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摘 要：该实验采用热膨胀测试仪（热膨胀测试仪DH0505）通过迈克尔逊干涉法和千分表法测量3种金属（铜、钢、铝）的线膨胀系数。该文通过对实验数据的处理和分析，对实验过程中存在的问题进行了深入的总结和探讨。发现：（1）迈克尔逊干涉测量方法的精度在理论上高于千分表法，但实际上两种方法测量结果的相对误差相当;（2）无论采用何种测量方法，冷却过程中的测量结果相对误差均小于加热过程中的测量结果。
关键词：线膨胀系数 误差 千分表 迈克尔逊干涉 稳态 瞬态
中图分类号：O4-34 文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）07（b）-0040-04
Comparison of Two Methods of Measuring Linear Expansion Coefficient
WEI Qunmei
（College of Science， China University of Petroleum （east China）， Qingdao， Shandong Province， 266580 China）
Abstract： This experiment uses a thermal expansion tester （thermal expansion tester DH0505） to measure the coefficient of linear expansion of three metals （copper， steel， aluminum） by Michelson interferometry and dial indicator method. Through the processing and analysis of experimental data， the problems existing in the experimental process are deeply summarized and discussed. It is found that： （1） The accuracy of the Michelson interferometer measurement method is theoretically higher than the dial gauge method， but in fact the relative errors of the measurement results of the two methods are equivalent; ⑵ Regardless of the measurement method， the relative error of the measurement result during the cooling process is smaller than the measurement result during the heating process.
Key Words： Linear expansion coefficients; Error; Dial indicator; Michelson interference; Steady state; Transient
线膨胀系数测量实验是大学物理实验中的基础性实验之一，是一个热学实验中微小变化量测量实验，也是一个必须和其他测量方法相结合的实验。比如：采用高精度的长度测量仪（如移测显微镜、千分表、光栅尺等）进行直接测量，或采用转换法（如光杠杆、光的干涉、光的衍射和传感器法等）进行间接测量[1-10]。
1 实验原理
线膨胀系数是指在一定温度范围内，温度每升高（降低）1 ℃时，固体材料在某一方向上的相对伸长（收缩）量，即：
（1）
式中α为固体的线膨胀系数;L1和L2分别为物体在t1和t2下的长度，△L21=L2-L1，是长度为L的物体在温度从t1升至t2的伸长量。在实验中，我们需要测量的物理量为：△L21，L，t1，t2，便可以计算得到α，达到测量的目的。由于金属在温度变化时长度变化的相对量都很小，而对于微小量测量要么采用高精度的测量仪器对其进行直接测量，要么通过转换后进行的间接测量。下面对千分表法（直接测量）和迈克尔逊干涉法（间接测量）两种方法分别从理论上和实际测量进行对比研究。
2 测量金属线膨胀系数的测量依据
由积商函数最大误差公式可得式（1）的最大誤差：
（2）
最大相对误差：
（3）
若实验要求E<3%，式（1）中的△L21，L，t1，t2是直接测量的物理量。根据等误差传递原则：
线膨胀系数实验仪器DH0505提供了硬铝（α参考值23.6×10-6/℃）、黄铜（α参考值20.8×10-6/℃）和钢（α参考值12.0×10-6/℃）3种金属材料，以最小的线膨胀系数钢为例进行仪器相关精度的计算，其中L=150 mm，温度从20～80 ℃，t2-t1=60 ℃，则：
L21=α（t2-t1）L=12.0×10-6×60×150=0.108（mm）
