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摘要: 高中数学教材中已有导数的相关知识,高等数学中也有《导数》这一重要的章节。本文就这一部分内容在高等数学与初等数学中的联系与区别进行了分析。
关键词: 导数初等数学高等数学
导数的概念、几种常见函数的导数、导数的四则运算、导数的应用等相关知识,在高中阶段教师已清晰并详细地对学生进行了讲解。这些知识难度不大,特别是在学导数的应用时,比如用导数的符号判断函数的单调性,学生会觉得这种方法较高一学习的单调性的判断方法更简单。高等数学的第二章《导数》的部分知识在高中数学教材中也有。因此,高等数学教师应该处理好这些重复点的讲解,否则学生会感觉所学知识与中学大致相同。例如:导数概念引入的两个实例学生在中学已经学过,在高等数学的教学中教师可以把它放在极限的应用中简单地讲解,不需要在讲解导数概念时重复讲解。我从以下几方面谈谈这一部分内容在高等数学与初等数学中的联系与区别。
1.导数知识产生的背景
17世纪上半叶,在文艺复兴后的资本主义生产力的刺激下,自然科学开始迈入综合与突破的阶段。1608年,荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜,后来伽利略发明了第一架天文望远镜。望远镜的发明不仅把天文学推向了新的高潮,而且促进了光学的研究。1619年,开普勒发表了行星运动定律:行星运动的轨道是一个椭圆,太阳位于该椭圆的一个焦点;太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等;行星绕太阳公转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。1638年,伽利略出版了《关于两门新科学的对话》提出了自由落体定律、动量定律。同时,他发现弹道的抛物线性质,并断言炮弹的最大射程在发射角为45度时方能达到。在这些科学发展的同时,微分学的基础问题成为当时人们关注的问题:确定非匀速运动物体的速度与加速度和瞬时变化率关系的研究;在望远镜的光程设计中,需要确定透镜曲面上任一点的法线,这就需要数学领域提供求任意曲线的切线的方法;确定炮弹的最大射程和寻求行星轨道的近日点与远日点,需要函数极大值与极小值问题的一般求法。当时,大批科学家寻求解决这些问题的数学方法,也取得了一些成果,比如:费马求极大值、极小值的方法,笛卡尔“圆法”等。
2.一些导数公式、导数应用的证明
对于对数与指数函数等导数公式,中学教材中没有给出明确的证明。在高等数学教材中,在学生学了隐函数和反函数的求导法则后,教材给出了证明,中学教材中没有涉及的一些初等函数的导数公式也给出了相应的证明。这样就给出了完整的导数公式,可以为学生的专业学习打好基础,这也是高等数学的教学目标。
导数应用中函数的单调性判断、极值,最值的求解方法在中学阶段都仅仅是通过具体事例的结果归纳出一般的结论。作为导数概念与导数应用之间的桥梁——中值定理,学生若能应用它,就可以完成这些问题的证明,从而真正弄清楚一些问题的实质。
3.导数知识在各专业中的应用
当今社会,分析的定量化、管理的科学化,促使很多领域都必须以数学知识方法为基础。学生学了导数的概念与应用之后,教师应该引导学生把所学知识与具体专业结合起来,这样才能达到高等数学学习的真正目的。
比如用导数概念去理解经济学中的一些概念。导数概念在经济学中的一个重要应用为边际分析,利用导数研究变量的边际变化的方法叫做边际分析方法。具体方法如下:设生产某种商品的成本函数为C(x),当产量增加△x时,成本相应地增加△C=C(x+△x)-C(x),■=■就为增加的商品平均成本,即商品量的变化导致成本变化的平均变化率。令△x→0,■■称作商品在产量为x时的边际成本。用导数的概念来理解它,边际成本也就是成本函数在点x处的导数。边际成本反映了商品量为x时成本的瞬时变化率。它的经济意义是边际成本近似等于产量为x时再生产一个商品所需要的成本。设生产某种商品的收益函数为R(x),利润函数为P(x),同样的,称■■为边际收益,称■■为边际利润,它们分别是收益函数和利润函数在x处的导数。同样的,它们的经济意义分别为边际收益近似等于产量为x时,再生产一个商品所增加或减少的收益和边际利润近似等于产量为x时,再生产一个商品所增加或减少的利润。从以上的经济意义来看,当边际成本小于边际收益时产量增加,反之,则产量减少。很明显,商品的最佳产量是当边际成本和边际收益相等时的数量。以这样一个例子为例:假设某商品的成本函数和收益函数为C(x)=3+2■万元、R(x)=■万元,那么边际成本和边际收益分别为■、■。如果产量为4百吨时,边际成本和边际收益为0.5万元、0.2万元。那么,此时再增加1百吨商品,边际成本和边际收益变为0.45万元、0.14万元,显然增加产量是不可取的。
总之,教师在进行《导数》这一部分教学时,应该弄清学生已掌握的知识和高等数学在这一部分的教学内容和教学目的,这样才能使学生才学有所获,学有所用。
参考文献:
[1]李文林.数学史教程[M].高等教育出版社,2000.
