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摘 要：数学公式是数学学习的重要内容，其掌握的程度直接影响学生对数学概念的理解和数学理论的应用． 本文从两个教学案例探讨了如何进行数学公式的推导及它在教学中的重要性．
关键词：数学公式；推导；教学
数学公式是数学命题的重要组成部分，是数学学习的重要内容，其掌握的程度直接影响学生对数学概念的理解和数学理论的应用． 对公式的理解必须从数学的认知特征以及学生学习心理出发，促进学生对数学公式和法则的学习及其意义的内化． 但一些教师不注重公式的推导或者推导不到位，导致学生对所学的公式一知半解，没有弄清楚公式的来龙去脉，应用起来只会生搬硬套，不能理解掌握这些数学公式的结构特征、推导过程，更不能理解渗透在这些公式、定理中的数学思想与数学方法，从而严重影响了他们对数学知识的掌握和数学能力的形成． 教师应充分关注公式教学，注重公式的推导过程．本文结合教学实践谈谈对公式推导的一点体会．
“点到直线的距离”公式的推导
已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0，如何求点P0到直线l的距离？
人教版《数学2》P106分析了最普通的思路：设点P0到直线l的垂线段为P0Q，垂足为Q，由P0Q⊥l可知，直线P0Q的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线P0Q的方程，并由l与P0Q的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出P0Q，得到点P0到直线l的距离为P0Q．?摇
课本说“上述方法虽然思路十分自然，但具体运算较繁．” 既然思路十分自然，那应该是一种好的解法，
不能因为计算烦琐而被放弃，本节的重点是公式的推导，花一定的时间和精力来推导此公式是值得的，由已知可以得到直线P0Q的方程是y－y0=（x－x0），解方程组得到垂足Q，，进而求出垂线段的长P0Q=．
1． 改进
上述解法有一定的计算量，这时要引导学生进行优化，由两点距离公式的P0Q=得到启发，是否可以用整体的思想求出呢？让Q点坐标“设而不求”，把直线P0Q的方程写成B（x－x0）－A（y－y0）=0 ①，直线l的方程Ax+By+C=0写成A（x－x0）+B（y－y0）= －Ax0－By0－C ②，由①②两式平方和得（A2+B2）［（x－x0）2+（y－y0）2］=（Ax0+By0+C）2，即P0Q=． 《想法是怎样形成的》一文介绍有九种解法，把点到直线的距离问题转化为我们熟悉的问题：转化为解直角三角形问题、求三角形的高、求两点的距离、求线段的最小值、求数量积、求两平行线间的距离、求原点到直线的距离、求直线与圆相切的问题．
2． “椭圆标准方程”的推导
人教版选修2-1P39先由椭圆的定义得P=｛M|?摇MF1+MF2?摇=2a｝，即得+=2a（2a>2c）①，
化简成（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）②，
再由椭圆的定义可知，2a>2c，即a2－c2>0，令a2－c2=b2（b>0），
得到+=1（a>b>0）③．
从逻辑上讲，上述过程无懈可击，但学生会认为，为什么要令a2－c2=b2（b>0），仅仅是为了使方程变得简洁优美吗？教学设计要利用“学生的最近发展区”，引导学生自己去提出问题、解决问题． 为此，我们可以这样设计：将圆x2+y2=a2（a>0）沿纵向“压扁”得到椭圆，圆的方程可以写成+=1（a>0），（几何画板演示“压扁”的过程），请对照圆和椭圆与坐标轴的四个交点的坐标，你能猜想椭圆的方程吗？学生能得到椭圆的方程如③式，这样从②式到③式的转换就变得非常自然，学生对令a2－c2=b2（b>0）也会觉得非常合理，同时也培养了学生的合情推理能力． 当然整个推导过程要让学生切身体验，体验具体的计算过程． 章建跃老师曾指出：“‘老师板演学生看’的做法，忘记了‘饭要自己亲自吃’的常识，剥夺了学生自主实践、独立思考的机会，结果肯定是讲过练过的不一定会，没有讲过的肯定不会”．
1. 改进
学生学习的困难是椭圆标准方程的推导过程，带根式的方程的化简学生感到困难，也是教学的难点，特别是由M适合的条件所列出的方程为两个根式的和等于一个非0常数的形式，化简时要进行两次平方，方程中字母超过3个，且次数高、项数多．由于初中代数学习中这方面的知识准备不够充分，所以教学中要注意引导学生分析这类方程化简的方法． 化简过程的思路自然、直观，但运算量较大，学生觉得比较麻烦，那么我们是否可以改进呢？
