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摘 要：作为高中数学5种解题思路之一的分类讨论思想，对老师的教学和学生的理解带来了许多便利，降低了数学教学和学习难度。分类讨论是对研究对象包含了多种情况，难以用统一的方法和公式进行分析时，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解的方法。高中数学中的分类讨论是根据数学研究对象本质属性的区别，将其分成几个不同种类问题的一种逻辑上划分的思维方式。分类讨论是数学解题中的一个重要答题思路，它让我的思考更加全面、思维更严密。本文介绍了分类讨论过程需要遵守的原则、分析步骤、分类对象和分类类型，以及应用分类讨论思想的案例分析。
关键词：高中数学；分类讨论；思想方法；分析
引言
随着新课改的进行，对高中数学的理解提出了更高的要求。数学作为自然科学的基础，是一种思维方式，在人类活动中得到广泛的应用。高中数学可以说是初中数学的延伸，大学高数的基础。高中数学新课改标准明确指出数学思想是数学基础知识的重要组成部分 [1]。数学学习愈加重视学生对数学概念，解题思维和方法的准确掌握。掌握数学解题思想是解答数学题时不可缺少的一步，可以帮助同学们快速找到解题思路，节约思考时间。
高中数学的5种答题思路包括函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般的思想、极限思想解题步骤和分类讨论思想。分类讨论本质上是一种逻辑上划分的思维方式，是对数学研究对象根据题目的特点和要求分别归类，逐类求解，然后综合归纳得解 [2]。把相对复杂的问题简单化，方便对其进行解答。归类思想是基于对象本质属性的异同，对事物共性的抽象过程，将数学研究对象根据确定的原则，合理进行归类。然后将它们一个一个地进行逐步求解，得出每一个小解，最后将所有结果进行总结归纳，得出研究对象的答案。分类讨论揭示了数学事物之间的内在规律，学会分类有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性、严谨性和思考的全面性，从而提高分析问题和解决问题的能力。
本文首先介绍了分类讨论过程需要遵守的原则和分析步骤，让学生认识为什么分类、如何分类。然后介绍了高中数学比较常见的分类讨论对象和类型，讓学生更好的应用到实践去。最后对一些简单的分类讨论进行案例分析。
1.分类讨论原则与步骤
学生初步建立分类讨论意识后，也难以快速、准确的进行分类讨论，还需要将分类讨论进行标准化。这个标准的确定可以让学生完整的解答习题。这个标准需要所讨论的全域要完整且互斥，分类要“既不重复，也不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；分类必须逐级进行直到最小分类级别，且分类讨论时应逐级进行，不能越级。
针对新课标，讨论的基本步骤可分为以下五个阶段：（1）确定讨论对象和讨论的类型（全域）；（2）明确分类标准，科学分类；（3）逐类分类、分级分析阶段性结果；（4）用该级标准进行检验筛选结果；（5）归纳作出结论。
2.分类讨论对象与类型
我们在运用分类讨论的思想解决问题时，首先要审清题意，认真分析可能产生的不同因素，进行讨论时要确定分类的标准，每一次分类只能按照一个标准来分，不能重复也不能遗漏，另外还要逐一认真解答。
运用分类讨论思想前我们首先要审清题意、了解引起分类讨论的常见因素，确定分类讨论的对象，接着根据条件的不确定性确定分类讨论类型。
1）高中数学中涉及的分类讨论类型有：
a.根据数与代数可以将对象分为：概念分段定义；公式、定理、法则分段表达；实施某些运算引起分类讨论；含参方程或不等式等；
b.根据几何可以分为图形位置不确定和图形形状不确定；
c.以及其他根据题设本身进行的分类。
2）高中数学中比较常见的分类讨论类型有：
a.与数与式有关的分类讨论。如：实数分类、绝对值、算术平方根；与函数及图象有关的变量取值范围、增减性等。
b.三角形中的分类讨论。如：与各种三角形类型有关的讨论等。
c.圆中的分类讨论。如：点、直线、圆与圆的位置的不确定等。
3.分类讨论的实践应用
例 1：解方程
分析：本题考察研究对象的范围作了限制，对实数的绝对值进行分类讨论，可以将x分为3个区间，即x ≤ -1、-1 ≤ x ≤ 1和x ≥ 1。
解：当x ≤ -1时，原方程化为
当-1 ≤ x ≤ 1时，原方程化为 （应舍去）
当x ≥ 1时，原方程化为 ，
综上所述x = 10或x = -4.
例2.若 a > 0且a ≠ 1， ，则p、q的大小关系是？
分析：本体考察了对象为不等式，实数分类的等式，根据log对数函数可以将等式分为两类，即0 < a < 1和a > 1。
解：当0 又 ，
.
当 a > 1时， 在其定义域上为增函数，
，
.
综上所述 p > q.
例3.已知定义在闭区间[0，3]上的函数 的最大值为3，那么实数 k 的取值集合是多少？
分析：本体考察了含参方程未知数区间分类问题。
解：
（1）当k > 0时，二次函数开口向上，当x = 3时，f（x）有最大值，即 ，解得k = 1；
（2）当k < 0时，二次函数开口向下，当x = 1时，f（x）有最大值，即 ，解得k = -3；
（3）当k = 0时，方程式显然不成立.
综上所述 k 的区只集合为{1，-3}.
4.结论
综上所述，分类讨论思想是高中数学解题的重要思想，通过分类讨论思想，可以有效的培养学生的数学思维能力、综合考虑问题能力和准备找到问题本质能力。使学生更好的适应于将来的大学数学的学习。在生活中更好的该分类对待和处理生活与学习的问题。
参考文献
[1] 曹延法.论数学教学中数学思想方法的渗透[J].成功：教育版，2012（1）：146-146.