[2]重庆商学院数学教研室.经济数学基础[M].重庆大学出版社,2002.
关键词: 导数初等数学高等数学
导数的概念、几种常见函数的导数、导数的四则运算、导数的应用等相关知识,在高中阶段教师已清晰并详细地对学生进行了讲解。这些知识难度不大,特别是在学导数的应用时,比如用导数的符号判断函数的单调性,学生会觉得这种方法较高一学习的单调性的判断方法更简单。高等数学的第二章《导数》的部分知识在高中数学教材中也有。因此,高等数学教师应该处理好这些重复点的讲解,否则学生会感觉所学知识与中学大致相同。例如:导数概念引入的两个实例学生在中学已经学过,在高等数学的教学中教师可以把它放在极限的应用中简单地讲解,不需要在讲解导数概念时重复讲解。我从以下几方面谈谈这一部分内容在高等数学与初等数学中的联系与区别。
1.导数知识产生的背景
17世纪上半叶,在文艺复兴后的资本主义生产力的刺激下,自然科学开始迈入综合与突破的阶段。1608年,荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜,后来伽利略发明了第一架天文望远镜。望远镜的发明不仅把天文学推向了新的高潮,而且促进了光学的研究。1619年,开普勒发表了行星运动定律:行星运动的轨道是一个椭圆,太阳位于该椭圆的一个焦点;太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等;行星绕太阳公转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。1638年,伽利略出版了《关于两门新科学的对话》提出了自由落体定律、动量定律。同时,他发现弹道的抛物线性质,并断言炮弹的最大射程在发射角为45度时方能达到。在这些科学发展的同时,微分学的基础问题成为当时人们关注的问题:确定非匀速运动物体的速度与加速度和瞬时变化率关系的研究;在望远镜的光程设计中,需要确定透镜曲面上任一点的法线,这就需要数学领域提供求任意曲线的切线的方法;确定炮弹的最大射程和寻求行星轨道的近日点与远日点,需要函数极大值与极小值问题的一般求法。当时,大批科学家寻求解决这些问题的数学方法,也取得了一些成果,比如:费马求极大值、极小值的方法,笛卡尔“圆法”等。
2.一些导数公式、导数应用的证明
对于对数与指数函数等导数公式,中学教材中没有给出明确的证明。在高等数学教材中,在学生学了隐函数和反函数的求导法则后,教材给出了证明,中学教材中没有涉及的一些初等函数的导数公式也给出了相应的证明。这样就给出了完整的导数公式,可以为学生的专业学习打好基础,这也是高等数学的教学目标。
导数应用中函数的单调性判断、极值,最值的求解方法在中学阶段都仅仅是通过具体事例的结果归纳出一般的结论。作为导数概念与导数应用之间的桥梁——中值定理,学生若能应用它,就可以完成这些问题的证明,从而真正弄清楚一些问题的实质。
3.导数知识在各专业中的应用
当今社会,分析的定量化、管理的科学化,促使很多领域都必须以数学知识方法为基础。学生学了导数的概念与应用之后,教师应该引导学生把所学知识与具体专业结合起来,这样才能达到高等数学学习的真正目的。
比如用导数概念去理解经济学中的一些概念。导数概念在经济学中的一个重要应用为边际分析,利用导数研究变量的边际变化的方法叫做边际分析方法。具体方法如下:设生产某种商品的成本函数为C(x),当产量增加△x时,成本相应地增加△C=C(x+△x)-C(x),■=■就为增加的商品平均成本,即商品量的变化导致成本变化的平均变化率。令△x→0,■■称作商品在产量为x时的边际成本。用导数的概念来理解它,边际成本也就是成本函数在点x处的导数。边际成本反映了商品量为x时成本的瞬时变化率。它的经济意义是边际成本近似等于产量为x时再生产一个商品所需要的成本。设生产某种商品的收益函数为R(x),利润函数为P(x),同样的,称■■为边际收益,称■■为边际利润,它们分别是收益函数和利润函数在x处的导数。同样的,它们的经济意义分别为边际收益近似等于产量为x时,再生产一个商品所增加或减少的收益和边际利润近似等于产量为x时,再生产一个商品所增加或减少的利润。从以上的经济意义来看,当边际成本小于边际收益时产量增加,反之,则产量减少。很明显,商品的最佳产量是当边际成本和边际收益相等时的数量。以这样一个例子为例:假设某商品的成本函数和收益函数为C(x)=3+2■万元、R(x)=■万元,那么边际成本和边际收益分别为■、■。如果产量为4百吨时,边际成本和边际收益为0.5万元、0.2万元。那么,此时再增加1百吨商品,边际成本和边际收益变为0.45万元、0.14万元,显然增加产量是不可取的。
总之,教师在进行《导数》这一部分教学时,应该弄清学生已掌握的知识和高等数学在这一部分的教学内容和教学目的,这样才能使学生才学有所获,学有所用。
参考文献:
[1]李文林.数学史教程[M].高等教育出版社,2000.
[2]重庆商学院数学教研室.经济数学基础[M].重庆大学出版社,2002.