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带电粒子在复合场中的运动综合了带电粒子在重力场、电场、磁场的运动特点，粒子受力种类较多，运动较为复杂. 分析的基本思路一要从受力分析入手，分析运动过程；二是类比物体的运动特点，建立物理模型，比如常见的匀变速运动（包括直线运动和曲线运动），应该直接从运动学规律入手，而对圆周运动，应从向心力的角度来分析问题，还有变速直线运动和特殊的曲线运动（例如螺旋线等），应从运动状态入手，利用临界条件或是从动量和能量来分析.
一、带电粒子在匀强电场和重力场中的运动
带电粒子在匀强电场和重力场所受的力都是恒力，可以将重力和电场力进行合成，如图1，则[F]等效于“重力”，[a=F/m]等效于“重力加速度”，[F]的方向等效于“重力”的方向，在分析问题时类比重力场中物体的运动来建立物理模型，一般有以下几种情况：
①匀变速直线运动：直接运用运动学规律来分析；
②匀变速曲线运动：类比抛体运动，采用运动的分解将复杂的运动分解为两个互相正交的直线运动；
③圆周运动：类比物体在重力场中的绳和杆模型，注意分析运动过程以及速度和力的临界值.
如，在竖直平面内存在一水平方向的匀强电场，一个带正电的小球用绝缘轻质细线悬挂于[O]点，现将小球拉至水平位置释放，如图2，电场方向水平向右，带电粒子释放后做摆动，运动过程关于[F]的方向是对称的；如图3，电场方向水平向左，带电粒子释放后沿[F]的方向做初速度为零的匀变速直线运动，直到绳子再次拉直后再做摆动，在此过程中带电粒子在绳子绷直的瞬间[v1]减为0而损失能量，所以无法摆动到同一高度.
二、带电粒子在匀强电场和匀强磁场中的运动
1. 带电粒子在垂直正交的匀强电场和匀强磁场的运动.
若带电粒子所受的电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动，例如速度选择器、质谱仪中的前半部分、磁流体发动机、霍尔效应、电磁流量计.
若带电粒子所受的电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解.
2. 带电粒子在有界的匀强电场和匀强磁场中的运动.
这种运动实际上带电粒子在电场和磁场中运动的组合. 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,关键在于“定圆心、画轨迹”再根据几何知识求解求解. 在电场中的运动情况有两种可能,一种是匀变速直线运动,首选动能定理,也可用牛顿第二定律结合运动学公式求解. 另一种是匀变速曲线运动,采用运动的分解,即分解速度或者分解位移，不涉及速度的方向时,也可以用动能定律求解. 将以上两类运动结合在一起，结合点为速度，即粒子离开磁场(或电场)时的速度就是粒子进入电场(或磁场)的速度.
例1 如图4,在坐标系[xOy]中,过原点的直线[OC]与[x]轴正向的夹角[φ=120°],在[OC]右侧有一匀强电场;在第二、三象限内有一匀强磁场，其上边界与电场边界重叠、右边界为[y]轴、左边界为图中平行于[y]轴的虚线，磁感应强度大小为[B]，方向垂直纸面向里. 一带正电荷[q]、电量为[m]的粒子以某一速度自磁场左边界上的[a]点射入磁场区域，并从[O]点射出，粒子射出磁场的速度方向与[x]轴的夹角[θ=30∘]，大小为[v]. 粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且弧的半径为磁场左右边界间距的两倍. 粒子进入电场后，在电场力的作用下又由[O]点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场. 已知粒子从[A]点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期. 忽略重力的影响. 求粒子经过[A]点时的速度的方向和[A]点到[x]轴的距离；匀强电场的大小和方向；粒子从第二次离开磁场到再次进入电场时所用的时间.
解析 如图5，画出粒子运动轨迹，根据几何关系得出[d=R-Rcos30°=(1-32)mvqB]；由粒子进入电场后，在电场力的作用下又由[O]点返回磁场区域，可知粒子在电场中做匀变速直线运动，由此推出电场强度方向应与速度方向相反与[x]轴成[150°]，利用时间关系推出[E=12vB7π]，由粒子出场后做匀速直线运动画出粒子运动的轨迹图，再结合几何关系，得出粒子从第二次离开磁场到再次进入电场所用的时间[t=CDv=3mqB].
