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摘要：为了了解单个磁体磁场分布的情况，进而探究磁悬浮系统的磁场分布，利用MATLAB的电磁场模拟功能（即运用PDE工具箱），对磁悬浮系统的磁场分布进行计算机模拟仿真，给出磁悬浮系统磁场分布图，为更好地实现磁悬浮提供参考。通过对于本课题的研究，可以帮助大家更深层次地认识磁体的磁场分布、磁悬浮稳定条件等许多课外的知识，并对于课内学的知识有更好地认识，同时也能够提高大家用MATLAB解决实际问题的能力。
关键词：磁悬浮模拟；MATLAB；PDE工具箱
1.引言
上千年来，人类一直梦想着有一天能够摆脱地球的引力束缚而飞向蓝天，人类为之也进行了如热气球、飞机等各种尝试[1]。20世纪以后，人类的目光开始转向了磁悬浮这个领域。磁悬浮技术最早出现在1922年，德国人赫尔曼·肯佩尔第一次提出了有关磁悬浮技术的概念并申请了相关的技术专利，而这就为今后磁悬浮技术的发展打下了基础[2]。
磁悬浮技术是一门多门学科交叉，且具有巨大发展前景的学科[3]。磁悬浮技术自上个世纪概念的提出以来，许许多多的大学、企业、研究机构花了大量的资金与精力来进行系统的开发与商业上的应用。随着当今电磁理论、电子技术学、控制工程学及新型材料学等学科的飞速进步，磁悬浮技术得到了长足的发展[4]。
2.磁悬浮原理
磁悬浮是指利用磁体“同性相斥，异性相吸”的原理，使物体在没有支撑的情形下能够实现空中悬浮的现象。虽然这个原理看似简单，但实现起来却并不容易，因为根据恩肖定理，稳定的磁悬浮在静止的磁系统中是不可能实现的[5]。也正是因为这个原因，许多磁悬浮系统不单单是两个静止的磁体，有些磁悬浮系统加入了必要的稳定系统才能保持稳定，而这就需要有一个十分精确的控制系统；有些小的磁悬浮系统为了达到稳定，就会使浮子不断地旋转，这就是我们常见的旋转式磁悬浮系统。根据磁悬浮系统浮子的位置的不同，可以分为上拉式和下推式磁悬浮[6]。上拉式磁悬浮的原理是在浮子的上方放置与浮子磁性相反的磁体使浮子受到向上的吸引力并与其受到的向下的重力相抵消，从而达到竖直方向上受力的平衡。而下推式磁悬浮则是在浮子的下方放置与浮子磁性相同的磁体使之受到一个向上的斥力并与重力相抵消，达到竖直方向的受力平衡。上拉式与下推式磁悬浮都需要一个反馈电路来实时检测磁悬浮系统的变化，当浮子偏离平衡位置时，电路中的霍尔元件会检测出这个变化并把这个信号反馈，使电路中电流发生改变，进而改变磁场分布，使浮子回到原来的平衡位置。
除了上述两种常见的磁悬浮模式，还有一种不需要控制系统的静态稳定的磁悬浮系统，那就是抗磁式磁悬浮。抗磁质是磁介质的一种，它的磁化率是一个负值。这种物质会在外磁场下，在内部激发出一个与外磁场方向相反的磁场，从而使总磁场减弱。在实验室做抗磁性磁悬浮的实验时，我们先将一些永磁铁按照相邻磁体磁性相反的方式排列，然后将石墨芯（磁化率为-1.6×10-5）放置在永磁体阵列上方的合適位置，石墨被磁化时产生的磁化磁场与永磁铁阵列产生的磁场方向相反，使竖直向上的斥力与重力达到平衡，水平方向上则因为磁场分布的对称性而达到平衡[6]。
此次，用MATLAB进行模拟的主要理论原理是闭合环路的电流可以产生磁场（即安培环路积分定理）。我们所模拟的圆环磁铁与圆盘磁铁都可看作为磁铁内部的分子电流沿同一方向流动，从而产生了磁场，磁场的方向可以运用右手定则得到。我们主要用到的是MATLAB里面的用于解偏微分方程的PDE工具箱。
3.建模过程
为了方便起见，我们以通电直导线的磁场模拟为例，介绍PDE工具箱的使用步骤。
步骤一：打开MATLAB，在命令框中输入“pdetool”，回车，这样就打开了求解偏微分方程的工具箱；