[2] 黄培元.例谈初中数学分类讨论思想[J].中学课程辅导：教学研究，2014（30）：258-258.
（作者单位：稻田中学高三G1501班）
关键词：高中数学；分类讨论；思想方法；分析
引言
随着新课改的进行，对高中数学的理解提出了更高的要求。数学作为自然科学的基础，是一种思维方式，在人类活动中得到广泛的应用。高中数学可以说是初中数学的延伸，大学高数的基础。高中数学新课改标准明确指出数学思想是数学基础知识的重要组成部分 [1]。数学学习愈加重视学生对数学概念，解题思维和方法的准确掌握。掌握数学解题思想是解答数学题时不可缺少的一步，可以帮助同学们快速找到解题思路，节约思考时间。
高中数学的5种答题思路包括函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般的思想、极限思想解题步骤和分类讨论思想。分类讨论本质上是一种逻辑上划分的思维方式，是对数学研究对象根据题目的特点和要求分别归类，逐类求解，然后综合归纳得解 [2]。把相对复杂的问题简单化，方便对其进行解答。归类思想是基于对象本质属性的异同，对事物共性的抽象过程，将数学研究对象根据确定的原则，合理进行归类。然后将它们一个一个地进行逐步求解，得出每一个小解，最后将所有结果进行总结归纳，得出研究对象的答案。分类讨论揭示了数学事物之间的内在规律，学会分类有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性、严谨性和思考的全面性，从而提高分析问题和解决问题的能力。
本文首先介绍了分类讨论过程需要遵守的原则和分析步骤，让学生认识为什么分类、如何分类。然后介绍了高中数学比较常见的分类讨论对象和类型，讓学生更好的应用到实践去。最后对一些简单的分类讨论进行案例分析。
1.分类讨论原则与步骤
学生初步建立分类讨论意识后，也难以快速、准确的进行分类讨论，还需要将分类讨论进行标准化。这个标准的确定可以让学生完整的解答习题。这个标准需要所讨论的全域要完整且互斥，分类要“既不重复，也不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；分类必须逐级进行直到最小分类级别，且分类讨论时应逐级进行，不能越级。
针对新课标，讨论的基本步骤可分为以下五个阶段：（1）确定讨论对象和讨论的类型（全域）；（2）明确分类标准，科学分类；（3）逐类分类、分级分析阶段性结果；（4）用该级标准进行检验筛选结果；（5）归纳作出结论。
2.分类讨论对象与类型
我们在运用分类讨论的思想解决问题时，首先要审清题意，认真分析可能产生的不同因素，进行讨论时要确定分类的标准，每一次分类只能按照一个标准来分，不能重复也不能遗漏，另外还要逐一认真解答。
运用分类讨论思想前我们首先要审清题意、了解引起分类讨论的常见因素，确定分类讨论的对象，接着根据条件的不确定性确定分类讨论类型。
1）高中数学中涉及的分类讨论类型有：
a.根据数与代数可以将对象分为：概念分段定义；公式、定理、法则分段表达；实施某些运算引起分类讨论；含参方程或不等式等；
b.根据几何可以分为图形位置不确定和图形形状不确定；
c.以及其他根据题设本身进行的分类。
2）高中数学中比较常见的分类讨论类型有：
a.与数与式有关的分类讨论。如：实数分类、绝对值、算术平方根；与函数及图象有关的变量取值范围、增减性等。
b.三角形中的分类讨论。如：与各种三角形类型有关的讨论等。
c.圆中的分类讨论。如：点、直线、圆与圆的位置的不确定等。
3.分类讨论的实践应用
例 1：解方程
分析：本题考察研究对象的范围作了限制，对实数的绝对值进行分类讨论，可以将x分为3个区间，即x ≤ -1、-1 ≤ x ≤ 1和x ≥ 1。
解：当x ≤ -1时，原方程化为
当-1 ≤ x ≤ 1时，原方程化为 （应舍去）
当x ≥ 1时，原方程化为 ，
综上所述x = 10或x = -4.
例2.若 a > 0且a ≠ 1， ，则p、q的大小关系是？
分析：本体考察了对象为不等式，实数分类的等式，根据log对数函数可以将等式分为两类，即0 < a < 1和a > 1。
解：当0 又 ，
.
当 a > 1时， 在其定义域上为增函数，
，
.
综上所述 p > q.
例3.已知定义在闭区间[0，3]上的函数 的最大值为3，那么实数 k 的取值集合是多少？
分析：本体考察了含参方程未知数区间分类问题。
解：
（1）当k > 0时，二次函数开口向上，当x = 3时，f（x）有最大值，即 ，解得k = 1；
（2）当k < 0时，二次函数开口向下，当x = 1时，f（x）有最大值，即 ，解得k = -3；
（3）当k = 0时，方程式显然不成立.
综上所述 k 的区只集合为{1，-3}.
4.结论
综上所述，分类讨论思想是高中数学解题的重要思想，通过分类讨论思想，可以有效的培养学生的数学思维能力、综合考虑问题能力和准备找到问题本质能力。使学生更好的适应于将来的大学数学的学习。在生活中更好的该分类对待和处理生活与学习的问题。
参考文献
[1] 曹延法.论数学教学中数学思想方法的渗透[J].成功：教育版，2012（1）：146-146.
[2] 黄培元.例谈初中数学分类讨论思想[J].中学课程辅导：教学研究，2014（30）：258-258.
（作者单位：稻田中学高三G1501班）