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【摘要】函数图像表示法比公式表示法具有更直观的表达函数性质的优点.本文从二元函数、带两个参数的三元曲面函数、微分方程(组)三种情形举例说明了当用图像表示时,函数的性质一目了然.二元函数的图像表达了函数的单调性、连续性、光滑性等性质.含两个参数的三元函数的图像表达了曲面的正则性、奇点、脐点、法向量的变化情况.微分方程(组)的图像表达了当方程(组)取不同的初值时,随着时间的演变其解收敛或发散的情况.
【关键词】图像表示法;二元函数;曲面函数;微分方程(组)
一、引言
变量与变量的关系可用函数表达.函数的表示方法有公式法、列表法和图像法.当函数只有一个自变量时,我们很容易分析其性质,一般用公式法表示,少数情况下如多重复合函数时才考虑借助图形.当函数具有多个自变量时,函数的性质变得复杂,单从函数公式很难理解其特性;函数转化为图形,可以使得分析更直观更容易.本文以二元函数、含有两个参数的三元函数、微分方程(组)为例来说明图形表示在函数特性分析中的作用.
二、在分析二元函数性质时的应用
给定某多元函数,我们要分析其单调性、連续性、光滑性和在某些点的极限.下面给出了几种二元函数的图像.
三、在分析含有两个参数的三元曲面函数性质时的应用
含有两个参数的三元函数在空间中表现为曲面,分析曲面的性质时,我们从其光滑性、某点的切平面、某法截面的曲率、可展性、正则性等方面进行.我们分析某些特性时,如果由数学表达式推导结果,往往比较难懂.如对于正则性的分析,曲面函数是可微的,为同胚映射,微分映射是一对一的;如果从图形上看,那么正则表现为没有尖点,没有边,也不自身相交,图形上每一点的切平面都是有意义的.下面列出了螺旋面、悬链面、Enneper曲面、Mbius曲面四种曲面的图形.
四、在求解微分方程(组)中的应用
在求解线性微分方程(组)时,我们可以根据方程(组)系数矩阵的特性来判定解的性质.当系数矩阵的特征值为正数时,给定初值,一般解呈发散的状态;当系数矩阵的特征值为负数时,给定初值,解呈收敛的状态;当系数矩阵的特征值为复数时,实部的正负决定解的发散与收敛,虚部决定解呈螺旋状或环状.在求解非线性微分方程(组)时,一般无法求出解析解,只能求出数值解.对于高阶常微分方程,可以经过变换将其变为一阶微分方程组.
下面给出了四个微分方程(组)的解的图形,从图可看出对于(1)和(2),从不同的初值出发,解收敛于环形轨道或似环形轨道;(3)的解对于不同的初值,其收敛于不同的点;(4)对于不同的初值,其解最终将在两个似环形轨道上振荡.
五、小结与展望
函数图像可以使函数性质更加直观地体现出来.本文从二元函数、含两个参数的三元函数和微分方程(组)三个方面说明图像在分析函数性质中的作用.对于二元函数,从图像可看出其在某点是否间断,是否有唯一值,是否有突变,是否在多个值之间来回振荡,即可以分析其连续性、光滑性及某点的极限.对于含两个参数的三元函数,通过其曲面图像可看出其是否自相交,是否可展开,是否有突然转折线,是否有尖点,即可分析其正则性、光滑性、曲面的法向量、可展性等特性.对于微分方程(组),可借助图像分析取不同的初值时,其解的收敛、发散等情况.
受空间维数的限制,图像表示法仅限于一维、二维和三维的函数.对于高于三元的函数,一般情况下,我们通过想象来分析函数特性.今后,随着科学技术的进步,我们可能会有更好的手段学习多元函数的特性.
【参考文献】
[1] R.Clark Robinson著.动力系统导论[M].韩茂安,邢业朋,毕平译.北京:机械工业出版社,2007.
[2] 张祥.常微分方程[M].北京:科学出版社,2015.
[3] Manfredo P.do Carmo著.曲线与曲面的微分几何[M].国畴,忻元龙,姜国英,彭家贵,潘养廉译.北京:机械工业出版社,2005.