?L21=L21×1%≈0.001（mm）
?L=L×1%=1.5（mm）
△t2=△t1=（1/2）×（t2-t1） =（1/2）×60×1%=0.3（℃） 要达到实验要求，测量L的仪器精度就要求在1.5 mm以上，实验中使用的是精度为0.02 mm的游标卡尺，温度为0.1 ℃数字显示，精度为±0.1 ℃，这两个物理量的测量仪器精度高于所使用的仪器。下面分别以千分表法[4]和迈克尔逊干涉法测量线胀系数为例进行分析[5]。千分表的精度为1 μm，与△L21≈0.001 mm测量要求相当。根据文献[9]可得迈克尔逊干涉法测量线胀系数的表达式为：
（4）
其中，λ=632.8 nm，如果满足测量要求，则：N=2×（△L21/λ）=2×（0.001mm/632.8nm）≈3，N在测量中的偏差为±1，一般条纹数都要求是10的整数倍数，这样仪器的精度远远地高于测量精度要求。理论上迈克尔逊干涉法测量的精度远高于千分表法。
3 线胀系数测量数据及结论
实验仪器：DH0505热膨胀实验仪，游标卡尺，千分表，氦氖激光器，激光波长为632.8 nm。
3.1 迈克尔逊干涉法测量线膨胀系数调节与测量结果
按迈克尔逊干涉光路安装好各相关配件，并进行简单的粗调，使光路大致满足实验要求。接着打开激光器，利用微调旋钮将两个反射镜反射回来的光点调至重合。再将带有磁性的扩束镜架放置在激光器出光口上，放上扩束镜一般都可以看到干涉圆环，如果没有出现圆环，需拿下扩束镜重新调节一遍粗调，直至出现干涉圆环。为方便测量需将干涉环调节到毛玻璃屏的中间位置，这样便可以对实验进行相关数据的测量。
测量的相关数据与相关的计算结果见表1。
根据图1可知，利用α=（λ/2L）·[N/（t2-t1）]=（/2L）·k（k为图1中直线斜率），便可计算出线膨胀系数α的值，相关计算结果见表1。由图1和表1可知：（1）相关系数R2均在0.99以上，线性度很高;（2）降温过程测量的相对误差均小于加热过程。
3.2 千分表法测量线膨胀系数测量结果
将千分表安装到固定支架上，且与被测物体保持良好的接触，就可以进行相关数据的测量了。测量的相关数据与相关的计算结果见表2。
根据图2，利用α=（1/L）·[△L/（t2-t1）]=（1/L）·k（k为图2中直线斜率），便可计算出线膨胀系数α的值，相关计算结果见表2。由图2和表2可知：（1）相关系数R2均在0.99以上，线性度很高;（2）降温过程测量的相对误差均小于加热过程。
3.3 测量结果分析
理论上，迈克尔逊干涉测量的精度高于千分表法的，但实际测量的两者的测量精度相当。这是因为迈克尔逊干涉法在实际测量中存在一些不足之处：首先，由于人的注意力无法长时间保持高度集中，在记录吞吐圆环数的时候就会出现比较大的误差，而且此误差是随机性的;其次，有时外界的干扰有可能导致实验的中断，由于实验测量加热或者降温过程的关系，所以一旦中断就必须从头开始;最后，此实验操作必须两个人配合测量，否则就无法及时准确的记录数据。为了解决这个问题，已有不少学者对此提出过改进措施，如用高速摄像机记录条纹的变化[10]、利用水浴加热法提高温度的测量准确度[11]、利用位移传感器测量微小变化量[12]等。千分表法是一种稳态测量法，测量的结果只与稳定状态下数据有关，而与过程无关，这样人为和外界的影响相对来说就比迈克尔逊干涉法小，而且可以独立完成实验。
4 结语
迈克尔逊干涉法是一种单向的瞬时测量方法，直接利用在线胀系数的测量中，测量结果并不是很理想。通过线胀系数实验测量特点与测量数据比较得出：（1）迈克尔逊干涉测量线胀系数的实验对光路的条件要求较高，实验中的激光光源很容易引起眼睛疲劳从而引入测量误差，时间越长出现误差概率越大;（2）无论采用何种方法，降温测量结果优于加热测量。
参考文献
[1] 于莉莉，苏靖文，陆思绮.金属线胀系数测量的误差分析[J].大学物理实验，2015，28（6）：98-101.
[2] 盛爱兰，刘玉金.一种测定线胀系数的简易方法[J].物理通报，2019（8）：87-88.
[3] 罗尧，陈尔达，张翰宇，等.基于自动检测技术的金属线胀系数测量实验优化[J].大学物理实验，2021，34（2）：1-4.
[4] 朱瑜，刘璎辉.不同读数方法测量金属线膨胀系数的比较[J].实验室研究与探索，2015，34（4）：17-20.
[5] 范利平.采用千分表测定金属线胀系数[J].大学物理，2005，24（2）：61-62.
[6] 曹娟.金属线胀系数的光学方法测定[J].科技视界，2020（28）：54-55.
[7] 王续宇，徐志东.用误差理论分析实验仪器精度匹配问题[C]//中国数学，力学，物理学，高新技术交叉研究学会第八届学术年会，2006.
[8] 刘锦，张孟，罗端斌.金属线胀系数模拟计算与实验[J].大学物理，2020，39（9）：53-58.
[9] 李书光，张亚萍，朱海豐.大学物理实验[M].北京：科学出版社，2012.
[10] 张定梅，蒋再富，孙宪钢.基于迈克尔逊干涉仪测金属线胀系数[J].实验室科学，2018，21（4）：20-22.
