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【摘要】小学数学教学课堂中的动手操作是当前的主流数学学习方式之一，也被称为数学实验.在小学数学课堂中应用数学实验的主要目的是激发学生的数学学习兴趣，培养学生的数学知识应用意识及实际问题的解决能力.数学实验使学生的数学学习方式从动笔转变为动手，从学习转变为研究.教师在开展小学数学教学活动时，应引导学生将动手操作与动脑思考有机结合起来，让数学实验成为学生形成数学思维的助力.
【关键词】数学实验;动手操作;小学数学;教学研究
一、发掘并科学应用生活化经验与数学化理解之间的内在联系
案例：在公因数教学活动的初始阶段，教师可根据即将展开的教学活动内容提出问题.问题具体如下：现有一个长为18厘米、宽为12厘米的长方形纸板，若用边长为整数且边长单位为厘米的小正方形纸板在该方形纸板上进行平铺，多少个小正方形纸板可将既定纸板铺满？
学生的动手实践与计算过程大致可分为以下几个步骤：①学生自主制作几个边长分别为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米等的正方形纸板，并按自己的想法将制作的正方形纸板摆放在长方形纸板上.②学生在摆放完所有正方形纸板之后，若出现正方形纸板无法将既定长方形纸板全部覆盖的情况，则教师可引导学生“以画代摆”，将长方形纸板的空白之处补满.③教师可通过教学情境及引导性语言，帮助学生完成对动手实践过程的理解与内化，促使学生的思维由形象向抽象发展与过渡.④在实践操作结束之后，教师引导学生在
熟练掌握
因数和倍数知识的基础上，通过计算得出长方形纸板被全部覆盖的最终结果.
在以上动手操作实践案例当中，学生准备的小正方形纸板的边长可以是1厘米，可以是2厘米，也可以是6厘米.边长为1厘米的正方形纸板可以将该长方形纸板全部覆盖，边长为2厘米的正方形纸板可以将该长方形纸板全部覆盖，边长为6厘米的正方形纸板也可以将该长方形纸板全部覆盖.但是要注意，在这个过程中学生关注的是自己准备的边长不同的正方形纸板能不能将长为18厘米、宽为12厘米的长方形纸板全部覆盖，关注的是物理层面的属性.这一过程是“物化”的公因数形态代替了公因数本质属性的意义构建过程.如果在这个过程中，教师不进行及时、有效地引导和干预，那么很多学生是无法认识公因数的本质属性的.在教师不进行引导的情况下，部分学生难以理解“如果一个数既是18的公因数，又是12的公因数，那么这个数就是18和12的公因数”.所以说，此处的教学情境只为学生提供了一个生活原型，即只为学生学习公因数、理解公因数提供了一个生活化的情境.仅仅依靠这个生活化的情境，学生仍然无法认识和理解公因数的本质属性，此时就需要教师进行有针对性的引导，合理使用引导性语言，帮助学生完成对动手实践过程的理解与内化，确保学生真正认识和理解公因数的本质属性.由此可知，生活化的情境能够唤醒学生的生活经验，使学生对公因数有直观的认识，激发学生的学习兴趣，但是要想实现学生对公因数本质属性的理解，就不能够仅仅依靠这种做法，而应该在利用生活化情境唤醒学生生活经验的同时，辅以有针对性的引导，通过有针对性的引导促进学生从生活情境向数学知识转化.由此可见，数学实验能够有效拓寬学生的思维深度.
下面，笔者以“图形密铺”一课为例，分析和发掘数学实验与学生思维之间的潜在联系.
（一）培养学生由表及里发现问题的能力
以“图形的密铺”一课为例，在教学活动开展之初，笔者引导学生通过动手操作，得出等边三角形可以密铺的结论.在得出这一结论之后，笔者引导学生通过深入思考发现等腰三角形与一般三角形密铺的可能性.在笔者引导学生对相应问题进行验证之后，学生自然而然地想要对一般梯形、正方形、长方形、菱形等进行密铺实验.笔者让学生就实验结果发表自己的看法或提出相应的问题，以引导学生对密铺问题进行更深入的思考.
