【摘 要】 二次函数是中考备考的一个重点，也是难点，二次函数有三种形式：一般式、顶点式、交点式，学生较为陌生的交点式，在解题中却有着很广泛的应用，某些题目，如果运用交点式去解答，解题就会更加简便，本文就交点式在二次函数解题的应用作一些归纳。
　　【关键词】 中考备考；交点式；巧解
　　【中图分类号】G63.25 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）25-0-02
　　如果二次函数图象与轴的两个交点为和，那么二次函数解析式可以写成：，这里是待定系数，这种形式叫做交点式，下面归纳交点式在解题的几种常见应用。
　　1 求解析式
　　无论直接或间接知道抛物线与轴的两个交点，都可以运用交点式进行巧解。
　　例1.1已知抛物线经过点（1，0）和（-2，7），对称轴为直线，求该抛物线的解析式
　　1.1.1一般的解题思路
　　解：设该抛物线解析式为，把（1，0）和（-2，7）的坐标分别代入得：
　　 （1）
　　 （2）
　　又∵对称轴为直线
　　∴ （3）
　　（1）、（2）、（3）联立成方程组，得
　　解这个方程组，得
　　∴该抛物线解析式为
　　本解法待定的量有3个，要解三元一次方程组，计算量大，学生容易出错。
　　1.1.2本题巧解
　　解：因为抛物线与轴一个交点为（1，0），对称轴为直线，则另一个交点为（5，0）。
　　可设抛物线解析式为，把点（-2，7）的坐标代入，得。
　　所以，该抛物线的解析式为
　　2 求对称轴
　　根据抛物线的对称性，如果二次函数图象与轴的两个交点为和，则对称轴为直线，该结论在求对称轴，求顶点坐标有巧妙的应用。
　　例2.1抛物线与轴的一个交点为（1，0），求该抛物线与轴的另一个交点。
　　2.1.1一般的解题思路
　　解：把（1，0）的坐标代入，得：
　　∴抛物线解析式为
　　令得：
　　，
　　∴抛物线与轴的另一个交点为。
　　2.1.2本题巧解
　　解：设抛物线与轴的另一个交点为。
　　∵抛物线的对称轴是，与轴一个交点为（1，0），
　　∴
　　∴
　　∴抛物线与轴的另一个交点为。
　　例2.2已知抛物线与轴的交点为A（-2，0）和B（1，0），且经过点（2，8）。
　　求该抛物线的顶点坐标。
　　2.2.1一般的解题思路
　　解：设解析式为，把（-2，0）、（1，0）和（2，8）的坐标分别代入得：
　　解这个方程组，得
　　∴该抛物线解析式为
　　把配方得：
　　∴顶点为。
　　本解法要解三元一次方程组，又要用到配方法，过程较复杂，计算量大，学生容易出错。
　　2.2.2本题巧解
　　解：可设抛物线解析式为，把点（2，8）的坐标代入，得。
　　∴该抛物线的解析式为
　　∵抛物线与轴的交点为（-2，0）和（1，0）
　　∴对称轴为
　　把代入，得
　　∴顶点为。
　　3 求最值
　　在很多应用题中，列出来的等量关系式，其实就是二次函数的交点式，其实求最值问题，就是求抛物线的顶点问题。
　　例3.1用一段长30的篱笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，怎样围才能使矩形菜场的面积最大？最大面积是多少？
　　3.1.1一般的解题思路
　　解：设与墙垂直一边为，矩形的面积为，则与墙平行一边为，得
　　化为一般形式得：
　　配方得：
　　∴当时，。
　　答：当与墙垂直一边为时，矩形面积最大，最大面积为。
　　3.1.2本题巧解
　　分析：因为类似二次函数的交点式，直接利用对称性，很容易求得最值。
　　解：设与墙垂直一边为，矩形的面积为，则与墙平行一边为，得
　　令，则
　　则抛物线与轴的两个交点为和
　　∴对称轴为直线
　　则把代入得
　　∴当时，。
　　答：当与墙垂直一边为时，矩形面积最大，最大面积为。
　　参考文献
　　[1]人民教育出版社课程教材研究所.普通初中课程标准义务教育教科书·数学必修3.北京：人民教育出版社，2012，5