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我们学校数学组经过九年的探索与完善，逐渐形成了以“先学后交，当堂拔高”为特色的数学课堂教学模式。先学，指的是预习课中学生在教师编制的预习提纲指导下进行的有目的、有计划的自学；后交，指的是展示课，是学生学习成果的交流课，是学生数学才能的展示课。下面，我从预习、展示、反馈三方面来谈一下数学课堂教学。
一、搞好数学预习课，培养学生自学能力
进行数学课堂教学，预习与否、预习效果如何，直接决定着展示课能否获得成功。数学预习课的基本操作步骤是：
（一）师生共同明确预习目标
通过与学生的交流，互相补充，学生明确本节课的学习目标。学生提出的目标不完善时，教师要给予补充、修正。
（二）教师提出预习要求和预习方法
预习要求包括学生对知识、技能需要达到目标的要求，还包括对完成各部分任务所用时间的要求。预习方法通常有：独立思考、同桌交流、小组交流、师生交流等。
（三）教师出示预习提纲，做好预习指导
预习提纲是学生预习的“方向盘”。预习提纲的编写，我们一般遵循以“问题”为线索的原则。教师把学生学习本节课应该掌握的知识、技能、规律编成问题，让学生通过对这些问题的思考与探究获得新知。
编制预习问题我们一般遵循以下四个原则：
1.预习问题的设计要有利于学生掌握解题方法。在学习《一元二次方程（1）》时，我给学生编制了以下预习问题：什么是一元二次方程？在定义中着重强调了几点，哪几点？如果给你一个方程让你判断它是不是一元二次方程，你看几方面，哪几方面？下面的方程是一元二次方程吗？
2.预习问题的设计要有利于学生形成知识规律。在学习《锐角三角函数》一章中的《30°，45°，60°的三角函数值》时，我借鉴旧教材的处理方法进行了归类预习，在黑板的一个版块上我画了三个直角三角形（分别含有30°，45°，60°角）。在这三个直角三角形下面附加四个预习问题：①你能求出30°，45°，60°角的正弦值吗？②请观察以上三个函数值，你能找个窍门以最快的速度记住它吗？③根据以上三个函数值，请你总结一下正弦值是随着角度如何进行变化的？④请同学们比较以下函数值的大小。接下来余弦、正切的预习仍然按照这样的思路设计预习问题，本节课的预习效果还是很理想的。
3.预习问题的设计要有利于激发学生的求知欲。激发学生求知欲的方法主要有两种：①创设情境法。在预习《三角形的内切圆》一节时，我给学生创设了以下情境：在某加工厂，工人张师傅遇到这么一个问题：他想在一块三角形铁皮上截一个面积最大的圆，可是这样的圆怎样才能把它画出来呢？通过本节课的预习，你能帮助工人张师傅完成这个任务吗？让学生带着问题进行预习，大大提高了学生的求知欲望。②编制错例法。在学生预习新课时，有好多内容学生往往感觉会做，却怎么也做不对。对这种“会而不对”的内容，教师可以以学生的身份编制错例：某某同学在解答某某问题时，是这样进行解答的……他的解答正确吗？有什么错误？你认为怎样才能避免这种错误？这种做法来源于学生，又返回到学生中间，大大提高了学生自主学习的兴趣。