[4]朱健民,李颖.复变函数的可视化问题[J].大学数学,2011(01):175-178.
[5]谭畅,曲智林.关于旋转曲面方程的注记[J].大学数学,2020(05):101-105.
【关键词】图像表示法;二元函数;曲面函数;微分方程(组)
一、引言
变量与变量的关系可用函数表达.函数的表示方法有公式法、列表法和图像法.当函数只有一个自变量时,我们很容易分析其性质,一般用公式法表示,少数情况下如多重复合函数时才考虑借助图形.当函数具有多个自变量时,函数的性质变得复杂,单从函数公式很难理解其特性;函数转化为图形,可以使得分析更直观更容易.本文以二元函数、含有两个参数的三元函数、微分方程(组)为例来说明图形表示在函数特性分析中的作用.
二、在分析二元函数性质时的应用
给定某多元函数,我们要分析其单调性、連续性、光滑性和在某些点的极限.下面给出了几种二元函数的图像.
三、在分析含有两个参数的三元曲面函数性质时的应用
含有两个参数的三元函数在空间中表现为曲面,分析曲面的性质时,我们从其光滑性、某点的切平面、某法截面的曲率、可展性、正则性等方面进行.我们分析某些特性时,如果由数学表达式推导结果,往往比较难懂.如对于正则性的分析,曲面函数是可微的,为同胚映射,微分映射是一对一的;如果从图形上看,那么正则表现为没有尖点,没有边,也不自身相交,图形上每一点的切平面都是有意义的.下面列出了螺旋面、悬链面、Enneper曲面、Mbius曲面四种曲面的图形.
四、在求解微分方程(组)中的应用
在求解线性微分方程(组)时,我们可以根据方程(组)系数矩阵的特性来判定解的性质.当系数矩阵的特征值为正数时,给定初值,一般解呈发散的状态;当系数矩阵的特征值为负数时,给定初值,解呈收敛的状态;当系数矩阵的特征值为复数时,实部的正负决定解的发散与收敛,虚部决定解呈螺旋状或环状.在求解非线性微分方程(组)时,一般无法求出解析解,只能求出数值解.对于高阶常微分方程,可以经过变换将其变为一阶微分方程组.
下面给出了四个微分方程(组)的解的图形,从图可看出对于(1)和(2),从不同的初值出发,解收敛于环形轨道或似环形轨道;(3)的解对于不同的初值,其收敛于不同的点;(4)对于不同的初值,其解最终将在两个似环形轨道上振荡.
五、小结与展望
函数图像可以使函数性质更加直观地体现出来.本文从二元函数、含两个参数的三元函数和微分方程(组)三个方面说明图像在分析函数性质中的作用.对于二元函数,从图像可看出其在某点是否间断,是否有唯一值,是否有突变,是否在多个值之间来回振荡,即可以分析其连续性、光滑性及某点的极限.对于含两个参数的三元函数,通过其曲面图像可看出其是否自相交,是否可展开,是否有突然转折线,是否有尖点,即可分析其正则性、光滑性、曲面的法向量、可展性等特性.对于微分方程(组),可借助图像分析取不同的初值时,其解的收敛、发散等情况.
受空间维数的限制,图像表示法仅限于一维、二维和三维的函数.对于高于三元的函数,一般情况下,我们通过想象来分析函数特性.今后,随着科学技术的进步,我们可能会有更好的手段学习多元函数的特性.
【参考文献】
[1] R.Clark Robinson著.动力系统导论[M].韩茂安,邢业朋,毕平译.北京:机械工业出版社,2007.
[2] 张祥.常微分方程[M].北京:科学出版社,2015.
[3] Manfredo P.do Carmo著.曲线与曲面的微分几何[M].国畴,忻元龙,姜国英,彭家贵,潘养廉译.北京:机械工业出版社,2005.
[4]朱健民,李颖.复变函数的可视化问题[J].大学数学,2011(01):175-178.
[5]谭畅,曲智林.关于旋转曲面方程的注记[J].大学数学,2020(05):101-105.