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表象让数学更直观 比较让本质更突出
——“图形与几何”领域教学现状的透析
浙江省义乌市实验小学教育集团 龚哲荣
《数学课程标准》提出，数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学具有一定的抽象概括性，但小学生的思维却处在从形象思维到抽象思维的发展阶段，因此，如何有效处理学生思维与数学本质之间的关系成为我们一线教师需要密切关注的问题。下面就“图形与几何”领域教学的一些现状，谈谈自己的几点想法。
现状一 感知走过场，提早进入抽象。
案例1 《什么是周长》教学片段：
课始，教师拿出一片树叶，请一位学生指一指这片树叶的一周，教师适时纠正、追问：“你是从哪里开始，到哪里结束？”然后又请另外两个学生也上来指一指.，指完之后，教师给出结论：像这样围成树叶的一周的长度叫做树叶的周长。随后进行描出周长，比较周长，测量周长的教学。
在接下来的教学环节中，很多学生表现出对周长概念不理解，甚至有的学生到了下课，还不明白什么是周长。
问题透析
从上述教学情景可见，教师想从树叶的一周引出周长的概念。这里，树叶的情景是学生熟悉的事物，从具体直观的树叶的一周来引出抽象概括的周长概念符合学生的心理认知规律。那到底是什么原因造成学生对周长概念的不理解呢？从教学片段分析，教师只请了三个学生指一指树叶的一周，随后立马抽象出周长的概念。而大部分的学生还没有参与周长的体验，对于周长的感知还是非常肤浅的，这时，教师马上就让学生从直观的树叶一周的长抽象出周长的概念，这样的过程太短太快，也太早。
寻找对策 多元充分感知，加深体验。
在周长的认识过程中，首先给出的材料是学生熟悉的直观的生活例子，处于直观的动作思维层面。在达到抽象的逻辑思维之前还需借助一些形象思维层面的例子如三角形的一周、圆的一周等相对具体的例子，让学生感知周长。通过直观树叶一周感知，再到具体图形的一周体验，最后抽象出周长概念，学生对周长的概念经历了不同层面的思维提升。
现状二 感知虽然充分，抽象仍不到位。
案例2 《圆的周长》教学片段
测量圆的周长，教师请学生用事先准备好的硬纸板圆片进行测量活动，课堂上出现这样两种方法：
方法一先画出圆周上的一点，然后让圆周沿着直尺滚动一周，量出圆的周长，学生命名为“滚圆法”。
方法二用细绳绕圆片一周，量出细绳的长度，就是圆的周长。学生命名为“绕绳法”。
在该课上完几天之后的一次练习课上，出现了如下两道题：
有些学生马上想到了测量圆的周长时的“滚圆法”和“绕绳法”，但有部分学生每次遇到这类练习，总是无从下手，需要借助一次又一次的学具演示。每次演示完后问他们是否明白，都说明白。可下一次再遇到这类练习，老问题重复上演。
问题透析
学生的反复无常，是因为他们在具体学具演示和抽象问题解决之间缺少桥梁。因为他们每次遇到这样的问题，他们都会先在脑子里回忆测量周长时使用。“滚圆法”和“绕绳法”的过程，再开始解决新问题。
寻找对策 借助表象中介，构建桥梁。
像这种在脑海里进行的学具演示过程，就是心理学中提到的表象。这些学生之所以每次都需要演示，就是因为他们脑海里缺少学具演示的表象。因此，我们教师在学生充分感知之后，要及时让他们在脑海里留下表象，借助表象这个中介，构建从具体到抽象之间的桥梁。在圆的周长测量活动中，老师一开始安排学生进行测量活动，就是为了充分感知圆的周长。活动之后，教师应该及时让学生把刚才的这个学习过程再仔细地想一想，把这个过程留在脑海里。建立过程表象，在后续的学习中遇到类似的问题，就可以及时地借助这个表象解题。那么，既摆脱了具体学具操作的束缚，也可以解决抽象的数学问题了。
现状三 反反复复强调，本质认识仍虚浮。
案例3 《图形的高》教学片段
教师教学完三角形的高之后，给出这样的结论：