4.预习问题的设计和预习练习的配置应注意由易到难、由简到繁。对难度比较大的题目，教师要学会“肢解”难点，在问题与问题之间加上几个小问题，减小问题与问题之间的梯度，让学生在预习问题的引导下自然达到一定的高度，掌握一定的知识与技能。
预习课在整个教学模式中处于关键环节，预习提纲则是上好预习课的关键。在预习提纲的指导下，学生的学习是有目的、有计划、有效果的学习，而不是放任自流。
预习提纲的出示方式：出示在黑板上；刻制在试卷上，变教案为学案；出示在多媒体屏幕上。
在学生预习的过程中，教师要参与到每个小组中，通过观察、提问、抽查的方式来了解每个学生对预习问题的解答情况。当学生遇到带有共性特点的疑难时，教师要及时予以点拨，帮助学生度过预习难关，顺利完成预习任务。
学生预习《圆综合证明题》时，有一道关于比例线段的证明题难住了好多学生。有的学生拿着材料对我说：“老师，这道题准出错了！你看，要证这个等积式，我把它化成比例式。可是，这两条边在一个直角三角形中，这两条边在一个钝角三角形中。我们怎么也不会证明一个直角三角形和一个钝角三角形相似啊？”面对学生的这种疑惑，我只给学生提示了一个字：“换！”“怎么换？”学生在初二曾经经历过换线段或换比例进行证明的例子，有了老师的提示，学生再经过几分钟的思考发现：这道题不仅换线段能进行证明，换比例同样也能进行证明！
（四）学生搜集各种信息，做好双色预习笔记
数学预习笔记的内容一般包括：预习目标、知识点、应用、错例分析、疑难解惑等。学生通常用红颜色的笔写知识点、出错的原因、疑难解惑，以达到内容醒目、提醒自己注意的作用。
（五）教师搜集预习错例，建立“数学医院”
教师在小组中进行预习指导的过程中，还要搜集预习错例，作为“数学医院”中的“数学病例”，让全班同学进行会诊，分析病因，提出预防措施。这种做法极大地提高了学生预习的兴趣与效果。
例如，学生在预习《有理数的除法》时，出现了这么一个错误：（-3）÷1/4÷1/4=-3。
病因：学生的运算顺序错误。
预防措施：同一级运算时，应从左向右进行。
（六）学生反馈预习疑难，师生共同加以解决
在预习任务结束后，各小组共同交流一下：通过本节课的预习，你还存在着哪些疑难问题。小组内开展“兵教兵”活动，扫清疑难障碍。教师通过这一环节，也明确哪些内容将要作为展示课中的展示重点，使展示课做到有的放矢。
《平行四边形的性质》预习课教案
（配北师大版八年级数学）
一、预习目标
1.经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中培养学生的探究意识和合作交流的习惯。
2.运用平行四边形的性质进行有关计算。
二、预习准备
两块含30°角的全等的直角三角板。
三、预习方法
结合教材和预习提纲，学生先独立思考，遇到疑难可以同桌交流、小组交流、师生交流。
四、预习提纲
（一）想一想
平行四边形是学生在生活中最常见的一种图形，你能在生活中找几个平行四边形的例子吗？你能画出它的形状吗？
（二）填一填
（三）拼一拼
用两块全等的含有30°角的直角三角板你能拼一个平行四边形吗？你能拼出几种不同形状的平行四边形？你是怎么知道它是平行四边形的？
（四）讲一讲
1.在你拼出的平行四边形中,你能说出每个角的度数吗?在这些角中有没有相等的，或者其他的关系?
2.四条边呢?