[11] 侯俊江，崔景闯，林峰，等.用迈克尔逊干涉仪测量金属的线膨胀系数[J].大学物理实验，2016，29（6）：81-82，85.
[12] 谭福奎，姚萍，王靖.用光栅尺测量金属线膨胀系数[J].实验技术与管理，2014，31（7）：46-49.
关键词：线膨胀系数 误差 千分表 迈克尔逊干涉 稳态 瞬态
中图分类号：O4-34 文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）07（b）-0040-04
Comparison of Two Methods of Measuring Linear Expansion Coefficient
WEI Qunmei
（College of Science， China University of Petroleum （east China）， Qingdao， Shandong Province， 266580 China）
Abstract： This experiment uses a thermal expansion tester （thermal expansion tester DH0505） to measure the coefficient of linear expansion of three metals （copper， steel， aluminum） by Michelson interferometry and dial indicator method. Through the processing and analysis of experimental data， the problems existing in the experimental process are deeply summarized and discussed. It is found that： （1） The accuracy of the Michelson interferometer measurement method is theoretically higher than the dial gauge method， but in fact the relative errors of the measurement results of the two methods are equivalent; ⑵ Regardless of the measurement method， the relative error of the measurement result during the cooling process is smaller than the measurement result during the heating process.
Key Words： Linear expansion coefficients; Error; Dial indicator; Michelson interference; Steady state; Transient
线膨胀系数测量实验是大学物理实验中的基础性实验之一，是一个热学实验中微小变化量测量实验，也是一个必须和其他测量方法相结合的实验。比如：采用高精度的长度测量仪（如移测显微镜、千分表、光栅尺等）进行直接测量，或采用转换法（如光杠杆、光的干涉、光的衍射和传感器法等）进行间接测量[1-10]。
1 实验原理
线膨胀系数是指在一定温度范围内，温度每升高（降低）1 ℃时，固体材料在某一方向上的相对伸长（收缩）量，即：
（1）
式中α为固体的线膨胀系数;L1和L2分别为物体在t1和t2下的长度，△L21=L2-L1，是长度为L的物体在温度从t1升至t2的伸长量。在实验中，我们需要测量的物理量为：△L21，L，t1，t2，便可以计算得到α，达到测量的目的。由于金属在温度变化时长度变化的相对量都很小，而对于微小量测量要么采用高精度的测量仪器对其进行直接测量，要么通过转换后进行的间接测量。下面对千分表法（直接测量）和迈克尔逊干涉法（间接测量）两种方法分别从理论上和实际测量进行对比研究。
2 测量金属线膨胀系数的测量依据
由积商函数最大误差公式可得式（1）的最大誤差：
（2）
最大相对误差：
（3）
若实验要求E<3%，式（1）中的△L21，L，t1，t2是直接测量的物理量。根据等误差传递原则：
线膨胀系数实验仪器DH0505提供了硬铝（α参考值23.6×10-6/℃）、黄铜（α参考值20.8×10-6/℃）和钢（α参考值12.0×10-6/℃）3种金属材料，以最小的线膨胀系数钢为例进行仪器相关精度的计算，其中L=150 mm，温度从20～80 ℃，t2-t1=60 ℃，则：
L21=α（t2-t1）L=12.0×10-6×60×150=0.108（mm）
?L21=L21×1%≈0.001（mm）
?L=L×1%=1.5（mm）
