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摘 要：作为小学数学“综合与实践”的内容，如何在课堂教学中做到“综合运用”与“实践探究”并重，且能高效地达成两个方面的教学目标一直都是笔者关注的核心问题。本文基于对《探索图形》的教材研读及后续课堂教学实践，主要从“借助直观教具开展活动，使学生经历整个探究过程，逐步抽象得出规律，最终用于解决问题”等环节进行“反馈式”思考。为实现上述两个方面目标指向的学生数学活动能力和思维能力的提升与发展提出一定的见解。
关键词：直观；过程；发展思维
在整个小学阶段的数学中，使用教具、学具带来的直观体验，始终是学生学习“图形与几何”知识的最佳手段。即使到了高年级，当空间想象受阻或学习较为抽象的知识时，提供操作材料动手实验，依然是最为有效的教学策略。毫无疑问，对于《探索图形》内容的教学，首先要实现的就是有效的实践操作，使学生在具体的活动中，动手、动口、动脑，多种感官协调参与，在独立思考与小组合作中多角度地感悟该教学内容蕴含的数学思想，丰富自己的思维活动经验。
一、借助“真”直观，真实达成高效
在“综合与实践”活动的课堂教学中，一直存在着这样一种现象：因为教具、学具准备的难度较大，使得教学设计的思路受限于课堂实施的可行性。在此种情况下，教师通常会退而求其次，用课件演示的方式加以替代。然而，从学生认知特点来分析，这样的方式仅仅能够达成视觉上的直观，而缺少了其余各方面的体验。以本课教学为例，图1是两种方式下课堂呈现的立方体效果对比图。
用课件的方式似乎更为标准，并可以在演示涂色效果的基础上，通过颜色的对比、动画等手段把各种不同涂色情况“直观”地呈现在屏幕上。相比之下，立方体包装盒搭建的大立方体并没有进行涂色的具体操作，但在学生亲手搭建的过程中，对于各种涂色小立方体所处位置的理解却更为直观和真切。
在操作过程的组织上，结合所教班级的实际情况，以四人小组的形式，利用同桌合作拼成棱长为2的立方体，两个小组合作搭建棱长为3的立方体，利用四个小组的立方体组成棱长为4的立方体，最后全班学生的小立方体拼成棱长为5的立方体。这样的设计和实施，充分调动了学生参与活动的热情，并在潜移默化之中感受到合作学习的重要性。借助于真实的直观，还能极大地提升课堂教学的实效性，这也使得通过本课教学，对学生“综合运用知识”方面的目标设定有了更高的起点，最终达成“经历过程”与得出“数学模型”的两者兼顾。
二、经历“全”过程，水到方能渠成
任何数學知识的形成与习得都须符合其特有的客观规律。就“探索图形”内容本身来说，是发展学生推理能力、空间观念、几何直观非常好的教学载体。那么，如何在一堂课的教学中尽可能多地去丰富学生开展多方面思维活动的经验呢？结合教学实际，笔者认为：给全体学生创设并提供足够的活动空间与时间，使他们积极主动地参与实践操作的整个过程，无疑是实现上述目标的最佳策略。因此，在课始搭建研究了棱长为2的立方体涂色情况之后，展开以下探索：
【片段一】分类计数
师：现在要搭建棱长为3的立方体，只用你桌子上的够不够？（不够）怎么办？（用两个小组的立方体拼起来）请大家试一试。（学生操作）
师：现在给这个立方体表面涂上颜色，会有几种情况？
生：3种。8个顶点上的是三面涂色，中间的是一面涂色，还有两面涂色。
师：中间的一面涂色是指在立方体的哪里？（面上）两面涂色的呢？（棱上）涂色的会产生三种情况，不涂色的呢？有没有？（有）在立方体上找一找。
师：这样，我们把涂色情况分成了几类？（四类）你能分别找出个数吗？填在学习单上。
根据回答板书。小结：这种方法就叫作分类计数（板书），想一想，这样分类的依据是什么？（三面涂色的在顶点上，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在内部）也就是依据了？（正方体的特征）板书：依据特征。
【片段二】探索发现
师：现在把两张桌子上的小立方体集中在一起，试试看能搭成更大的立方体吗？（学生操作搭成两个棱长为4的立方体）完成学习单，在填的过程中如果有疑惑，可以随时对立方体进行观察和操作。