步骤二：确定模拟的内容。可以在“Options”菜单的“Application”下做出选择，这里我们选“Magnetostatics”（磁场）；
步骤三：确定边界范围。点击“Draw”菜单栏的子菜单“Ellipse/circle”，做出一个圆形E1，双击E1，弹出一个框，并对E1的大小、位置进行调整：“X-center”：0、“Y-center”：0、“A-semiaxes”：2.5、“B-semiaxes”：2.5；
步骤四：建立几何模型。点击“Draw”菜单栏的子菜单“Ellipse/circle”，在边界范围内做一个圆形E2，并按上面的方法输入E2的参数： “X-center”：0、“Y-center”：0、“A-semiaxes”：0.1、“B-semiaxes”：0.1；
步骤五：确定边界条件。点击“Boundary”菜单栏下的“Boundary Mond”来定义边界条件，点选E1的四条边界，双击弹出的命令框中选择“Dirichlet”（第一类边界条件）；
步骤六：定义PDE系数。点击“PDE”菜单，然后分别选中E1、E2，双击弹出一个框，输入PDE系数。在这里我们分别定义：E1（mu=1；J=0）；E2（mu=1；J=800）。PDE系数J指的是环路电流密度；而mu指的是磁导率；
步骤七：三角形网格划分。点击“Mesh”内的“Initialize Mesh”，再点击“RefineMesh”进行细化网格；
步骤八：解的图形表达。点击“Plot”菜单内的“Parameters”设置显示效果。在弹出来的框中，勾选出“Color”、“Arrows”和“Plotin x-y grid”。性质“Property”项都选择“Magnetic flux density”，“Plot style”项分别选“interpolated shad”、“normalized”、“continuous”，“Colormap”项选择“jet”，设置完后点击确定，便可以得到相应的磁场分布图像； 4.实验结果
依照上述的步骤，我们首先对于单个磁体（圆盘磁铁与圆环磁铁）进行磁场分布模拟，然后以这两种磁体为基础，分别对下推式磁悬浮的磁场分布进行了MATLAB的磁场分布模拟。
首先，分别对一块直径为180mm、厚度为50mm的圆盘形磁铁和一块外径320mm、内径为120mm、厚度为30mm的圆环形磁铁进行二维磁场分布的模拟。
然后，我们将对下推式磁悬浮进行磁场模拟，系统的基底是圆环磁铁（外径为320mm、内径为120mm、厚度为30mm）、浮子是圆盘磁铁（直径160mm、厚度为20mm）。悬浮高度分别为20mm。
5.小结
从以上的磁悬浮模拟图中可以看出，磁场的零点位于浮子中，所以在理论上是能达到悬浮的，虽然由于模拟软件的限制，在我们的实验中忽略了重力与悬浮力之间的平衡关系。但是，我们依旧在实验中模拟出来了磁悬浮状态下系统的磁场分布并通过不断地尝试获得了比较理想的悬浮高度。
参考文献：
[1]Zheng J， Li J， Sun R， et al. A magnetic levitation rotating plate model based on high-Tc superconducting technology[J]. Cryogenics， 2017， 86： 1-6.
[2]隋成華，大学物理实验[M]. 上海：上海科学普及出版社，2012.
[3]纪源，磁悬浮技术原理及其应用[J]. 数字通信世界，2017年08期：1672-7274.
[4]李海洋，陈水桥，陈红雨等. 大学物理实验 I[M]. 北京：高等教育出版社，2014.