二、上好数学展示课，落实学生主体地位
（一）数学展示课展示什么
我们遵循这么一个展示原则：在预习过程中，学生都会的不展示，学生出错率高的、遇到困难比较大的、一题多解的、能与日常生活相联系的、能培养学生创新能力的内容将是我们展示课重点展示的对象。在展示课中教师还设计了多个专题化展示板块：明辨是非；一题多解，丰富多彩；设计方案，大显身手；非负数王国；奇思妙想；相约经典；走进生活，请你支招；动手尝试等，提高课堂的展示效果。
（二）怎么展示
有了预习课的充分准备，我们的展示课完全变成了学生的天地，变成了学生数学才能的展示舞台。在展示课上，教师分配完任务后，学生作图，学生讲解，学生点评思路，点评知识点、解题的关键、容易出现的错误，点评添加辅助线的目的、规律，学生反馈自己解题时所犯的错误，做题时应该注意的事项……
这一环节是对预习环节的升华，是培养学生能力、展现学生才能、树立学生自信的有效途径，通过展示达到“当堂拔高”的目的。
（三）展示课上教师干些什么
在展示课上，教师是课堂的组织者、引导者、参与者、合作者、策划者、评价者、规律的提升与拔高者。教师对课堂的驾驭能力主要体现在以下五个方面：追问、点评、拓展、提升规律、评价。当学生在展示过程中出现讲解不到位时，教师要及时根据情况编制问题进行追问，通过追问引发学生的再思考，从而加深对问题的理解，使学生的展示由不理想到理想，由不到位到到位。以下就是学生在课堂中的精彩展示。
已知，如图8，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕，（对角线BD），再过点D折叠使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1。求AG的长。
孙德秀：（立刻站起）这道题主要应用了矩形的性质：对边相等，四个角都是直角。
杜超：（急忙站起）这道题用到了折叠问题的规律：折叠意味着对称，对称意味着全等，全等意味着对应边相等，对应角相等。
师：（追问）在解答过程中，你认为运用了折叠关系中什么相等？张超同学，请你回答。
张超：（站起）我认为这道题既运用了对应边相等，又用到了对应角相等。
赵珊：（立刻站起）我认为这道题最容易想到的是用勾股定理进行计算，但是，运用面积转化法比较简单，可是不容易想到。
师：赵珊同学点评非常到位，在解答折叠问题时，首先应该想到折叠问题的规律。求线段AG的长度，可供选择的方法有三种：①勾股定理法；②利用相似三角形对应边成比例；③面积转化法。在解题过程中，同学们可以根据题目的已知条件选择合适的解法。无论采用哪一种方法，掌握折叠问题的规律是解题的关键！
三、搞好反馈课，重视弱势群体的达标情况
展示课后，全体同学是否都能够达到学习目标，尤其要关注成绩较差的同学能否学会，这就需要及时进行反馈。关于反馈课，我们注重了以下三方面。
（一）一个做法
在展示课后，我们充分利用学生与学生之间的“兵教兵”活动，让小组中的同学进行帮扶。在每节反馈课上，通常在一个学习小组内抽4名成绩较差的同学进行检测，采用“ABAB”型，即相邻的同学不做同一问题，通过他们的现场板演进行达标检测。
（二）两个重点
1.重点学生。我们根据月考成绩，在每个班中选取数学成绩排名相对靠后的24名同学分成两个组作为重点反馈对象，在楼道内的黑板上进行重点反馈（上午一个组，下午一个组）。通过这种做法，使数学待转化生天天都在转化中，天天都在提高中。
2.重点问题。我们从展示的题目中选择两个有价值的题目（或编制两个典型的变式题目）进行重点问题反馈。
（三）三个目的
反馈环节，教师通过学生板演进行达标测评的同时，发现学生存在的问题，及时对学生因材施教。如果学生出现错误的面比较大，可以在组中展开“兵教兵”活动进行帮扶。因为全班同学做的是两个问题，不同学生做同一问题最容易出现共性不足。发现共性错误，教师用彩色笔将错误圈出来，进行集中点评，让大家引以为戒。