（二）培养学生由此及彼、发现问题的能力
小学数学课程标准中明确指出：使学生通过系统学习感悟数学知识之间的关系，科学地发展学生的数学思维.在开展图形的密铺教学时，笔者特意对教学环节进行了调整，并没有让学生对所有图形进行验证，而只让学生对部分图形进行验证及思维实验，鼓励学生在动手的同时积极动脑思考.例如，在让学生对三角形和梯形进行验证时，笔者就给学生设置了一个困难，即没有在验证之前为其准备相应的实验工具，而是引导其通过三角形、梯形与平行四边形之间的关系进行验证.这一设计不仅可以使学生得出正确的结论，还能使学生的推理能力得到锻炼与提高.
二、通过数学实验培养学生的批判性思维
小学数学教学活动中的批判性思维是贯穿小学数学学习始终，对学习过程中不同环节与内容的自我意识调整与校正，学生对自身数学思维过程进行分析和评估的一种反思性的思维形式.在传统教学模式下，学生的思维形式多为被动接受式，显然传统教学模式和思维方式已经不适应当前飞速发展的教育形式.现阶段，教师应有意识地提高学生在学习过程中的思维活跃度，以更好地培养学生的数学思维.
（一）批判性思维的应用能够提高学生思维的缜密性
五边形密铺是“图形密铺”的重点，也是公认的教学难题.在教学过程中，教师可让学生对五边形能否密铺进行推理判断，在学生做出自己的判断之后引导学生动手验证.在进行正五边形密铺实验之后，学生们会发现正五边形是无法实现密铺的，此时教师可引导学生主动提出问题，如：一般的五边形是否都无法密铺，有没有特殊的五边形能够进行密铺.学生提出相关问题之后，可围绕问题展开小组讨论或动手验证.这一过程不仅可以增加学生在课堂上提出问题的勇气，还能让学生通过自主创设问题情境、验证与讨论、得出正确结论的过程，不断发展与完善思维.整个教学过程其实是学生思维破碎、整合、质疑、修正的过程，大部分学生可通过这一具有批判性的教学过程找到特殊到一般、一般到特殊的数学思维规律，通过不断的质疑、批判与修正，深刻体会数学归纳与推理的过程.这对学生数学思维的培养起到积极的促进作用. （二）培养学生的质疑、批判及调整能力
孟子有言“尽信书，不如无书”，在小学数学教学活动中，若学生对教材中已有的结论深信不疑，则是不利于其科学探究精神及数学思维能力的形成的.因此，笔者认为在进行相关结论的验证过程中，可尝试引导学生发现问题、提出问题、探究并解决问题，以实现对其批判性思维的培养.例如：在探究五边形密铺的可能性的过程当中，一部分学生认为五边形是无法实现密铺的，还有一部分学生不断调整五边形，进行密铺实验，最终得出结论：将五边形下面的两个角度调整为直角，则五边形就能够实现密铺.这一质疑和调整过程充分体现出了学生判断能力及思考能力，是批判性思维发展的直接体现.
（三）通过数学实验培养学生的创造性思维
数学实验可有效培养学生思维的发散性和变通性.在课堂的最后，笔者提出圆形是否能够实现密铺这一问题.在进行圆形密铺实验之前，大部分学生可以通过常识确定圆形是无法实现密铺的.若在传统数学教学课堂中，或许课堂验证阶段就会在此告一段落，而在本堂课中，笔者话锋一转，顺势提出问题：在什么情况下圆形能够实现密铺呢？显然，这是一个在当前思维环境下无法解决的问题，笔者可就此问题让学生进行小组讨论，并在学生进行小组讨论时给予适当的提示，如：之前我们验证的图形密铺都是建立在同一种图形的基础上，现在我们用同一种图形无法完成密铺，同学们有没有办法实现密铺？此时，学生们就会很容易想到通过增加图形的方式来实现密铺，如此，学生就能顺利跳出现有的思维模式，这不失为培养学生数学思维的小策略.
四、数学实验的组织及开展过程中的注意事项
（一）数学实验的设计应兼顾学生群体的个体差异
小学阶段的学生在学习数学的过程中表现出的个体差异较大，针对这一问题，教师在做数学实验设计时，应为所有学生制订与其能力水平相符的实验任务与目标，使数学实验更具有科学性与针对性.数学实验的开展可以以小组或个体的形式展开，教师将动手操作贯穿于各个教学环节，并在学生进行实践操作的过程中引导学生自主选择与自身水平相符的实验内容与材料;在学生完成当前学习任务之后，鼓励其向更高层次的教学目标冲刺.相比于传统的统一实验设计，分层实验设计可使班内所有学生的水平通过数学实验而得到提高.例如，在“公因数”教学这一案例中，教师设计了四个不同的实验环节：动手实践—以画代摆—深化理解—列式计算.在做以上实验环节设计时，教师应同时在每个环节中为不同水平的学生设计不同难度的实验操作目标与任务，鼓励学生根据自身基础合理选择相应的实验材料，并通过自身的努力逐步达成最终的学习目标.