指名回答：三面涂色的有8个，两面涂色的有24个。（追问：说说你是怎么数的？）一条棱上有2个，有12条棱，一共有24个。一面涂色的有24个（你又是怎么数的呢？）在一个面上一面涂色的有4个，4乘以6个面就是24个。
师：最后这个有点难，没有涂色的有几个？（4个，8个）我们可以用总数减去这三类，结果是8，也可以在立方体上找一找，操作演示：把涂色的都移开，取出不涂色的部分，有几个？（8个）你能在这些教具中找一找吗？也就是谁？（棱长为2的立方体）
请这个小组把桌上的立方体拼到这张桌子上，形成棱长为5的立方体。（学生操作）其他同学可以思考棱长为5的立方体不同情况的个数。
如果你在填的时候有问题，可以上来对这个立方体进行观察操作。总数会是几个？（125个）三面涂色的？（8个）为什么还是8个？（立方体始终是8个顶点）两面涂色呢？
生：36个，因为每条棱上有3个，乘以12就是36个。（一面？）有54个，因为大立方体一个面上可以找到9个，乘以6就是54个。（请你上来找一找）
学生数1，2，3，…，8，9。（还有别的方法吗？）3乘以3。（为什么？）这里一面涂色的刚好形成了一个边长为3的正方形。（你太棒了，掌声！）
师：没有涂色的有几个？（27个）能在台上找到吗？（棱长为3的立方体）
“经历过程”比“得出结果”更重要，这在课题“探索图形”中已经做出了明确的课堂定位。以上环节实施中，利用学具逐步搭建棱长为3、4、5的立方体的过程，同时也是引导学生自主探索、发现规律的过程。从知识特征分析，三面涂色、两面涂色、一面涂色，再到没有涂色，各种立方体的数量规律呈现出较为明显的“梯次难度”，这种现象与整个“空间与图形”知识的编排形成对应。正是丰富了学生亲历过程的“源头之水”，才能真正开拓他们头脑中的“思维之渠”。 【片段三】得出规律
生：老师，我已经知道了没有涂色的公式，是（n-2）3。（追问：你的想法？）当棱长为n时，没有涂色的个数正好是棱长为（n-2）的立方体总个数。
师：你真棒，已经预先知道了下面要讲的知识。我们一起来研究当棱长为n时的情况，先在学习单上独立完成，再进行小组的讨论交流。
指名回答：当棱长为n的时候，总个数是n3，三面涂色是8个，两面涂色（n-2）×12。（说说你的想法？）因为在一条棱上是（n-2）个，再乘以12。
师：这里为什么要减去2？（根据学生回答直观演示）减去的2是处于顶点位置的两个立方体。
生：一面涂色的是（n-2）2×6。（又是怎么得出来的呢？）一面涂色的个数正好是边长为（n-2）的正方形。
没有涂色的为什么是（n-2）3呢？学生回答后，利用教具直观演示（如图2）。
利用这些规律，请你先想象一下，等棱长是6或者9的时候，各种小立方体的位置和个数是多少？（展开想象）
你能把它们分别计算出来吗？板书：解决问题（学生练习，分析过程略）
在这里，首先引用《数学课程标准（2011年版）解读》在“空間观念”一节中的阐述：“空间想象力主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的内化水平上，体现在对简单形体空间位置的想象和变换上，以及对抽象的数学式子（算式或代数式等）给予具体几何意义的想象解释或表象能力上。”如何将直观的经历内化为学生个体的理解，并能对最终得出的规律进行解释，可以看作是对以上作为本课教学难点的环节进行设计和实施时的“核心问题”。
具体表现在本次课堂实践中，当有学生自己提出“老师，我已经知道了没有涂色的公式，是（n-2）3”并能有合理的解释时，已然使笔者意识到源于直观和亲身经历的探索过程使得部分学生自主完成了对知识的初步内化。因而在这里，笔者把教学设计中对棱长为6的立方体各种涂色情况进行推算的环节进行了后置处理，顺势引出将规律抽象成数学模型的教学。对于如何引导学生从已有的初始经验向更高更深的层次“归流”与“掘进”，在实际教学中，笔者采用了“直观 抽象”的表现手法。笔者借助颜色对比鲜明的小棒教具，使学生感受从一维到二维再到三维的空间转换，在不断加深对数学模型理解程度的同时，使学生头脑中的空间想象和思维能力也得到了相应的发展。
