011.4
［2］ 薛金星 陕西人民教育出版社 中学教材全解2008.6