随着课堂教学改革的深入，数学组出现了许多新做法：学生将精彩的点评语（解题的关键点、切入点、易错点）板演在黑板上，提高了课堂听课效果；学生提问学生，增强了生生互动，关注了较弱同学的听课状态；学生展示后给他们留出专门的反思时间，提高了学习效果；针对初一，初二年级数学课内容独立性比较强、难度较小的特点，我们探索出了在一节课中先预习后展示，边预习边展示，既有预习又有展示的课型，提高了课堂节奏；在每一节展示课上实行专题化展示，便于学生形成技能。
回首数学课堂教学改革，我们还存在许多需要改进的地方：有的教师在课堂上还存在着学生参与面不很广的现象；面对学生的精彩表现，有的教师却不能用多元化的方式去评价他们；有部分教师的追问能力还不高。对于这种情况，我们学科组将组织他们多听优秀教师的课，让优秀的教师多听他们的课，帮助他们尽快提高自己的上课技能。
在“三三六”教学模式下，教与学方式的转变，我们还有许多工作要做，还有好多做法有待于进一步完善，使之科学化、规范化。
注：文中涉及的“三三六”教学模式本刊在总第107、109期有相关报道，敬请读者朋友查阅。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
一、搞好数学预习课，培养学生自学能力
进行数学课堂教学，预习与否、预习效果如何，直接决定着展示课能否获得成功。数学预习课的基本操作步骤是：
（一）师生共同明确预习目标
通过与学生的交流，互相补充，学生明确本节课的学习目标。学生提出的目标不完善时，教师要给予补充、修正。
（二）教师提出预习要求和预习方法
预习要求包括学生对知识、技能需要达到目标的要求，还包括对完成各部分任务所用时间的要求。预习方法通常有：独立思考、同桌交流、小组交流、师生交流等。
（三）教师出示预习提纲，做好预习指导
预习提纲是学生预习的“方向盘”。预习提纲的编写，我们一般遵循以“问题”为线索的原则。教师把学生学习本节课应该掌握的知识、技能、规律编成问题，让学生通过对这些问题的思考与探究获得新知。
编制预习问题我们一般遵循以下四个原则：
1.预习问题的设计要有利于学生掌握解题方法。在学习《一元二次方程（1）》时，我给学生编制了以下预习问题：什么是一元二次方程？在定义中着重强调了几点，哪几点？如果给你一个方程让你判断它是不是一元二次方程，你看几方面，哪几方面？下面的方程是一元二次方程吗？
2.预习问题的设计要有利于学生形成知识规律。在学习《锐角三角函数》一章中的《30°，45°，60°的三角函数值》时，我借鉴旧教材的处理方法进行了归类预习，在黑板的一个版块上我画了三个直角三角形（分别含有30°，45°，60°角）。在这三个直角三角形下面附加四个预习问题：①你能求出30°，45°，60°角的正弦值吗？②请观察以上三个函数值，你能找个窍门以最快的速度记住它吗？③根据以上三个函数值，请你总结一下正弦值是随着角度如何进行变化的？④请同学们比较以下函数值的大小。接下来余弦、正切的预习仍然按照这样的思路设计预习问题，本节课的预习效果还是很理想的。
3.预习问题的设计要有利于激发学生的求知欲。激发学生求知欲的方法主要有两种：①创设情境法。在预习《三角形的内切圆》一节时，我给学生创设了以下情境：在某加工厂，工人张师傅遇到这么一个问题：他想在一块三角形铁皮上截一个面积最大的圆，可是这样的圆怎样才能把它画出来呢？通过本节课的预习，你能帮助工人张师傅完成这个任务吗？让学生带着问题进行预习，大大提高了学生的求知欲望。②编制错例法。在学生预习新课时，有好多内容学生往往感觉会做，却怎么也做不对。对这种“会而不对”的内容，教师可以以学生的身份编制错例：某某同学在解答某某问题时，是这样进行解答的……他的解答正确吗？有什么错误？你认为怎样才能避免这种错误？这种做法来源于学生，又返回到学生中间，大大提高了学生自主学习的兴趣。
4.预习问题的设计和预习练习的配置应注意由易到难、由简到繁。对难度比较大的题目，教师要学会“肢解”难点，在问题与问题之间加上几个小问题，减小问题与问题之间的梯度，让学生在预习问题的引导下自然达到一定的高度，掌握一定的知识与技能。