[5]Cansiz A， Oral E A， Gundogdu O. Optimization of the force modeling between high temperature superconductor and permanent magnet[J]. Physics Procedia， 2012， 36： 1025-1030.
[6]陈钢，韩英，沈凯，抗磁性物质磁悬浮的实验设计[J].教育现代化，2016年32期：187-188，195.
关键词：磁悬浮模拟；MATLAB；PDE工具箱
1.引言
上千年来，人类一直梦想着有一天能够摆脱地球的引力束缚而飞向蓝天，人类为之也进行了如热气球、飞机等各种尝试[1]。20世纪以后，人类的目光开始转向了磁悬浮这个领域。磁悬浮技术最早出现在1922年，德国人赫尔曼·肯佩尔第一次提出了有关磁悬浮技术的概念并申请了相关的技术专利，而这就为今后磁悬浮技术的发展打下了基础[2]。
磁悬浮技术是一门多门学科交叉，且具有巨大发展前景的学科[3]。磁悬浮技术自上个世纪概念的提出以来，许许多多的大学、企业、研究机构花了大量的资金与精力来进行系统的开发与商业上的应用。随着当今电磁理论、电子技术学、控制工程学及新型材料学等学科的飞速进步，磁悬浮技术得到了长足的发展[4]。
2.磁悬浮原理
磁悬浮是指利用磁体“同性相斥，异性相吸”的原理，使物体在没有支撑的情形下能够实现空中悬浮的现象。虽然这个原理看似简单，但实现起来却并不容易，因为根据恩肖定理，稳定的磁悬浮在静止的磁系统中是不可能实现的[5]。也正是因为这个原因，许多磁悬浮系统不单单是两个静止的磁体，有些磁悬浮系统加入了必要的稳定系统才能保持稳定，而这就需要有一个十分精确的控制系统；有些小的磁悬浮系统为了达到稳定，就会使浮子不断地旋转，这就是我们常见的旋转式磁悬浮系统。根据磁悬浮系统浮子的位置的不同，可以分为上拉式和下推式磁悬浮[6]。上拉式磁悬浮的原理是在浮子的上方放置与浮子磁性相反的磁体使浮子受到向上的吸引力并与其受到的向下的重力相抵消，从而达到竖直方向上受力的平衡。而下推式磁悬浮则是在浮子的下方放置与浮子磁性相同的磁体使之受到一个向上的斥力并与重力相抵消，达到竖直方向的受力平衡。上拉式与下推式磁悬浮都需要一个反馈电路来实时检测磁悬浮系统的变化，当浮子偏离平衡位置时，电路中的霍尔元件会检测出这个变化并把这个信号反馈，使电路中电流发生改变，进而改变磁场分布，使浮子回到原来的平衡位置。
除了上述两种常见的磁悬浮模式，还有一种不需要控制系统的静态稳定的磁悬浮系统，那就是抗磁式磁悬浮。抗磁质是磁介质的一种，它的磁化率是一个负值。这种物质会在外磁场下，在内部激发出一个与外磁场方向相反的磁场，从而使总磁场减弱。在实验室做抗磁性磁悬浮的实验时，我们先将一些永磁铁按照相邻磁体磁性相反的方式排列，然后将石墨芯（磁化率为-1.6×10-5）放置在永磁体阵列上方的合適位置，石墨被磁化时产生的磁化磁场与永磁铁阵列产生的磁场方向相反，使竖直向上的斥力与重力达到平衡，水平方向上则因为磁场分布的对称性而达到平衡[6]。
此次，用MATLAB进行模拟的主要理论原理是闭合环路的电流可以产生磁场（即安培环路积分定理）。我们所模拟的圆环磁铁与圆盘磁铁都可看作为磁铁内部的分子电流沿同一方向流动，从而产生了磁场，磁场的方向可以运用右手定则得到。我们主要用到的是MATLAB里面的用于解偏微分方程的PDE工具箱。
3.建模过程
为了方便起见，我们以通电直导线的磁场模拟为例，介绍PDE工具箱的使用步骤。
步骤一：打开MATLAB，在命令框中输入“pdetool”，回车，这样就打开了求解偏微分方程的工具箱；
步骤二：确定模拟的内容。可以在“Options”菜单的“Application”下做出选择，这里我们选“Magnetostatics”（磁场）；