由①+=2a我们能否得到
+=？如果能得到，计算量就会小了很多，通过思考得恒等式：［（x+c）2+y2］－［（x－c）2+y2］=4cx④，
由④÷①得：-=⑤，
由⑤+①得：=a+⑥，
将⑥两边平方，整理得（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）．
这样通过“分之有理化”去掉了一个根号，只要一次两边平方就可以化简．
反思
将①式移项后两边平方得
（x+c）2+y2=4a2－4a+（x－c）2+y2，
即a2－cx=a，我们可以得到=，式子表示点M到定点F2的距离，而式子－x表示点M到定直线x=的距离，故动点M又可以描述为平面内到一定点F的距离和到一定直线l（F不在l上）的距离的比是一定值的点的轨迹是椭圆． （这是P47例题6所揭示的椭圆“第二定义”）．
将②式移项整理得，a2y2=（a2－x2）·（a2－c2），当x≠±a时，我们有
=，即·=（定值），故动点M还可以描述为平面内到两定点（不包括这两点）连线斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆（除去两点）． 只有我们对数学知识有全面深刻的理解，了解知识的来龙去脉，才能使学生在运用知识时领会知识的要领，达到真正的掌握． 数学思想是数学的灵魂，它可以迁移到数学以外的各门学科和各种工作中去． 数学思想方法的教学必须贯彻明确性的原则． 每一个数学公式的推导，都体现出某种数学思想方法，教学中必须揭示推导公式过程中隐含的数学思想和方法，指出它的名称、内容和规律，并有意识地对学生进行训练．
感悟
公式具有抽象性，公式中的字母代表一定范围内的无穷多个数． 有的学生在学习公式时，可以在短时间内掌握，而有的学生却要翻来覆去地体会，才能跳出千变万化的数学关系的泥潭． 在实际教学中，教师应重视对公式的推导，重视公式的结构分析，注意公式的范围和变形，揭示公式的本质，以及公式之间的联系，促进知识的内化，这样有助于学生理解和掌握运用公式． 在公式教学中，可以设计恰当的问题情景，激发学生的求知欲望，目的是让学生弄清楚公式的来龙去脉，尽可能让学生自己发现公式，让学生推导公式，让学生充分地动脑、动手、动口，这样才能真正的透过公式的表面认识公式的本质．
关键词：数学公式；推导；教学
数学公式是数学命题的重要组成部分，是数学学习的重要内容，其掌握的程度直接影响学生对数学概念的理解和数学理论的应用． 对公式的理解必须从数学的认知特征以及学生学习心理出发，促进学生对数学公式和法则的学习及其意义的内化． 但一些教师不注重公式的推导或者推导不到位，导致学生对所学的公式一知半解，没有弄清楚公式的来龙去脉，应用起来只会生搬硬套，不能理解掌握这些数学公式的结构特征、推导过程，更不能理解渗透在这些公式、定理中的数学思想与数学方法，从而严重影响了他们对数学知识的掌握和数学能力的形成． 教师应充分关注公式教学，注重公式的推导过程．本文结合教学实践谈谈对公式推导的一点体会．
“点到直线的距离”公式的推导
已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0，如何求点P0到直线l的距离？
人教版《数学2》P106分析了最普通的思路：设点P0到直线l的垂线段为P0Q，垂足为Q，由P0Q⊥l可知，直线P0Q的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线P0Q的方程，并由l与P0Q的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出P0Q，得到点P0到直线l的距离为P0Q．?摇
课本说“上述方法虽然思路十分自然，但具体运算较繁．” 既然思路十分自然，那应该是一种好的解法，
不能因为计算烦琐而被放弃，本节的重点是公式的推导，花一定的时间和精力来推导此公式是值得的，由已知可以得到直线P0Q的方程是y－y0=（x－x0），解方程组得到垂足Q，，进而求出垂线段的长P0Q=．
1． 改进
