【摘 要】
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例题(江西省红色七校2018届联考)已知函数f(x)=ex-ax2-bx(1)当a＞0,b=0时,讨论函数f(x)在区间(0,+∞)上零点的个数(2)当b=a时,如果f(x)恰有两个不同的极值点x1,x2,证明:x1+x2/2
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例题(江西省红色七校2018届联考)已知函数f(x)=ex-ax2-bx(1)当a＞0,b=0时,讨论函数f(x)在区间(0,+∞)上零点的个数(2)当b=a时,如果f(x)恰有两个不同的极值点x1,x2,证明:x1+x2/2＜ ln(2a)(1)解法1(数形结合)当a＞0,b=0时,函数f(x)在区间(0,+∞)上的零点的个数即方程ex=ax2根的个数.由ex=ax2可知a=ex/x2,令h(x)=e,则h(x)=xe(x-2)/(x2)2=ex(x-2)/x3,从而h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,又当x→0时,h(x)→+∞,当x→+∞时,由指数函数和幂函数的性质可知h(x)→+∞(或者由洛比达法则,有lim h(x)=lim≥=limex/2x=limex/2=+∞),所以在(0,+∞)上当x=2时h(x)取得最小值,即h(x)min=h(2)=e2/4.
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