三、带电粒子在匀强电场、匀强磁场和重力场中的运动
1. 无约束的情况
例2 设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小[E=4.0]V/m，磁感应强度的大小[B=0.15]T. 今有一个带负电的质点以[v=20]m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比[q/m]以及磁场的所有可能方向（角度可用反三角函数表示）.
解析 带电质点做匀速直线运动，其所受的合力必为零. 带电质点受重力[mg]、电场力[qE]、洛伦兹力[Bvq]的作用. 重力[mg]的方向是竖直向下的，说明电场力[qE]和洛伦兹力[Bvq]的合力的方向应是竖直向上的，且这三个力在同一竖直平面内，进而说明电场和磁场是倾斜方向的（设磁场方向与重力方向的夹角为[θ]），带电质点的运动垂直于三力所在的竖直平面.设带电质点的速度垂直纸面向外（也可向里或向位于水平面内的任一方向，但设向外或向里运动易于分析研究质点受力），经分析得到与题意相符的受力分析如图6. 列出方程[mgcosθ=qEmgsinθ=Bqv]，得出[q/m]=1.96C/kg,磁场的方向为斜向下且与竖直方向夹角[θ=arccot0.75]的一切方向.
2. 有约束的情况
带电体在复合场中，受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况，应从受力分析入手，分析物体的运动过程，确定重要的临界状态，常见的运动形式有直线运动和圆周运动.
例3 如图7，半径为[R]的光滑绝缘环竖直置于正交的水平匀强电场和磁场中，磁感应强度为[B]. 今有一质量为[m]、带电量为[+q]的空心小球穿在环上，已知小球所受电场力和重力大小相等，则当小球由静止开始从环顶[M]下滑做什么运动，并分析运动过程中对环的压力的最大值是多少？
解析 先找到圆周运动的等效最高点、最低点，因[qE=mg]，则等效的最低点在与水平方向成[45°]角的[P]点，如图8，类比物体在重力场中杆模型竖直平面内的圆周运动，小球由静止开始从环顶[M]下滑做变速圆周运动，根据能量关系，小球只能运动至[M]，无法做完整的圆周运动，注意洛伦兹力是和运动状态密切联系的，所以环所受的压力应是在小球从[M]运动至[M]并在等效最低点[P]点出现最大值. 设球滑到[P]点时速度为[v]， 由动能定理，有
[mg(1+2)R+Eq•2R=12mv2]
且[qE=mg]，得[v=(1+22)gR]
设球在[P]点时受到弹力为[N]，根据牛顿第二定律，有[N-Bvq-Eqcos450-mgsin450=mv2R]
得到[N=(32+1)mg+Bq((1+22)gR]
即为球对环的压力的最大值.
【练习】
1. 在方向水平的匀强电场中,一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为[m]的带电小球,另一端固定于[O]点. 把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放. 已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为[θ]（如图9）. 求小球经过最低点时细线对小球的拉力.
2. 如图10，在互相垂直的水平方向的匀强电场和匀强磁场（[E、B]已知）中，有一固定的竖直绝缘杆，杆上套一个质量为[m],电荷量为[+q]的小球，它们之间的动摩擦因数为[μ]. 现由静止释放小球，求小球沿棒运动的最大加速度和最大速度（[mg>μqE],小球的带电荷量不变）.
3. 如图11,在宽度分别为[l1]和[l2]的两个相邻的条形区域分别有匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直于纸面向里，电场方向与电、磁场分界线平行向右. 一带正电荷的粒子以速率[v]从磁场区域上边界的[P]点斜射入磁场，然后以垂直于电、磁场分界线的方向进入电场，最后从电场边界上的[Q]点射出，已知[PQ]垂直于电场方向，粒子轨迹与电、磁场分界线的交点到[PQ]的距离为[d]. 不计重力，求电场强度与磁感应强度的大小之比及粒子在磁场与电场中运动的时间之比.