步骤三：确定边界范围。点击“Draw”菜单栏的子菜单“Ellipse/circle”，做出一个圆形E1，双击E1，弹出一个框，并对E1的大小、位置进行调整：“X-center”：0、“Y-center”：0、“A-semiaxes”：2.5、“B-semiaxes”：2.5；
步骤四：建立几何模型。点击“Draw”菜单栏的子菜单“Ellipse/circle”，在边界范围内做一个圆形E2，并按上面的方法输入E2的参数： “X-center”：0、“Y-center”：0、“A-semiaxes”：0.1、“B-semiaxes”：0.1；
步骤五：确定边界条件。点击“Boundary”菜单栏下的“Boundary Mond”来定义边界条件，点选E1的四条边界，双击弹出的命令框中选择“Dirichlet”（第一类边界条件）；
步骤六：定义PDE系数。点击“PDE”菜单，然后分别选中E1、E2，双击弹出一个框，输入PDE系数。在这里我们分别定义：E1（mu=1；J=0）；E2（mu=1；J=800）。PDE系数J指的是环路电流密度；而mu指的是磁导率；
步骤七：三角形网格划分。点击“Mesh”内的“Initialize Mesh”，再点击“RefineMesh”进行细化网格；
步骤八：解的图形表达。点击“Plot”菜单内的“Parameters”设置显示效果。在弹出来的框中，勾选出“Color”、“Arrows”和“Plotin x-y grid”。性质“Property”项都选择“Magnetic flux density”，“Plot style”项分别选“interpolated shad”、“normalized”、“continuous”，“Colormap”项选择“jet”，设置完后点击确定，便可以得到相应的磁场分布图像； 4.实验结果
依照上述的步骤，我们首先对于单个磁体（圆盘磁铁与圆环磁铁）进行磁场分布模拟，然后以这两种磁体为基础，分别对下推式磁悬浮的磁场分布进行了MATLAB的磁场分布模拟。
首先，分别对一块直径为180mm、厚度为50mm的圆盘形磁铁和一块外径320mm、内径为120mm、厚度为30mm的圆环形磁铁进行二维磁场分布的模拟。
然后，我们将对下推式磁悬浮进行磁场模拟，系统的基底是圆环磁铁（外径为320mm、内径为120mm、厚度为30mm）、浮子是圆盘磁铁（直径160mm、厚度为20mm）。悬浮高度分别为20mm。
5.小结
从以上的磁悬浮模拟图中可以看出，磁场的零点位于浮子中，所以在理论上是能达到悬浮的，虽然由于模拟软件的限制，在我们的实验中忽略了重力与悬浮力之间的平衡关系。但是，我们依旧在实验中模拟出来了磁悬浮状态下系统的磁场分布并通过不断地尝试获得了比较理想的悬浮高度。
参考文献：
[1]Zheng J， Li J， Sun R， et al. A magnetic levitation rotating plate model based on high-Tc superconducting technology[J]. Cryogenics， 2017， 86： 1-6.
[2]隋成華，大学物理实验[M]. 上海：上海科学普及出版社，2012.
[3]纪源，磁悬浮技术原理及其应用[J]. 数字通信世界，2017年08期：1672-7274.
[4]李海洋，陈水桥，陈红雨等. 大学物理实验 I[M]. 北京：高等教育出版社，2014.
[5]Cansiz A， Oral E A， Gundogdu O. Optimization of the force modeling between high temperature superconductor and permanent magnet[J]. Physics Procedia， 2012， 36： 1025-1030.
[6]陈钢，韩英，沈凯，抗磁性物质磁悬浮的实验设计[J].教育现代化，2016年32期：187-188，195.