（二）正确解读学生在实验操作中的表现
在数学实验的实践操作过程中，学生不仅要对实验过程进行仔细观察与分析，还要对相关实验结果进行概括与总结，学生的数学思维恰好能够在这一动态过程中得到有效发展.在实践操作过程中，教师应有效捕捉学生的言行与表现，并通过其言行表现解读其思维现状.在“公因数”这一教学案例当中，教师可在实践操作正式开始前提出以下问题：①准备几个边长为几厘米的正方形纸板才能将这一既定长方形纸板铺满？②该长方形纸板的长和宽与正方形纸板的边长之间存在怎样的关联？据笔者观察，学生带着以上问题进行实践操作时，通常会有以下表现：在实验初始阶段困惑—在实验开展过程中逐渐明朗—在列式计算阶段笃定.学生在实践操作过程中行为表现的变化能够直观反映出其思维的转变.事实证明，实践操作可使原本抽象的问题形象化，同时可有效促进学生思维在抽象与形象之间灵活转化.
此外，教师在做数学实验设计时，应兼顾不同水平学生的思维特点，通过科学的实验设计，提高学生思维水平与操作实验之间的契合度，最终使学生通过参与数学实验提高自己的思维水平.
教师在做教学实验设计时，应充分认识到实践操作对学生数学思维培养及数学学习质量提高的积极意义.数学实验的设计应遵循直观性及参与性原则，使全体学生通过实践操作发现数学学习的基本规律，帮助学生找到数学学习过程中具体与抽象之间的最佳平衡点.此外，学生在教师的引导下应做到主动思考、积极探索，并在发现问题时敢于表达自己的想法，这也是学生批判性思维发展的重要体现.同时，通过这一系列参与性较强的学习过程，学生的自信心得到有效增強.
【参考文献】
[1]桑海风，杨月婷，李庆春.依托数学建模与数学实验课程改革培养学生创新能力的研究[J].数学学习与研究，2017（12）：13.
[2]贾昀.数学实验活动在课堂应用的设计及可操作性分析[J].中国校外教育：上旬，2014（8）：32.
[3]夏永立.重视数学实验促进学生发展——小学数学实验教学初探[J].辽宁教育，2014（10）：38-40.
【关键词】数学实验;动手操作;小学数学;教学研究
一、发掘并科学应用生活化经验与数学化理解之间的内在联系
案例：在公因数教学活动的初始阶段，教师可根据即将展开的教学活动内容提出问题.问题具体如下：现有一个长为18厘米、宽为12厘米的长方形纸板，若用边长为整数且边长单位为厘米的小正方形纸板在该方形纸板上进行平铺，多少个小正方形纸板可将既定纸板铺满？
学生的动手实践与计算过程大致可分为以下几个步骤：①学生自主制作几个边长分别为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米等的正方形纸板，并按自己的想法将制作的正方形纸板摆放在长方形纸板上.②学生在摆放完所有正方形纸板之后，若出现正方形纸板无法将既定长方形纸板全部覆盖的情况，则教师可引导学生“以画代摆”，将长方形纸板的空白之处补满.③教师可通过教学情境及引导性语言，帮助学生完成对动手实践过程的理解与内化，促使学生的思维由形象向抽象发展与过渡.④在实践操作结束之后，教师引导学生在
熟练掌握
因数和倍数知识的基础上，通过计算得出长方形纸板被全部覆盖的最终结果.