三、拓展“新”方法，巩固再谋发展
在完成上述内容的教学后，教材中呈现了另一组由小立方体按规律拼出的几何体，旨在引导学生将解决问题的经验和策略迁移应用到新的问题中。然而，在实际教学中，学生很容易受到由“分类计数”这种方法造成的思维定式的影响。针对这一现象，笔者在巩固已学知识的基础上，对拓展环节进行了不同的处理。
【片段四】课堂小结
师：（结合板书）我们来回顾一下整个过程（如图3）。
你觉得哪一个环节最重要？（指名回答）老师相信每一个回答背后都有自己的理由，但是，你们感受到了吗？这五个环节中每个环节都非常重要，环环相扣形成了一个整体。就像这节课上用全班同学的小立方体搭成了棱长为5的大立方体，若缺少了其中一个，还能够搭成吗？
【片段五】拓展延伸
想不想试试难一点的？出示四层的实物教具（如图4）。现在涂色的情况会有几类？
生：五面涂色、四面涂色、三面涂色，还有两面涂色、一面涂色、没有涂色。
师：要分几类？（6类）太复杂了吧？注意对这个图形的要求是计算涂色的总面积，也就是这个几何体的？（表面积）
我们可以考虑简单一点的，出示二层、三层的实物教具。数一数，二层的一共有几个面涂色？（5 5 5 3=18个）你还有别的数法吗？
生：还可以3乘以6。（说说你的想法）因为一个方向看过去有3个面涂色，总共要从6个方向去看，即上下、前后、左右。
师：同学们听懂了吗？这个几何体有几个面？（6个）也就是说我们仍然依据了？（正方体的特征）
那么三层的呢？（6×6=36）四层？（10×6=60）这里的层数和涂色总面积有什么关系呢？当层数为的时候，涂色部分的总面积会是多少？这个问题就留到下课的时候同学们自己去思考解决。
课堂小结中，重点突出对探索学习整个过程的回顾，也可以看作是引导学生归纳数学活动的经验。在最后的拓展环节，首先出示四层的几何体实物教具，营造出在具体方法上的认知冲突，先破后立，使学生的思维转向寻求不同的解决路径。然受限于课堂教学的时间，适时地把问题留在课后由学生自主探索完成。
综合以上对“探索图形”的教学实践与思考，进一步拓宽至日常的小学数学课堂，需要教师根据教学内容实际，有意识地采用更多的直观教学手段，使学生充分地、全方位地经历数学活动与知识形成的整个过程，这对于发展学生的思维能力乃至更大范畴的数学能力，都有极为重要的现实意义。
关键词：直观；过程；发展思维
在整个小学阶段的数学中，使用教具、学具带来的直观体验，始终是学生学习“图形与几何”知识的最佳手段。即使到了高年级，当空间想象受阻或学习较为抽象的知识时，提供操作材料动手实验，依然是最为有效的教学策略。毫无疑问，对于《探索图形》内容的教学，首先要实现的就是有效的实践操作，使学生在具体的活动中，动手、动口、动脑，多种感官协调参与，在独立思考与小组合作中多角度地感悟该教学内容蕴含的数学思想，丰富自己的思维活动经验。
一、借助“真”直观，真实达成高效
在“综合与实践”活动的课堂教学中，一直存在着这样一种现象：因为教具、学具准备的难度较大，使得教学设计的思路受限于课堂实施的可行性。在此种情况下，教师通常会退而求其次，用课件演示的方式加以替代。然而，从学生认知特点来分析，这样的方式仅仅能够达成视觉上的直观，而缺少了其余各方面的体验。以本课教学为例，图1是两种方式下课堂呈现的立方体效果对比图。
用课件的方式似乎更为标准，并可以在演示涂色效果的基础上，通过颜色的对比、动画等手段把各种不同涂色情况“直观”地呈现在屏幕上。相比之下，立方体包装盒搭建的大立方体并没有进行涂色的具体操作，但在学生亲手搭建的过程中，对于各种涂色小立方体所处位置的理解却更为直观和真切。
在操作过程的组织上，结合所教班级的实际情况，以四人小组的形式，利用同桌合作拼成棱长为2的立方体，两个小组合作搭建棱长为3的立方体，利用四个小组的立方体组成棱长为4的立方体，最后全班学生的小立方体拼成棱长为5的立方体。这样的设计和实施，充分调动了学生参与活动的热情，并在潜移默化之中感受到合作学习的重要性。借助于真实的直观，还能极大地提升课堂教学的实效性，这也使得通过本课教学，对学生“综合运用知识”方面的目标设定有了更高的起点，最终达成“经历过程”与得出“数学模型”的两者兼顾。
