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【摘要】数学是研究空间形式和数量关系的科学，本文从几个方面阐述了数形结合的重要意义，数形结合不仅仅是一种解题方法，一种数学思想，更重要的是它应该成为一种教育方式. 在日常的教学中，时刻注意数形结合，能收到非常好的效果. 在新课程标准下，注意数形结合，有利于培养学生的数学素养，提高学生的思维品质.
【关键词】数形结合 哲学原理 数学素养 脑的革命
我们知道，数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具. 数和形这两个基本概念，正是数学的两块基石. 数学就是围绕这两个概念发展起来的. 在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化. 因此，回归数学本身，认识数学真谛，就应该把数和形这两者很好地结合起来. 这是数学自身的需要，是目前新的教育改革的需要，更是这个时代的需要.
数形结合，不应该单纯是一种解题的思想方法，还应该是一种研究数学的基本观点，是数学教学的一种新的教育方式. 理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力.
在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案. 在数学课堂的教学中，注意数与形的结合，能让课堂充满情趣，富有生机. 数形结合，是开创思维，发展心智的良好方式. 我为之感叹，为之欢呼！下面简单谈谈自己的感受.
１． 蕴涵丰富的哲学原理
世界是普遍联系的. “数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的．而数学就是在它们的既对立又统一的矛盾运动中不断发展着.
数就是数，形就是形，就好像两棵生长在一起的大树，各自向天空伸展，各自展现了它们无穷的魅力. 但它们又相互偎依，枝与枝，甚至根与根紧紧地抱在了一起. 我们知道每一个几何图形中都蕴涵着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形作出直观地反映和描述．描述现实世界里变量与变量关系的函数无不可以用直观的图像展现出来.
２． 创设良好的数学课堂情境，激发学生学习的激情
在数学中，据统计数学教学的习题教学约占总教学时间的７０％，在学生的心目中，学数学就是不停地做题，做题，再做题. 我调查过许多学生，问他们学数学有多大的价值，有什么用？回答大多基本一样，就是为了应付考试，除此以外不太明白数学有多大价值. 不能不说长期的解题教学让学生觉得数学就是做题，数学就是公式定理的组合，方法技巧的训练. 久而久之，学习数学的激情似乎慢慢消失怠尽. 爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师”. 如何让学生燃起激情的火花，我认为，无论是在小学还是中学，始终贯穿数形结合的教学意义十分巨大. 因为它能创设良好的数学课堂情境，激发学生学习的激情，并且注意从学生的实际生活经历出发，这正是新的课改的具体要求.
以必修１（人教版）奇偶性教学为例，我们可以在引入阶段，先放映几张图片，如蝴蝶，人体，正三角形，让学生直观地看到生活中的对称美，这种美在函数的图像中也有，接着让学生观察函数y = x2和y = | x | 的图像，配以函数值对应表，由直观到抽象，可以让学生尝试归纳偶函数的定义，一切水到渠成. 给出定义后，举函数f（ｘ） = x2 + 1和ｆ（ｘ） =的例子，让学生利用手中的计数器，尝试画出它们的图像，观察图像特征. 由形想数，由数思形，两者的结合让我们畅游在一个美妙的数学世界里. 从身边具体的熟悉的事物出发，让学生感觉数学就在自己的身边，就在自己的生活里.
数学的客观存在的美感，在数与形的结合上表现得淋漓尽致，教师在数学教学中，要充分运用数学教材，结合生活实际，引导学生领悟数学的美，使学生产生激烈的情感，浓厚的兴趣和探讨的欲望，诱发学生对美的追求，从而消除对数学感到单调、机械的心理.
３． 有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力
人们在学习数学和运用数学解决问题的时候，不断地经历直观感知、观察发现、归纳想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于提高人的数学素养. 数与形的结合，能开拓人的思维，有利于提高分析问题和解决问题的能力. 下面举例分析.
例１ 已知a，b，c，d都是实数，求证：+≥.
分析 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁琐. 如果我们能由数想形，从外表形式上观察到左右两端的式子都与平面上两点间距离公式相似，那思路一下就开阔了.
证明 不妨设Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（ｃ，ｄ）如图１所示，则|AB| =.
|OA| = ,|OB| =.在△OAB中，由三角形三边之间的关系知：|OA| + |OB| ≥ |AB| ，当且仅当Ｏ在ＡＢ上时，等号成立.