在以上动手操作实践案例当中，学生准备的小正方形纸板的边长可以是1厘米，可以是2厘米，也可以是6厘米.边长为1厘米的正方形纸板可以将该长方形纸板全部覆盖，边长为2厘米的正方形纸板可以将该长方形纸板全部覆盖，边长为6厘米的正方形纸板也可以将该长方形纸板全部覆盖.但是要注意，在这个过程中学生关注的是自己准备的边长不同的正方形纸板能不能将长为18厘米、宽为12厘米的长方形纸板全部覆盖，关注的是物理层面的属性.这一过程是“物化”的公因数形态代替了公因数本质属性的意义构建过程.如果在这个过程中，教师不进行及时、有效地引导和干预，那么很多学生是无法认识公因数的本质属性的.在教师不进行引导的情况下，部分学生难以理解“如果一个数既是18的公因数，又是12的公因数，那么这个数就是18和12的公因数”.所以说，此处的教学情境只为学生提供了一个生活原型，即只为学生学习公因数、理解公因数提供了一个生活化的情境.仅仅依靠这个生活化的情境，学生仍然无法认识和理解公因数的本质属性，此时就需要教师进行有针对性的引导，合理使用引导性语言，帮助学生完成对动手实践过程的理解与内化，确保学生真正认识和理解公因数的本质属性.由此可知，生活化的情境能够唤醒学生的生活经验，使学生对公因数有直观的认识，激发学生的学习兴趣，但是要想实现学生对公因数本质属性的理解，就不能够仅仅依靠这种做法，而应该在利用生活化情境唤醒学生生活经验的同时，辅以有针对性的引导，通过有针对性的引导促进学生从生活情境向数学知识转化.由此可见，数学实验能够有效拓寬学生的思维深度.
下面，笔者以“图形密铺”一课为例，分析和发掘数学实验与学生思维之间的潜在联系.
（一）培养学生由表及里发现问题的能力
以“图形的密铺”一课为例，在教学活动开展之初，笔者引导学生通过动手操作，得出等边三角形可以密铺的结论.在得出这一结论之后，笔者引导学生通过深入思考发现等腰三角形与一般三角形密铺的可能性.在笔者引导学生对相应问题进行验证之后，学生自然而然地想要对一般梯形、正方形、长方形、菱形等进行密铺实验.笔者让学生就实验结果发表自己的看法或提出相应的问题，以引导学生对密铺问题进行更深入的思考.
（二）培养学生由此及彼、发现问题的能力
小学数学课程标准中明确指出：使学生通过系统学习感悟数学知识之间的关系，科学地发展学生的数学思维.在开展图形的密铺教学时，笔者特意对教学环节进行了调整，并没有让学生对所有图形进行验证，而只让学生对部分图形进行验证及思维实验，鼓励学生在动手的同时积极动脑思考.例如，在让学生对三角形和梯形进行验证时，笔者就给学生设置了一个困难，即没有在验证之前为其准备相应的实验工具，而是引导其通过三角形、梯形与平行四边形之间的关系进行验证.这一设计不仅可以使学生得出正确的结论，还能使学生的推理能力得到锻炼与提高.
二、通过数学实验培养学生的批判性思维
小学数学教学活动中的批判性思维是贯穿小学数学学习始终，对学习过程中不同环节与内容的自我意识调整与校正，学生对自身数学思维过程进行分析和评估的一种反思性的思维形式.在传统教学模式下，学生的思维形式多为被动接受式，显然传统教学模式和思维方式已经不适应当前飞速发展的教育形式.现阶段，教师应有意识地提高学生在学习过程中的思维活跃度，以更好地培养学生的数学思维.
（一）批判性思维的应用能够提高学生思维的缜密性
五边形密铺是“图形密铺”的重点，也是公认的教学难题.在教学过程中，教师可让学生对五边形能否密铺进行推理判断，在学生做出自己的判断之后引导学生动手验证.在进行正五边形密铺实验之后，学生们会发现正五边形是无法实现密铺的，此时教师可引导学生主动提出问题，如：一般的五边形是否都无法密铺，有没有特殊的五边形能够进行密铺.学生提出相关问题之后，可围绕问题展开小组讨论或动手验证.这一过程不仅可以增加学生在课堂上提出问题的勇气，还能让学生通过自主创设问题情境、验证与讨论、得出正确结论的过程，不断发展与完善思维.整个教学过程其实是学生思维破碎、整合、质疑、修正的过程，大部分学生可通过这一具有批判性的教学过程找到特殊到一般、一般到特殊的数学思维规律，通过不断的质疑、批判与修正，深刻体会数学归纳与推理的过程.这对学生数学思维的培养起到积极的促进作用. （二）培养学生的质疑、批判及调整能力
孟子有言“尽信书，不如无书”，在小学数学教学活动中，若学生对教材中已有的结论深信不疑，则是不利于其科学探究精神及数学思维能力的形成的.因此，笔者认为在进行相关结论的验证过程中，可尝试引导学生发现问题、提出问题、探究并解决问题，以实现对其批判性思维的培养.例如：在探究五边形密铺的可能性的过程当中，一部分学生认为五边形是无法实现密铺的，还有一部分学生不断调整五边形，进行密铺实验，最终得出结论：将五边形下面的两个角度调整为直角，则五边形就能够实现密铺.这一质疑和调整过程充分体现出了学生判断能力及思考能力，是批判性思维发展的直接体现.