二、经历“全”过程，水到方能渠成
任何数學知识的形成与习得都须符合其特有的客观规律。就“探索图形”内容本身来说，是发展学生推理能力、空间观念、几何直观非常好的教学载体。那么，如何在一堂课的教学中尽可能多地去丰富学生开展多方面思维活动的经验呢？结合教学实际，笔者认为：给全体学生创设并提供足够的活动空间与时间，使他们积极主动地参与实践操作的整个过程，无疑是实现上述目标的最佳策略。因此，在课始搭建研究了棱长为2的立方体涂色情况之后，展开以下探索：
【片段一】分类计数
师：现在要搭建棱长为3的立方体，只用你桌子上的够不够？（不够）怎么办？（用两个小组的立方体拼起来）请大家试一试。（学生操作）
师：现在给这个立方体表面涂上颜色，会有几种情况？
生：3种。8个顶点上的是三面涂色，中间的是一面涂色，还有两面涂色。
师：中间的一面涂色是指在立方体的哪里？（面上）两面涂色的呢？（棱上）涂色的会产生三种情况，不涂色的呢？有没有？（有）在立方体上找一找。
师：这样，我们把涂色情况分成了几类？（四类）你能分别找出个数吗？填在学习单上。
根据回答板书。小结：这种方法就叫作分类计数（板书），想一想，这样分类的依据是什么？（三面涂色的在顶点上，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在内部）也就是依据了？（正方体的特征）板书：依据特征。
【片段二】探索发现
师：现在把两张桌子上的小立方体集中在一起，试试看能搭成更大的立方体吗？（学生操作搭成两个棱长为4的立方体）完成学习单，在填的过程中如果有疑惑，可以随时对立方体进行观察和操作。
指名回答：三面涂色的有8个，两面涂色的有24个。（追问：说说你是怎么数的？）一条棱上有2个，有12条棱，一共有24个。一面涂色的有24个（你又是怎么数的呢？）在一个面上一面涂色的有4个，4乘以6个面就是24个。
师：最后这个有点难，没有涂色的有几个？（4个，8个）我们可以用总数减去这三类，结果是8，也可以在立方体上找一找，操作演示：把涂色的都移开，取出不涂色的部分，有几个？（8个）你能在这些教具中找一找吗？也就是谁？（棱长为2的立方体）
请这个小组把桌上的立方体拼到这张桌子上，形成棱长为5的立方体。（学生操作）其他同学可以思考棱长为5的立方体不同情况的个数。
如果你在填的时候有问题，可以上来对这个立方体进行观察操作。总数会是几个？（125个）三面涂色的？（8个）为什么还是8个？（立方体始终是8个顶点）两面涂色呢？
生：36个，因为每条棱上有3个，乘以12就是36个。（一面？）有54个，因为大立方体一个面上可以找到9个，乘以6就是54个。（请你上来找一找）
学生数1，2，3，…，8，9。（还有别的方法吗？）3乘以3。（为什么？）这里一面涂色的刚好形成了一个边长为3的正方形。（你太棒了，掌声！）
师：没有涂色的有几个？（27个）能在台上找到吗？（棱长为3的立方体）
“经历过程”比“得出结果”更重要，这在课题“探索图形”中已经做出了明确的课堂定位。以上环节实施中，利用学具逐步搭建棱长为3、4、5的立方体的过程，同时也是引导学生自主探索、发现规律的过程。从知识特征分析，三面涂色、两面涂色、一面涂色，再到没有涂色，各种立方体的数量规律呈现出较为明显的“梯次难度”，这种现象与整个“空间与图形”知识的编排形成对应。正是丰富了学生亲历过程的“源头之水”，才能真正开拓他们头脑中的“思维之渠”。 【片段三】得出规律
生：老师，我已经知道了没有涂色的公式，是（n-2）3。（追问：你的想法？）当棱长为n时，没有涂色的个数正好是棱长为（n-2）的立方体总个数。
师：你真棒，已经预先知道了下面要讲的知识。我们一起来研究当棱长为n时的情况，先在学习单上独立完成，再进行小组的讨论交流。
指名回答：当棱长为n的时候，总个数是n3，三面涂色是8个，两面涂色（n-2）×12。（说说你的想法？）因为在一条棱上是（n-2）个，再乘以12。