【参考答案】
1. [mg]［3－（[2cosθ]）/（1＋[sinθ]）］
2. [g (mg+qEμ)/μqB]
3. [l12+d2l22v] [l12+d22dl2arcsin(2dl1l12+d2)]
一、带电粒子在匀强电场和重力场中的运动
带电粒子在匀强电场和重力场所受的力都是恒力，可以将重力和电场力进行合成，如图1，则[F]等效于“重力”，[a=F/m]等效于“重力加速度”，[F]的方向等效于“重力”的方向，在分析问题时类比重力场中物体的运动来建立物理模型，一般有以下几种情况：
①匀变速直线运动：直接运用运动学规律来分析；
②匀变速曲线运动：类比抛体运动，采用运动的分解将复杂的运动分解为两个互相正交的直线运动；
③圆周运动：类比物体在重力场中的绳和杆模型，注意分析运动过程以及速度和力的临界值.
如，在竖直平面内存在一水平方向的匀强电场，一个带正电的小球用绝缘轻质细线悬挂于[O]点，现将小球拉至水平位置释放，如图2，电场方向水平向右，带电粒子释放后做摆动，运动过程关于[F]的方向是对称的；如图3，电场方向水平向左，带电粒子释放后沿[F]的方向做初速度为零的匀变速直线运动，直到绳子再次拉直后再做摆动，在此过程中带电粒子在绳子绷直的瞬间[v1]减为0而损失能量，所以无法摆动到同一高度.
二、带电粒子在匀强电场和匀强磁场中的运动
1. 带电粒子在垂直正交的匀强电场和匀强磁场的运动.
若带电粒子所受的电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动，例如速度选择器、质谱仪中的前半部分、磁流体发动机、霍尔效应、电磁流量计.
若带电粒子所受的电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解.
2. 带电粒子在有界的匀强电场和匀强磁场中的运动.
这种运动实际上带电粒子在电场和磁场中运动的组合. 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,关键在于“定圆心、画轨迹”再根据几何知识求解求解. 在电场中的运动情况有两种可能,一种是匀变速直线运动,首选动能定理,也可用牛顿第二定律结合运动学公式求解. 另一种是匀变速曲线运动,采用运动的分解,即分解速度或者分解位移，不涉及速度的方向时,也可以用动能定律求解. 将以上两类运动结合在一起，结合点为速度，即粒子离开磁场(或电场)时的速度就是粒子进入电场(或磁场)的速度.
例1 如图4,在坐标系[xOy]中,过原点的直线[OC]与[x]轴正向的夹角[φ=120°],在[OC]右侧有一匀强电场;在第二、三象限内有一匀强磁场，其上边界与电场边界重叠、右边界为[y]轴、左边界为图中平行于[y]轴的虚线，磁感应强度大小为[B]，方向垂直纸面向里. 一带正电荷[q]、电量为[m]的粒子以某一速度自磁场左边界上的[a]点射入磁场区域，并从[O]点射出，粒子射出磁场的速度方向与[x]轴的夹角[θ=30∘]，大小为[v]. 粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且弧的半径为磁场左右边界间距的两倍. 粒子进入电场后，在电场力的作用下又由[O]点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场. 已知粒子从[A]点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期. 忽略重力的影响. 求粒子经过[A]点时的速度的方向和[A]点到[x]轴的距离；匀强电场的大小和方向；粒子从第二次离开磁场到再次进入电场时所用的时间.
解析 如图5，画出粒子运动轨迹，根据几何关系得出[d=R-Rcos30°=(1-32)mvqB]；由粒子进入电场后，在电场力的作用下又由[O]点返回磁场区域，可知粒子在电场中做匀变速直线运动，由此推出电场强度方向应与速度方向相反与[x]轴成[150°]，利用时间关系推出[E=12vB7π]，由粒子出场后做匀速直线运动画出粒子运动的轨迹图，再结合几何关系，得出粒子从第二次离开磁场到再次进入电场所用的时间[t=CDv=3mqB].