从三角形的一个顶点出发到它对边做一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
教师说完后，先请了几个学生复述，又让同桌之间互相复述，最后全班学生一起说一说。
随后进入练习巩固环节，在三角形指定的底边上画出高。学生出现的两个错例如图（图1，图2）：
问题透析
上述教学片段中，老师旨在通过多次复述抽象的数学概念来理解三角形高的本质特征。但从学生的课堂练习可见，他们对于高的理解并不到位。图1的学生没有把握住“高是垂直于底的”这一本质属性，图2的学生则对“三角形的高是从顶点出发的”这一本质属性没有准确认识。
寻找对策 通过比较辨析，理解本质特征。
比较是学生学习数学的一种重要的思维方法，通过求同比较，可以让学生从相同点中体会数学知识的本质；通过差异辨析，可以使学生形成对数学本质的理解。《图形的高》这堂课中，学生认完一个三角形的高之后，教师可以出示这样3个三角形（图3、图4、图5），让学生认一认底边上的高。
认完之后，再让学生仔细观察，比较这3个三角形的高，看看它们有什么共同点。通过对这3个三角形高的求同比较，使学生理解三角形高的本质。
随后再给出一个直角三角形（图6），让学生在图中找出底边和对应的高。
学生会发现直角三角形的两条直角边，一条直角边是底，另一条直角边就是高。
这时候给出如果以斜边作为底边，它的高会在哪里？请学生尝试着画出来。教师故意出现（图7、图8）这样两种错例，让学生判断是否可以，为什么？
通过对这两幅图的辨析，学生发现图7的高是不垂直于底边的，图8的高是不通过顶点的。
数学课堂需要符合学生的数学学习心理，也需要体现学生的自主性，还需要彰显数学的学科本质。课堂需要的就是让学生根据己有的认识，开展自主探索，完成对数学抽象化和精确化的过程。
作者简介：张娅（1978-），女，湖南长沙人，硕士，中南林业科技大学涉外学院讲师，研究方向：英汉语对比研究与翻译，中西文化比较，英美文学研究。
——“图形与几何”领域教学现状的透析
浙江省义乌市实验小学教育集团 龚哲荣
《数学课程标准》提出，数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学具有一定的抽象概括性，但小学生的思维却处在从形象思维到抽象思维的发展阶段，因此，如何有效处理学生思维与数学本质之间的关系成为我们一线教师需要密切关注的问题。下面就“图形与几何”领域教学的一些现状，谈谈自己的几点想法。
现状一 感知走过场，提早进入抽象。
案例1 《什么是周长》教学片段：
课始，教师拿出一片树叶，请一位学生指一指这片树叶的一周，教师适时纠正、追问：“你是从哪里开始，到哪里结束？”然后又请另外两个学生也上来指一指.，指完之后，教师给出结论：像这样围成树叶的一周的长度叫做树叶的周长。随后进行描出周长，比较周长，测量周长的教学。
在接下来的教学环节中，很多学生表现出对周长概念不理解，甚至有的学生到了下课，还不明白什么是周长。
问题透析
从上述教学情景可见，教师想从树叶的一周引出周长的概念。这里，树叶的情景是学生熟悉的事物，从具体直观的树叶的一周来引出抽象概括的周长概念符合学生的心理认知规律。那到底是什么原因造成学生对周长概念的不理解呢？从教学片段分析，教师只请了三个学生指一指树叶的一周，随后立马抽象出周长的概念。而大部分的学生还没有参与周长的体验，对于周长的感知还是非常肤浅的，这时，教师马上就让学生从直观的树叶一周的长抽象出周长的概念，这样的过程太短太快，也太早。
寻找对策 多元充分感知，加深体验。
在周长的认识过程中，首先给出的材料是学生熟悉的直观的生活例子，处于直观的动作思维层面。在达到抽象的逻辑思维之前还需借助一些形象思维层面的例子如三角形的一周、圆的一周等相对具体的例子，让学生感知周长。通过直观树叶一周感知，再到具体图形的一周体验，最后抽象出周长概念，学生对周长的概念经历了不同层面的思维提升。