上述解法有一定的计算量，这时要引导学生进行优化，由两点距离公式的P0Q=得到启发，是否可以用整体的思想求出呢？让Q点坐标“设而不求”，把直线P0Q的方程写成B（x－x0）－A（y－y0）=0 ①，直线l的方程Ax+By+C=0写成A（x－x0）+B（y－y0）= －Ax0－By0－C ②，由①②两式平方和得（A2+B2）［（x－x0）2+（y－y0）2］=（Ax0+By0+C）2，即P0Q=． 《想法是怎样形成的》一文介绍有九种解法，把点到直线的距离问题转化为我们熟悉的问题：转化为解直角三角形问题、求三角形的高、求两点的距离、求线段的最小值、求数量积、求两平行线间的距离、求原点到直线的距离、求直线与圆相切的问题．
2． “椭圆标准方程”的推导
人教版选修2-1P39先由椭圆的定义得P=｛M|?摇MF1+MF2?摇=2a｝，即得+=2a（2a>2c）①，
化简成（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）②，
再由椭圆的定义可知，2a>2c，即a2－c2>0，令a2－c2=b2（b>0），
得到+=1（a>b>0）③．
从逻辑上讲，上述过程无懈可击，但学生会认为，为什么要令a2－c2=b2（b>0），仅仅是为了使方程变得简洁优美吗？教学设计要利用“学生的最近发展区”，引导学生自己去提出问题、解决问题． 为此，我们可以这样设计：将圆x2+y2=a2（a>0）沿纵向“压扁”得到椭圆，圆的方程可以写成+=1（a>0），（几何画板演示“压扁”的过程），请对照圆和椭圆与坐标轴的四个交点的坐标，你能猜想椭圆的方程吗？学生能得到椭圆的方程如③式，这样从②式到③式的转换就变得非常自然，学生对令a2－c2=b2（b>0）也会觉得非常合理，同时也培养了学生的合情推理能力． 当然整个推导过程要让学生切身体验，体验具体的计算过程． 章建跃老师曾指出：“‘老师板演学生看’的做法，忘记了‘饭要自己亲自吃’的常识，剥夺了学生自主实践、独立思考的机会，结果肯定是讲过练过的不一定会，没有讲过的肯定不会”．
1. 改进
学生学习的困难是椭圆标准方程的推导过程，带根式的方程的化简学生感到困难，也是教学的难点，特别是由M适合的条件所列出的方程为两个根式的和等于一个非0常数的形式，化简时要进行两次平方，方程中字母超过3个，且次数高、项数多．由于初中代数学习中这方面的知识准备不够充分，所以教学中要注意引导学生分析这类方程化简的方法． 化简过程的思路自然、直观，但运算量较大，学生觉得比较麻烦，那么我们是否可以改进呢？
由①+=2a我们能否得到
+=？如果能得到，计算量就会小了很多，通过思考得恒等式：［（x+c）2+y2］－［（x－c）2+y2］=4cx④，
由④÷①得：-=⑤，
由⑤+①得：=a+⑥，
将⑥两边平方，整理得（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）．
这样通过“分之有理化”去掉了一个根号，只要一次两边平方就可以化简．
反思
将①式移项后两边平方得
（x+c）2+y2=4a2－4a+（x－c）2+y2，
即a2－cx=a，我们可以得到=，式子表示点M到定点F2的距离，而式子－x表示点M到定直线x=的距离，故动点M又可以描述为平面内到一定点F的距离和到一定直线l（F不在l上）的距离的比是一定值的点的轨迹是椭圆． （这是P47例题6所揭示的椭圆“第二定义”）．
将②式移项整理得，a2y2=（a2－x2）·（a2－c2），当x≠±a时，我们有
=，即·=（定值），故动点M还可以描述为平面内到两定点（不包括这两点）连线斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆（除去两点）． 只有我们对数学知识有全面深刻的理解，了解知识的来龙去脉，才能使学生在运用知识时领会知识的要领，达到真正的掌握． 数学思想是数学的灵魂，它可以迁移到数学以外的各门学科和各种工作中去． 数学思想方法的教学必须贯彻明确性的原则． 每一个数学公式的推导，都体现出某种数学思想方法，教学中必须揭示推导公式过程中隐含的数学思想和方法，指出它的名称、内容和规律，并有意识地对学生进行训练．
感悟
公式具有抽象性，公式中的字母代表一定范围内的无穷多个数． 有的学生在学习公式时，可以在短时间内掌握，而有的学生却要翻来覆去地体会，才能跳出千变万化的数学关系的泥潭． 在实际教学中，教师应重视对公式的推导，重视公式的结构分析，注意公式的范围和变形，揭示公式的本质，以及公式之间的联系，促进知识的内化，这样有助于学生理解和掌握运用公式． 在公式教学中，可以设计恰当的问题情景，激发学生的求知欲望，目的是让学生弄清楚公式的来龙去脉，尽可能让学生自己发现公式，让学生推导公式，让学生充分地动脑、动手、动口，这样才能真正的透过公式的表面认识公式的本质．