因此， + ≥ .
又例如：已知a2 + b2 = 1，x2 + y2 = 1求证：ax + by ≤ 1.
分析 证明这个题目的方法有许多，比如可以用比较法（作差），可以用分析法或综合法，也可以用三角换元法等. 这些方法都是从“数”本身出发，但如果我们由数想形，注意到一些数学式子的几何意义，那么突然间你会发现数学不是呆板的字母、数字和式子，它们活了，使我们为之喜悦和振奋！
下面看看证法：由于条件x2 + y2 = 1可看做是以原点为圆心，半径为１的单位圆，而ax + by =联系到点到直线距离公式，可得下面证法：
（如图２）因为直线l ∶ ax + by = 0经过圆x2 + y2 = 1的圆心Ｏ，所以圆上任意一点Ｍ（ｘ，ｙ）到直线ax + by = 0的距离都小于或等于圆半径１，由数思形，把抽象的问题直观化，解题的环境具有了生机，确实会产生一种“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳阴来”的美妙感觉，人的思维视野更加宽广，沉闷的课堂也注入了新的活力.
４． 数形结合，掀起脑的革命
数，抽象，缺乏直观；而形，直观，形象但缺乏严密. 另外研究表明：人的左右脑分工明确，左脑主要完成语言的、逻辑的、分析的、代数的思考认识和行为；而右脑则主要负责直观的、综合的、几何的、绘图的思考认识和行为. 从这个意义上来说，数与形的结合，是感知与思维相结合的体现，使左脑和右脑互动，掀起了一场脑的革命. 数与形的结合，可以更加完善地，极大限度地开发脑的潜能，使左脑与右脑之间联系更加紧密. 左脑与右脑的开发，有利于创新人才的培养，具有跨时代的意义.
我以为， 在数学的教学中，无论是在小学，还是中学，数形结合不仅仅是一种解题的思想方法，更重要的是它的重要功能. 在日常的教学中，我们都应该考虑到数与形的结合，它带给社会和人类不可估量的价值！所以我要为之喝彩！
【参考资料】
［１］ 罗增儒．中学数学思想方法的教学.中学数学教学参考，２０００（６）.
［２］ 惠州人．形与数关系的应用.中学生数学报，１９９９（１０）.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】数形结合 哲学原理 数学素养 脑的革命
我们知道，数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具. 数和形这两个基本概念，正是数学的两块基石. 数学就是围绕这两个概念发展起来的. 在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化. 因此，回归数学本身，认识数学真谛，就应该把数和形这两者很好地结合起来. 这是数学自身的需要，是目前新的教育改革的需要，更是这个时代的需要.
数形结合，不应该单纯是一种解题的思想方法，还应该是一种研究数学的基本观点，是数学教学的一种新的教育方式. 理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力.
在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案. 在数学课堂的教学中，注意数与形的结合，能让课堂充满情趣，富有生机. 数形结合，是开创思维，发展心智的良好方式. 我为之感叹，为之欢呼！下面简单谈谈自己的感受.
１． 蕴涵丰富的哲学原理
世界是普遍联系的. “数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的．而数学就是在它们的既对立又统一的矛盾运动中不断发展着.
数就是数，形就是形，就好像两棵生长在一起的大树，各自向天空伸展，各自展现了它们无穷的魅力. 但它们又相互偎依，枝与枝，甚至根与根紧紧地抱在了一起. 我们知道每一个几何图形中都蕴涵着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形作出直观地反映和描述．描述现实世界里变量与变量关系的函数无不可以用直观的图像展现出来.
２． 创设良好的数学课堂情境，激发学生学习的激情
在数学中，据统计数学教学的习题教学约占总教学时间的７０％，在学生的心目中，学数学就是不停地做题，做题，再做题. 我调查过许多学生，问他们学数学有多大的价值，有什么用？回答大多基本一样，就是为了应付考试，除此以外不太明白数学有多大价值. 不能不说长期的解题教学让学生觉得数学就是做题，数学就是公式定理的组合，方法技巧的训练. 久而久之，学习数学的激情似乎慢慢消失怠尽. 爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师”. 如何让学生燃起激情的火花，我认为，无论是在小学还是中学，始终贯穿数形结合的教学意义十分巨大. 因为它能创设良好的数学课堂情境，激发学生学习的激情，并且注意从学生的实际生活经历出发，这正是新的课改的具体要求.