三、带电粒子在匀强电场、匀强磁场和重力场中的运动
1. 无约束的情况
例2 设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小[E=4.0]V/m，磁感应强度的大小[B=0.15]T. 今有一个带负电的质点以[v=20]m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比[q/m]以及磁场的所有可能方向（角度可用反三角函数表示）.
解析 带电质点做匀速直线运动，其所受的合力必为零. 带电质点受重力[mg]、电场力[qE]、洛伦兹力[Bvq]的作用. 重力[mg]的方向是竖直向下的，说明电场力[qE]和洛伦兹力[Bvq]的合力的方向应是竖直向上的，且这三个力在同一竖直平面内，进而说明电场和磁场是倾斜方向的（设磁场方向与重力方向的夹角为[θ]），带电质点的运动垂直于三力所在的竖直平面.设带电质点的速度垂直纸面向外（也可向里或向位于水平面内的任一方向，但设向外或向里运动易于分析研究质点受力），经分析得到与题意相符的受力分析如图6. 列出方程[mgcosθ=qEmgsinθ=Bqv]，得出[q/m]=1.96C/kg,磁场的方向为斜向下且与竖直方向夹角[θ=arccot0.75]的一切方向.
2. 有约束的情况
带电体在复合场中，受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况，应从受力分析入手，分析物体的运动过程，确定重要的临界状态，常见的运动形式有直线运动和圆周运动.
例3 如图7，半径为[R]的光滑绝缘环竖直置于正交的水平匀强电场和磁场中，磁感应强度为[B]. 今有一质量为[m]、带电量为[+q]的空心小球穿在环上，已知小球所受电场力和重力大小相等，则当小球由静止开始从环顶[M]下滑做什么运动，并分析运动过程中对环的压力的最大值是多少？
解析 先找到圆周运动的等效最高点、最低点，因[qE=mg]，则等效的最低点在与水平方向成[45°]角的[P]点，如图8，类比物体在重力场中杆模型竖直平面内的圆周运动，小球由静止开始从环顶[M]下滑做变速圆周运动，根据能量关系，小球只能运动至[M]，无法做完整的圆周运动，注意洛伦兹力是和运动状态密切联系的，所以环所受的压力应是在小球从[M]运动至[M]并在等效最低点[P]点出现最大值. 设球滑到[P]点时速度为[v]， 由动能定理，有
[mg(1+2)R+Eq•2R=12mv2]
且[qE=mg]，得[v=(1+22)gR]
设球在[P]点时受到弹力为[N]，根据牛顿第二定律，有[N-Bvq-Eqcos450-mgsin450=mv2R]
得到[N=(32+1)mg+Bq((1+22)gR]
即为球对环的压力的最大值.
【练习】
1. 在方向水平的匀强电场中,一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为[m]的带电小球,另一端固定于[O]点. 把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放. 已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为[θ]（如图9）. 求小球经过最低点时细线对小球的拉力.
2. 如图10，在互相垂直的水平方向的匀强电场和匀强磁场（[E、B]已知）中，有一固定的竖直绝缘杆，杆上套一个质量为[m],电荷量为[+q]的小球，它们之间的动摩擦因数为[μ]. 现由静止释放小球，求小球沿棒运动的最大加速度和最大速度（[mg>μqE],小球的带电荷量不变）.
3. 如图11,在宽度分别为[l1]和[l2]的两个相邻的条形区域分别有匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直于纸面向里，电场方向与电、磁场分界线平行向右. 一带正电荷的粒子以速率[v]从磁场区域上边界的[P]点斜射入磁场，然后以垂直于电、磁场分界线的方向进入电场，最后从电场边界上的[Q]点射出，已知[PQ]垂直于电场方向，粒子轨迹与电、磁场分界线的交点到[PQ]的距离为[d]. 不计重力，求电场强度与磁感应强度的大小之比及粒子在磁场与电场中运动的时间之比.
【参考答案】
1. [mg]［3－（[2cosθ]）/（1＋[sinθ]）］
2. [g (mg+qEμ)/μqB]
3. [l12+d2l22v] [l12+d22dl2arcsin(2dl1l12+d2)]