[关键词]齐次线性方程组 系数矩阵 行列式
　　
　　线性代数中齐次线性方程组是否有非零解有下面的重要结论：
　　定理 含有n个未知量的n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：方程组的系数行列式为零。
　　下面来看看该结论在高等数学中的应用。
　　
　　例1 设空间曲线 位于某一平面，且f (t),g(t),h(t)三阶可导，证明：
　　
　　
　　
　　证： 设曲线所在平面方程为：Aχ+Bу+Cz+D=0，其中A,B,C不全為零。设M(x(t),y(t),z(t))为曲线上点，则
　　Af(t)+Bg(t)+Ch(t)+D=0，
　　在方程两边关于t分别求一阶，二阶，三阶导数得：
　　Af`(t)+Bg`(t)+Ch`(t)=0，
　　Af``(t)+Bg``(t)+Ch``(t)=0，
　　Af```(t)+Bg```(t)+Ch```(t)=0，
　　方程组关于(A,B,C)有非零解，对应的系数行列式为零，
　　
　　即：。
　　
　　例2 求过点(χ0,у0,z0) 且与平面Aiχ+Biу+Ciz+Di=0(I=1,2)垂直的平面方程。
　　解: 设所求平面方程为A(χ-χ0)+B(у-у0)+C(z-z0)=0，(1)
　　
　　由已知可得：
　　
　　显然，A,B,C不全为零，则(1),(2),(3)构成的方程组有非零解，对应的系数矩阵为零，即：
　　
　　=0，此即为所求平面方程。
　　
　　例3 设方程aχ+bу+cz=f(χ2+у2+z2)确定隐函数为z=z(χ+у)，其中f可导，
　　证明：z=z(χ,у) 满足：。
　　证：在aχ+bу+cz=f(χ2+у2+z2)分别关于x,y求偏导，并移项整理得：
　　
　　
　　该方程组有非零解-f’和1，则系数行列式为零，即：
　　
　　，展开整理即得所证。
　　
　　例4 设у=ex(C1sinχ+C2cosχ)未某二阶常系数齐次线性微分方程的解，求该微分方程。
　　解：在у=ex(C1sinχ+C2cosχ)两端关于x求1，2阶导数：
　　(C1-C2)exsinχ+(C1+C2)excosχ-у`=0,(1)
　　-2C2exsinχ+2C1excosχ-у``=0,(2)
　　再考虑C1exsinχ+C2excosχ-у=0，(3)
　　则(1),(2),(3)构成的方程组有非零解：exsinχ,excosχ,-1，对应系数矩阵为零，则：
　　
　　展开得：(C12+C22)(y``-2y`+2y)=0，
　　
　　由C1+C2任意性，可得：y``-2y`+2y=0。
　　[参考文献]
　　[1]同济大学数学教研室，线性代数[M].北京：高等教育出版社，1999
　　[2]许莆华.线性代数典型题精讲(2002版).大连理工大学出版社，2002
　　（作者单位：北京华北电力大学 数理系）