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先看一个结论:
如图1所示,在球面上,若互相平行的两条直线(a和b)被第三条直线c所截,则同位角1与2相等、同旁内角2与3互补.
图 1
为什么如此?
许多人都会怀疑这个结论,但这个结论却是正确的.为什么正确?且听下面分解.
在球面上,用平面截球面,都会得到圆,如果用平面通过球心截球面,得到的是大圆(我称这个平面为大圆平面),不通过球心截球面,得到的是小圆(我称这个平面为小圆平面).目前人类认为,大圆为球面上的直线.为啥大圆是球面上的直线呢?数学家说这是因为连接球面上两点的线以大圆的劣弧为最短.我认为,这个说法是有问题的.因为最短未必就是直的.直是绝对的,是没有一点弯曲的,这才是几何中的直.而球面是弯曲的,所以事实上大圆也是弯曲的.既然如此,那么为啥还要将大圆看成是直线呢?我认为,这是因为在垂直于大圆平面的方向上大圆是不弯曲的,是绝对平直的!
那么除了大圆之外,球面是否还有其他的直线呢?数学家说没有了.我认为:有,除了大圆之外,球面上还有其他的直线,这就是小圆!因为在垂直于小圆平面的方向上小圆也是绝对平直的,没有一点弯曲的!所以小圆也是球面上的直线!
小圆也是直线的另一个根据是,当球的直径无限大时,无论是大圆还是小圆都会成为直线.
所以:
球面上,过两点有无数条直线.
球面上,三点决定一条直线.
球面上,大圆围成的角是角,小圆围成的角也是角.
球面上,大圆围成的三角形是三角形,小圆或小圆与大圆的混合围成的三角形也是三角形.
球面上,三角形也可以相似.
球面上,过已知直线外一点只有一条直线与已知直线平行.
球面上,不相交的直线不一定平行.
球面上,三角形的内角和或等于或大于或小于180度.
球面上,同一直线的垂线不一定互相平行.
球面上,两条直线平行的直线若被第三条直线所截,则同位角相等,同旁内角互补.
球面上,不平行的直线不一定相交.
球面上,两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,且同位边相等,那么这两条直线平行.
……
对黎曼几何的理解:球面上,大圆(黎曼的直线)之外没有大圆(黎曼的直线)与之平行.这当然是对的,是真理.在球面上一个确定的大圆之外怎么可能还有大圆与之平行呢?显然是没有.所以黎曼是对的.但没有与大圆平行的大圆不等于没有与大圆平行的小圆,也不等于没有小圆与小圆的平行.我说的就是小圆与小圆及大圆与小圆的平行.
关于角的定义
其中大圆所围成的角是角,小圆所围成的角也是角.但是,由于小圆可以与大圆平行,所以小圆所围成的角本质上也可以视为大圆所围成的角.例如,如图2所示,c和a为大圆,b为小圆.c与b围成角1.由于a为平行于小圆b的大圆,a与c所围成的角2与角1是同位角,是相等的.所以,我们可以视小圆所围成的角1与大圆所围成的角2是等价的.
如图1所示,在球面上,若互相平行的两条直线(a和b)被第三条直线c所截,则同位角1与2相等、同旁内角2与3互补.
图 1
为什么如此?
许多人都会怀疑这个结论,但这个结论却是正确的.为什么正确?且听下面分解.
在球面上,用平面截球面,都会得到圆,如果用平面通过球心截球面,得到的是大圆(我称这个平面为大圆平面),不通过球心截球面,得到的是小圆(我称这个平面为小圆平面).目前人类认为,大圆为球面上的直线.为啥大圆是球面上的直线呢?数学家说这是因为连接球面上两点的线以大圆的劣弧为最短.我认为,这个说法是有问题的.因为最短未必就是直的.直是绝对的,是没有一点弯曲的,这才是几何中的直.而球面是弯曲的,所以事实上大圆也是弯曲的.既然如此,那么为啥还要将大圆看成是直线呢?我认为,这是因为在垂直于大圆平面的方向上大圆是不弯曲的,是绝对平直的!
那么除了大圆之外,球面是否还有其他的直线呢?数学家说没有了.我认为:有,除了大圆之外,球面上还有其他的直线,这就是小圆!因为在垂直于小圆平面的方向上小圆也是绝对平直的,没有一点弯曲的!所以小圆也是球面上的直线!
小圆也是直线的另一个根据是,当球的直径无限大时,无论是大圆还是小圆都会成为直线.
所以:
球面上,过两点有无数条直线.
球面上,三点决定一条直线.
球面上,大圆围成的角是角,小圆围成的角也是角.
球面上,大圆围成的三角形是三角形,小圆或小圆与大圆的混合围成的三角形也是三角形.
球面上,三角形也可以相似.
球面上,过已知直线外一点只有一条直线与已知直线平行.
球面上,不相交的直线不一定平行.
球面上,三角形的内角和或等于或大于或小于180度.
球面上,同一直线的垂线不一定互相平行.
球面上,两条直线平行的直线若被第三条直线所截,则同位角相等,同旁内角互补.
球面上,不平行的直线不一定相交.
球面上,两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,且同位边相等,那么这两条直线平行.
……
对黎曼几何的理解:球面上,大圆(黎曼的直线)之外没有大圆(黎曼的直线)与之平行.这当然是对的,是真理.在球面上一个确定的大圆之外怎么可能还有大圆与之平行呢?显然是没有.所以黎曼是对的.但没有与大圆平行的大圆不等于没有与大圆平行的小圆,也不等于没有小圆与小圆的平行.我说的就是小圆与小圆及大圆与小圆的平行.
关于角的定义
其中大圆所围成的角是角,小圆所围成的角也是角.但是,由于小圆可以与大圆平行,所以小圆所围成的角本质上也可以视为大圆所围成的角.例如,如图2所示,c和a为大圆,b为小圆.c与b围成角1.由于a为平行于小圆b的大圆,a与c所围成的角2与角1是同位角,是相等的.所以,我们可以视小圆所围成的角1与大圆所围成的角2是等价的.