△t2=△t1=（1/2）×（t2-t1） =（1/2）×60×1%=0.3（℃） 要达到实验要求，测量L的仪器精度就要求在1.5 mm以上，实验中使用的是精度为0.02 mm的游标卡尺，温度为0.1 ℃数字显示，精度为±0.1 ℃，这两个物理量的测量仪器精度高于所使用的仪器。下面分别以千分表法[4]和迈克尔逊干涉法测量线胀系数为例进行分析[5]。千分表的精度为1 μm，与△L21≈0.001 mm测量要求相当。根据文献[9]可得迈克尔逊干涉法测量线胀系数的表达式为：
（4）
其中，λ=632.8 nm，如果满足测量要求，则：N=2×（△L21/λ）=2×（0.001mm/632.8nm）≈3，N在测量中的偏差为±1，一般条纹数都要求是10的整数倍数，这样仪器的精度远远地高于测量精度要求。理论上迈克尔逊干涉法测量的精度远高于千分表法。
3 线胀系数测量数据及结论
实验仪器：DH0505热膨胀实验仪，游标卡尺，千分表，氦氖激光器，激光波长为632.8 nm。
3.1 迈克尔逊干涉法测量线膨胀系数调节与测量结果
按迈克尔逊干涉光路安装好各相关配件，并进行简单的粗调，使光路大致满足实验要求。接着打开激光器，利用微调旋钮将两个反射镜反射回来的光点调至重合。再将带有磁性的扩束镜架放置在激光器出光口上，放上扩束镜一般都可以看到干涉圆环，如果没有出现圆环，需拿下扩束镜重新调节一遍粗调，直至出现干涉圆环。为方便测量需将干涉环调节到毛玻璃屏的中间位置，这样便可以对实验进行相关数据的测量。
测量的相关数据与相关的计算结果见表1。
根据图1可知，利用α=（λ/2L）·[N/（t2-t1）]=（/2L）·k（k为图1中直线斜率），便可计算出线膨胀系数α的值，相关计算结果见表1。由图1和表1可知：（1）相关系数R2均在0.99以上，线性度很高;（2）降温过程测量的相对误差均小于加热过程。
3.2 千分表法测量线膨胀系数测量结果
将千分表安装到固定支架上，且与被测物体保持良好的接触，就可以进行相关数据的测量了。测量的相关数据与相关的计算结果见表2。
根据图2，利用α=（1/L）·[△L/（t2-t1）]=（1/L）·k（k为图2中直线斜率），便可计算出线膨胀系数α的值，相关计算结果见表2。由图2和表2可知：（1）相关系数R2均在0.99以上，线性度很高;（2）降温过程测量的相对误差均小于加热过程。
3.3 测量结果分析
理论上，迈克尔逊干涉测量的精度高于千分表法的，但实际测量的两者的测量精度相当。这是因为迈克尔逊干涉法在实际测量中存在一些不足之处：首先，由于人的注意力无法长时间保持高度集中，在记录吞吐圆环数的时候就会出现比较大的误差，而且此误差是随机性的;其次，有时外界的干扰有可能导致实验的中断，由于实验测量加热或者降温过程的关系，所以一旦中断就必须从头开始;最后，此实验操作必须两个人配合测量，否则就无法及时准确的记录数据。为了解决这个问题，已有不少学者对此提出过改进措施，如用高速摄像机记录条纹的变化[10]、利用水浴加热法提高温度的测量准确度[11]、利用位移传感器测量微小变化量[12]等。千分表法是一种稳态测量法，测量的结果只与稳定状态下数据有关，而与过程无关，这样人为和外界的影响相对来说就比迈克尔逊干涉法小，而且可以独立完成实验。
4 结语
迈克尔逊干涉法是一种单向的瞬时测量方法，直接利用在线胀系数的测量中，测量结果并不是很理想。通过线胀系数实验测量特点与测量数据比较得出：（1）迈克尔逊干涉测量线胀系数的实验对光路的条件要求较高，实验中的激光光源很容易引起眼睛疲劳从而引入测量误差，时间越长出现误差概率越大;（2）无论采用何种方法，降温测量结果优于加热测量。
参考文献
[1] 于莉莉，苏靖文，陆思绮.金属线胀系数测量的误差分析[J].大学物理实验，2015，28（6）：98-101.
[2] 盛爱兰，刘玉金.一种测定线胀系数的简易方法[J].物理通报，2019（8）：87-88.
[3] 罗尧，陈尔达，张翰宇，等.基于自动检测技术的金属线胀系数测量实验优化[J].大学物理实验，2021，34（2）：1-4.
[4] 朱瑜，刘璎辉.不同读数方法测量金属线膨胀系数的比较[J].实验室研究与探索，2015，34（4）：17-20.
[5] 范利平.采用千分表测定金属线胀系数[J].大学物理，2005，24（2）：61-62.
[6] 曹娟.金属线胀系数的光学方法测定[J].科技视界，2020（28）：54-55.
[7] 王续宇，徐志东.用误差理论分析实验仪器精度匹配问题[C]//中国数学，力学，物理学，高新技术交叉研究学会第八届学术年会，2006.
[8] 刘锦，张孟，罗端斌.金属线胀系数模拟计算与实验[J].大学物理，2020，39（9）：53-58.
[9] 李书光，张亚萍，朱海豐.大学物理实验[M].北京：科学出版社，2012.
[10] 张定梅，蒋再富，孙宪钢.基于迈克尔逊干涉仪测金属线胀系数[J].实验室科学，2018，21（4）：20-22.
[11] 侯俊江，崔景闯，林峰，等.用迈克尔逊干涉仪测量金属的线膨胀系数[J].大学物理实验，2016，29（6）：81-82，85.
[12] 谭福奎，姚萍，王靖.用光栅尺测量金属线膨胀系数[J].实验技术与管理，2014，31（7）：46-49.