预习课在整个教学模式中处于关键环节，预习提纲则是上好预习课的关键。在预习提纲的指导下，学生的学习是有目的、有计划、有效果的学习，而不是放任自流。
预习提纲的出示方式：出示在黑板上；刻制在试卷上，变教案为学案；出示在多媒体屏幕上。
在学生预习的过程中，教师要参与到每个小组中，通过观察、提问、抽查的方式来了解每个学生对预习问题的解答情况。当学生遇到带有共性特点的疑难时，教师要及时予以点拨，帮助学生度过预习难关，顺利完成预习任务。
学生预习《圆综合证明题》时，有一道关于比例线段的证明题难住了好多学生。有的学生拿着材料对我说：“老师，这道题准出错了！你看，要证这个等积式，我把它化成比例式。可是，这两条边在一个直角三角形中，这两条边在一个钝角三角形中。我们怎么也不会证明一个直角三角形和一个钝角三角形相似啊？”面对学生的这种疑惑，我只给学生提示了一个字：“换！”“怎么换？”学生在初二曾经经历过换线段或换比例进行证明的例子，有了老师的提示，学生再经过几分钟的思考发现：这道题不仅换线段能进行证明，换比例同样也能进行证明！
（四）学生搜集各种信息，做好双色预习笔记
数学预习笔记的内容一般包括：预习目标、知识点、应用、错例分析、疑难解惑等。学生通常用红颜色的笔写知识点、出错的原因、疑难解惑，以达到内容醒目、提醒自己注意的作用。
（五）教师搜集预习错例，建立“数学医院”
教师在小组中进行预习指导的过程中，还要搜集预习错例，作为“数学医院”中的“数学病例”，让全班同学进行会诊，分析病因，提出预防措施。这种做法极大地提高了学生预习的兴趣与效果。
例如，学生在预习《有理数的除法》时，出现了这么一个错误：（-3）÷1/4÷1/4=-3。
病因：学生的运算顺序错误。
预防措施：同一级运算时，应从左向右进行。
（六）学生反馈预习疑难，师生共同加以解决
在预习任务结束后，各小组共同交流一下：通过本节课的预习，你还存在着哪些疑难问题。小组内开展“兵教兵”活动，扫清疑难障碍。教师通过这一环节，也明确哪些内容将要作为展示课中的展示重点，使展示课做到有的放矢。
《平行四边形的性质》预习课教案
（配北师大版八年级数学）
一、预习目标
1.经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中培养学生的探究意识和合作交流的习惯。
2.运用平行四边形的性质进行有关计算。
二、预习准备
两块含30°角的全等的直角三角板。
三、预习方法
结合教材和预习提纲，学生先独立思考，遇到疑难可以同桌交流、小组交流、师生交流。
四、预习提纲
（一）想一想
平行四边形是学生在生活中最常见的一种图形，你能在生活中找几个平行四边形的例子吗？你能画出它的形状吗？
（二）填一填
（三）拼一拼
用两块全等的含有30°角的直角三角板你能拼一个平行四边形吗？你能拼出几种不同形状的平行四边形？你是怎么知道它是平行四边形的？
（四）讲一讲
1.在你拼出的平行四边形中,你能说出每个角的度数吗?在这些角中有没有相等的，或者其他的关系?
2.四条边呢?
二、上好数学展示课，落实学生主体地位
（一）数学展示课展示什么
我们遵循这么一个展示原则：在预习过程中，学生都会的不展示，学生出错率高的、遇到困难比较大的、一题多解的、能与日常生活相联系的、能培养学生创新能力的内容将是我们展示课重点展示的对象。在展示课中教师还设计了多个专题化展示板块：明辨是非；一题多解，丰富多彩；设计方案，大显身手；非负数王国；奇思妙想；相约经典；走进生活，请你支招；动手尝试等，提高课堂的展示效果。
（二）怎么展示
有了预习课的充分准备，我们的展示课完全变成了学生的天地，变成了学生数学才能的展示舞台。在展示课上，教师分配完任务后，学生作图，学生讲解，学生点评思路，点评知识点、解题的关键、容易出现的错误，点评添加辅助线的目的、规律，学生反馈自己解题时所犯的错误，做题时应该注意的事项……
这一环节是对预习环节的升华，是培养学生能力、展现学生才能、树立学生自信的有效途径，通过展示达到“当堂拔高”的目的。
（三）展示课上教师干些什么