师：这里为什么要减去2？（根据学生回答直观演示）减去的2是处于顶点位置的两个立方体。
生：一面涂色的是（n-2）2×6。（又是怎么得出来的呢？）一面涂色的个数正好是边长为（n-2）的正方形。
没有涂色的为什么是（n-2）3呢？学生回答后，利用教具直观演示（如图2）。
利用这些规律，请你先想象一下，等棱长是6或者9的时候，各种小立方体的位置和个数是多少？（展开想象）
你能把它们分别计算出来吗？板书：解决问题（学生练习，分析过程略）
在这里，首先引用《数学课程标准（2011年版）解读》在“空間观念”一节中的阐述：“空间想象力主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的内化水平上，体现在对简单形体空间位置的想象和变换上，以及对抽象的数学式子（算式或代数式等）给予具体几何意义的想象解释或表象能力上。”如何将直观的经历内化为学生个体的理解，并能对最终得出的规律进行解释，可以看作是对以上作为本课教学难点的环节进行设计和实施时的“核心问题”。
具体表现在本次课堂实践中，当有学生自己提出“老师，我已经知道了没有涂色的公式，是（n-2）3”并能有合理的解释时，已然使笔者意识到源于直观和亲身经历的探索过程使得部分学生自主完成了对知识的初步内化。因而在这里，笔者把教学设计中对棱长为6的立方体各种涂色情况进行推算的环节进行了后置处理，顺势引出将规律抽象成数学模型的教学。对于如何引导学生从已有的初始经验向更高更深的层次“归流”与“掘进”，在实际教学中，笔者采用了“直观 抽象”的表现手法。笔者借助颜色对比鲜明的小棒教具，使学生感受从一维到二维再到三维的空间转换，在不断加深对数学模型理解程度的同时，使学生头脑中的空间想象和思维能力也得到了相应的发展。
三、拓展“新”方法，巩固再谋发展
在完成上述内容的教学后，教材中呈现了另一组由小立方体按规律拼出的几何体，旨在引导学生将解决问题的经验和策略迁移应用到新的问题中。然而，在实际教学中，学生很容易受到由“分类计数”这种方法造成的思维定式的影响。针对这一现象，笔者在巩固已学知识的基础上，对拓展环节进行了不同的处理。
【片段四】课堂小结
师：（结合板书）我们来回顾一下整个过程（如图3）。
你觉得哪一个环节最重要？（指名回答）老师相信每一个回答背后都有自己的理由，但是，你们感受到了吗？这五个环节中每个环节都非常重要，环环相扣形成了一个整体。就像这节课上用全班同学的小立方体搭成了棱长为5的大立方体，若缺少了其中一个，还能够搭成吗？
【片段五】拓展延伸
想不想试试难一点的？出示四层的实物教具（如图4）。现在涂色的情况会有几类？
生：五面涂色、四面涂色、三面涂色，还有两面涂色、一面涂色、没有涂色。
师：要分几类？（6类）太复杂了吧？注意对这个图形的要求是计算涂色的总面积，也就是这个几何体的？（表面积）
我们可以考虑简单一点的，出示二层、三层的实物教具。数一数，二层的一共有几个面涂色？（5 5 5 3=18个）你还有别的数法吗？
生：还可以3乘以6。（说说你的想法）因为一个方向看过去有3个面涂色，总共要从6个方向去看，即上下、前后、左右。
师：同学们听懂了吗？这个几何体有几个面？（6个）也就是说我们仍然依据了？（正方体的特征）
那么三层的呢？（6×6=36）四层？（10×6=60）这里的层数和涂色总面积有什么关系呢？当层数为的时候，涂色部分的总面积会是多少？这个问题就留到下课的时候同学们自己去思考解决。
课堂小结中，重点突出对探索学习整个过程的回顾，也可以看作是引导学生归纳数学活动的经验。在最后的拓展环节，首先出示四层的几何体实物教具，营造出在具体方法上的认知冲突，先破后立，使学生的思维转向寻求不同的解决路径。然受限于课堂教学的时间，适时地把问题留在课后由学生自主探索完成。
综合以上对“探索图形”的教学实践与思考，进一步拓宽至日常的小学数学课堂，需要教师根据教学内容实际，有意识地采用更多的直观教学手段，使学生充分地、全方位地经历数学活动与知识形成的整个过程，这对于发展学生的思维能力乃至更大范畴的数学能力，都有极为重要的现实意义。