（三）通过数学实验培养学生的创造性思维
数学实验可有效培养学生思维的发散性和变通性.在课堂的最后，笔者提出圆形是否能够实现密铺这一问题.在进行圆形密铺实验之前，大部分学生可以通过常识确定圆形是无法实现密铺的.若在传统数学教学课堂中，或许课堂验证阶段就会在此告一段落，而在本堂课中，笔者话锋一转，顺势提出问题：在什么情况下圆形能够实现密铺呢？显然，这是一个在当前思维环境下无法解决的问题，笔者可就此问题让学生进行小组讨论，并在学生进行小组讨论时给予适当的提示，如：之前我们验证的图形密铺都是建立在同一种图形的基础上，现在我们用同一种图形无法完成密铺，同学们有没有办法实现密铺？此时，学生们就会很容易想到通过增加图形的方式来实现密铺，如此，学生就能顺利跳出现有的思维模式，这不失为培养学生数学思维的小策略.
四、数学实验的组织及开展过程中的注意事项
（一）数学实验的设计应兼顾学生群体的个体差异
小学阶段的学生在学习数学的过程中表现出的个体差异较大，针对这一问题，教师在做数学实验设计时，应为所有学生制订与其能力水平相符的实验任务与目标，使数学实验更具有科学性与针对性.数学实验的开展可以以小组或个体的形式展开，教师将动手操作贯穿于各个教学环节，并在学生进行实践操作的过程中引导学生自主选择与自身水平相符的实验内容与材料;在学生完成当前学习任务之后，鼓励其向更高层次的教学目标冲刺.相比于传统的统一实验设计，分层实验设计可使班内所有学生的水平通过数学实验而得到提高.例如，在“公因数”教学这一案例中，教师设计了四个不同的实验环节：动手实践—以画代摆—深化理解—列式计算.在做以上实验环节设计时，教师应同时在每个环节中为不同水平的学生设计不同难度的实验操作目标与任务，鼓励学生根据自身基础合理选择相应的实验材料，并通过自身的努力逐步达成最终的学习目标.
（二）正确解读学生在实验操作中的表现
在数学实验的实践操作过程中，学生不仅要对实验过程进行仔细观察与分析，还要对相关实验结果进行概括与总结，学生的数学思维恰好能够在这一动态过程中得到有效发展.在实践操作过程中，教师应有效捕捉学生的言行与表现，并通过其言行表现解读其思维现状.在“公因数”这一教学案例当中，教师可在实践操作正式开始前提出以下问题：①准备几个边长为几厘米的正方形纸板才能将这一既定长方形纸板铺满？②该长方形纸板的长和宽与正方形纸板的边长之间存在怎样的关联？据笔者观察，学生带着以上问题进行实践操作时，通常会有以下表现：在实验初始阶段困惑—在实验开展过程中逐渐明朗—在列式计算阶段笃定.学生在实践操作过程中行为表现的变化能够直观反映出其思维的转变.事实证明，实践操作可使原本抽象的问题形象化，同时可有效促进学生思维在抽象与形象之间灵活转化.
此外，教师在做数学实验设计时，应兼顾不同水平学生的思维特点，通过科学的实验设计，提高学生思维水平与操作实验之间的契合度，最终使学生通过参与数学实验提高自己的思维水平.
教师在做教学实验设计时，应充分认识到实践操作对学生数学思维培养及数学学习质量提高的积极意义.数学实验的设计应遵循直观性及参与性原则，使全体学生通过实践操作发现数学学习的基本规律，帮助学生找到数学学习过程中具体与抽象之间的最佳平衡点.此外，学生在教师的引导下应做到主动思考、积极探索，并在发现问题时敢于表达自己的想法，这也是学生批判性思维发展的重要体现.同时，通过这一系列参与性较强的学习过程，学生的自信心得到有效增強.
【参考文献】
[1]桑海风，杨月婷，李庆春.依托数学建模与数学实验课程改革培养学生创新能力的研究[J].数学学习与研究，2017（12）：13.
[2]贾昀.数学实验活动在课堂应用的设计及可操作性分析[J].中国校外教育：上旬，2014（8）：32.
[3]夏永立.重视数学实验促进学生发展——小学数学实验教学初探[J].辽宁教育，2014（10）：38-40.