现状二 感知虽然充分，抽象仍不到位。
案例2 《圆的周长》教学片段
测量圆的周长，教师请学生用事先准备好的硬纸板圆片进行测量活动，课堂上出现这样两种方法：
方法一先画出圆周上的一点，然后让圆周沿着直尺滚动一周，量出圆的周长，学生命名为“滚圆法”。
方法二用细绳绕圆片一周，量出细绳的长度，就是圆的周长。学生命名为“绕绳法”。
在该课上完几天之后的一次练习课上，出现了如下两道题：
有些学生马上想到了测量圆的周长时的“滚圆法”和“绕绳法”，但有部分学生每次遇到这类练习，总是无从下手，需要借助一次又一次的学具演示。每次演示完后问他们是否明白，都说明白。可下一次再遇到这类练习，老问题重复上演。
问题透析
学生的反复无常，是因为他们在具体学具演示和抽象问题解决之间缺少桥梁。因为他们每次遇到这样的问题，他们都会先在脑子里回忆测量周长时使用。“滚圆法”和“绕绳法”的过程，再开始解决新问题。
寻找对策 借助表象中介，构建桥梁。
像这种在脑海里进行的学具演示过程，就是心理学中提到的表象。这些学生之所以每次都需要演示，就是因为他们脑海里缺少学具演示的表象。因此，我们教师在学生充分感知之后，要及时让他们在脑海里留下表象，借助表象这个中介，构建从具体到抽象之间的桥梁。在圆的周长测量活动中，老师一开始安排学生进行测量活动，就是为了充分感知圆的周长。活动之后，教师应该及时让学生把刚才的这个学习过程再仔细地想一想，把这个过程留在脑海里。建立过程表象，在后续的学习中遇到类似的问题，就可以及时地借助这个表象解题。那么，既摆脱了具体学具操作的束缚，也可以解决抽象的数学问题了。
现状三 反反复复强调，本质认识仍虚浮。
案例3 《图形的高》教学片段
教师教学完三角形的高之后，给出这样的结论：
从三角形的一个顶点出发到它对边做一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
教师说完后，先请了几个学生复述，又让同桌之间互相复述，最后全班学生一起说一说。
随后进入练习巩固环节，在三角形指定的底边上画出高。学生出现的两个错例如图（图1，图2）：
问题透析
上述教学片段中，老师旨在通过多次复述抽象的数学概念来理解三角形高的本质特征。但从学生的课堂练习可见，他们对于高的理解并不到位。图1的学生没有把握住“高是垂直于底的”这一本质属性，图2的学生则对“三角形的高是从顶点出发的”这一本质属性没有准确认识。
寻找对策 通过比较辨析，理解本质特征。
比较是学生学习数学的一种重要的思维方法，通过求同比较，可以让学生从相同点中体会数学知识的本质；通过差异辨析，可以使学生形成对数学本质的理解。《图形的高》这堂课中，学生认完一个三角形的高之后，教师可以出示这样3个三角形（图3、图4、图5），让学生认一认底边上的高。
认完之后，再让学生仔细观察，比较这3个三角形的高，看看它们有什么共同点。通过对这3个三角形高的求同比较，使学生理解三角形高的本质。
随后再给出一个直角三角形（图6），让学生在图中找出底边和对应的高。
学生会发现直角三角形的两条直角边，一条直角边是底，另一条直角边就是高。
这时候给出如果以斜边作为底边，它的高会在哪里？请学生尝试着画出来。教师故意出现（图7、图8）这样两种错例，让学生判断是否可以，为什么？
通过对这两幅图的辨析，学生发现图7的高是不垂直于底边的，图8的高是不通过顶点的。
数学课堂需要符合学生的数学学习心理，也需要体现学生的自主性，还需要彰显数学的学科本质。课堂需要的就是让学生根据己有的认识，开展自主探索，完成对数学抽象化和精确化的过程。
作者简介：张娅（1978-），女，湖南长沙人，硕士，中南林业科技大学涉外学院讲师，研究方向：英汉语对比研究与翻译，中西文化比较，英美文学研究。