以必修１（人教版）奇偶性教学为例，我们可以在引入阶段，先放映几张图片，如蝴蝶，人体，正三角形，让学生直观地看到生活中的对称美，这种美在函数的图像中也有，接着让学生观察函数y = x2和y = | x | 的图像，配以函数值对应表，由直观到抽象，可以让学生尝试归纳偶函数的定义，一切水到渠成. 给出定义后，举函数f（ｘ） = x2 + 1和ｆ（ｘ） =的例子，让学生利用手中的计数器，尝试画出它们的图像，观察图像特征. 由形想数，由数思形，两者的结合让我们畅游在一个美妙的数学世界里. 从身边具体的熟悉的事物出发，让学生感觉数学就在自己的身边，就在自己的生活里.
数学的客观存在的美感，在数与形的结合上表现得淋漓尽致，教师在数学教学中，要充分运用数学教材，结合生活实际，引导学生领悟数学的美，使学生产生激烈的情感，浓厚的兴趣和探讨的欲望，诱发学生对美的追求，从而消除对数学感到单调、机械的心理.
３． 有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力
人们在学习数学和运用数学解决问题的时候，不断地经历直观感知、观察发现、归纳想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于提高人的数学素养. 数与形的结合，能开拓人的思维，有利于提高分析问题和解决问题的能力. 下面举例分析.
例１ 已知a，b，c，d都是实数，求证：+≥.
分析 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁琐. 如果我们能由数想形，从外表形式上观察到左右两端的式子都与平面上两点间距离公式相似，那思路一下就开阔了.
证明 不妨设Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（ｃ，ｄ）如图１所示，则|AB| =.
|OA| = ,|OB| =.在△OAB中，由三角形三边之间的关系知：|OA| + |OB| ≥ |AB| ，当且仅当Ｏ在ＡＢ上时，等号成立.
因此， + ≥ .
又例如：已知a2 + b2 = 1，x2 + y2 = 1求证：ax + by ≤ 1.
分析 证明这个题目的方法有许多，比如可以用比较法（作差），可以用分析法或综合法，也可以用三角换元法等. 这些方法都是从“数”本身出发，但如果我们由数想形，注意到一些数学式子的几何意义，那么突然间你会发现数学不是呆板的字母、数字和式子，它们活了，使我们为之喜悦和振奋！
下面看看证法：由于条件x2 + y2 = 1可看做是以原点为圆心，半径为１的单位圆，而ax + by =联系到点到直线距离公式，可得下面证法：
（如图２）因为直线l ∶ ax + by = 0经过圆x2 + y2 = 1的圆心Ｏ，所以圆上任意一点Ｍ（ｘ，ｙ）到直线ax + by = 0的距离都小于或等于圆半径１，由数思形，把抽象的问题直观化，解题的环境具有了生机，确实会产生一种“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳阴来”的美妙感觉，人的思维视野更加宽广，沉闷的课堂也注入了新的活力.
４． 数形结合，掀起脑的革命
数，抽象，缺乏直观；而形，直观，形象但缺乏严密. 另外研究表明：人的左右脑分工明确，左脑主要完成语言的、逻辑的、分析的、代数的思考认识和行为；而右脑则主要负责直观的、综合的、几何的、绘图的思考认识和行为. 从这个意义上来说，数与形的结合，是感知与思维相结合的体现，使左脑和右脑互动，掀起了一场脑的革命. 数与形的结合，可以更加完善地，极大限度地开发脑的潜能，使左脑与右脑之间联系更加紧密. 左脑与右脑的开发，有利于创新人才的培养，具有跨时代的意义.
我以为， 在数学的教学中，无论是在小学，还是中学，数形结合不仅仅是一种解题的思想方法，更重要的是它的重要功能. 在日常的教学中，我们都应该考虑到数与形的结合，它带给社会和人类不可估量的价值！所以我要为之喝彩！
【参考资料】
［１］ 罗增儒．中学数学思想方法的教学.中学数学教学参考，２０００（６）.
［２］ 惠州人．形与数关系的应用.中学生数学报，１９９９（１０）.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”