在展示课上，教师是课堂的组织者、引导者、参与者、合作者、策划者、评价者、规律的提升与拔高者。教师对课堂的驾驭能力主要体现在以下五个方面：追问、点评、拓展、提升规律、评价。当学生在展示过程中出现讲解不到位时，教师要及时根据情况编制问题进行追问，通过追问引发学生的再思考，从而加深对问题的理解，使学生的展示由不理想到理想，由不到位到到位。以下就是学生在课堂中的精彩展示。
已知，如图8，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕，（对角线BD），再过点D折叠使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1。求AG的长。
孙德秀：（立刻站起）这道题主要应用了矩形的性质：对边相等，四个角都是直角。
杜超：（急忙站起）这道题用到了折叠问题的规律：折叠意味着对称，对称意味着全等，全等意味着对应边相等，对应角相等。
师：（追问）在解答过程中，你认为运用了折叠关系中什么相等？张超同学，请你回答。
张超：（站起）我认为这道题既运用了对应边相等，又用到了对应角相等。
赵珊：（立刻站起）我认为这道题最容易想到的是用勾股定理进行计算，但是，运用面积转化法比较简单，可是不容易想到。
师：赵珊同学点评非常到位，在解答折叠问题时，首先应该想到折叠问题的规律。求线段AG的长度，可供选择的方法有三种：①勾股定理法；②利用相似三角形对应边成比例；③面积转化法。在解题过程中，同学们可以根据题目的已知条件选择合适的解法。无论采用哪一种方法，掌握折叠问题的规律是解题的关键！
三、搞好反馈课，重视弱势群体的达标情况
展示课后，全体同学是否都能够达到学习目标，尤其要关注成绩较差的同学能否学会，这就需要及时进行反馈。关于反馈课，我们注重了以下三方面。
（一）一个做法
在展示课后，我们充分利用学生与学生之间的“兵教兵”活动，让小组中的同学进行帮扶。在每节反馈课上，通常在一个学习小组内抽4名成绩较差的同学进行检测，采用“ABAB”型，即相邻的同学不做同一问题，通过他们的现场板演进行达标检测。
（二）两个重点
1.重点学生。我们根据月考成绩，在每个班中选取数学成绩排名相对靠后的24名同学分成两个组作为重点反馈对象，在楼道内的黑板上进行重点反馈（上午一个组，下午一个组）。通过这种做法，使数学待转化生天天都在转化中，天天都在提高中。
2.重点问题。我们从展示的题目中选择两个有价值的题目（或编制两个典型的变式题目）进行重点问题反馈。
（三）三个目的
反馈环节，教师通过学生板演进行达标测评的同时，发现学生存在的问题，及时对学生因材施教。如果学生出现错误的面比较大，可以在组中展开“兵教兵”活动进行帮扶。因为全班同学做的是两个问题，不同学生做同一问题最容易出现共性不足。发现共性错误，教师用彩色笔将错误圈出来，进行集中点评，让大家引以为戒。
随着课堂教学改革的深入，数学组出现了许多新做法：学生将精彩的点评语（解题的关键点、切入点、易错点）板演在黑板上，提高了课堂听课效果；学生提问学生，增强了生生互动，关注了较弱同学的听课状态；学生展示后给他们留出专门的反思时间，提高了学习效果；针对初一，初二年级数学课内容独立性比较强、难度较小的特点，我们探索出了在一节课中先预习后展示，边预习边展示，既有预习又有展示的课型，提高了课堂节奏；在每一节展示课上实行专题化展示，便于学生形成技能。
回首数学课堂教学改革，我们还存在许多需要改进的地方：有的教师在课堂上还存在着学生参与面不很广的现象；面对学生的精彩表现，有的教师却不能用多元化的方式去评价他们；有部分教师的追问能力还不高。对于这种情况，我们学科组将组织他们多听优秀教师的课，让优秀的教师多听他们的课，帮助他们尽快提高自己的上课技能。
在“三三六”教学模式下，教与学方式的转变，我们还有许多工作要做，还有好多做法有待于进一步完善，使之科学化、规范化。
注：文中涉及的“三三六”教学模式本刊在总第107、109期有相关报道，敬请读者朋友查阅。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”