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5月初，C市终于告别了阴雨天气，阳光普照，淡淡的花香弥漫在空中。
第一个季度，宜康购物广场为应对经济不景气，大举引进自有品牌并加大了打折的幅度。但这一措施并没有像市场部经理Antony预料的那样取得理想的效果，宜康购物广场的销售额不升反降。经过调查和讨论，Antony和他的助理John有了新的想法。
消费者感知的折扣与商家提供的折扣是有差距的，消费者出于保护自己以免被欺骗的心理，会低估商家给出的折扣，即消费者感知的折扣值低于广告给出的折扣，而对折扣的低估程度随着广告折扣的增加而增加。因此，商家在制定折扣时并不是幅度越大越好。
过高的打折幅度会导致消费者低估折扣，从而降低消费者的购买意愿。知名品牌和非知名品牌相比，非知名品牌的折扣更容易被消费者低估。同时，相对于自有品牌来说，同样的折扣，知名品牌更能影响消费者的购买意愿。因此，商家对商品提供相同的折扣时，相比自有品牌或其他知名度较低的品牌，全国性品牌或知名品牌的消费者感知折扣更高，促销也会相对更有效。
商店形象所带来的影响并不存在显著差异，无论是对于广告折扣的低估或是对购买意愿的影响。因此，商店定位与形象的差异在消费者购买同一产品时影响并不显著，这时，消费者更加关注产品的品牌，至于是在高档店里购买还是在低档店里购买，影响并不大。因此，宜康购物广场不需要太介意定位相对较高的中怡百货所带来的竞争压力。
因此，Antony和John觉得有必要尽快设计新的促销方案。虽然大的方向已经明确了，但John对如何落实新的促销方案还不是很明晰。他认为宜康购物广场必须确定一个新的折扣率，将它调整到合理的水平。“每种商品和品牌都有其最优的折扣率，我们的任务就是找出每种商品和品牌的最优折扣率。”但对于如何找出“最优折扣率”，John却是信心不足。
翌日下午，John在同学聚会中见到了大学同学老鲁。老鲁五短身材，双眼灼灼有神，毕业后继续读研的他现在任职于当地一家著名的咨询公司，有着深厚的学术功底与丰富的实战经验。John坐在老鲁的旁边，趁着其他同学还未到齐，说：“老鲁，我们公司遇到了一些问题，想向你请教！”然后，他把自己的困惑说了出来。
老鲁说：“你们遇到的，其实是一个相当普遍的促销问题。但是折扣率的制定不是那么简单的，既要考虑公司与供应商的关系，又要考虑竞争对手的策略。”
老鲁喝了一口茶，说：“前不久，我看到了一篇文献，是美国一所大学的研究报告。你能不能回答一个问题：商家提供折扣给消费者的目的是什么？”
John不假思索地回答道：“增强消费者的购买意愿，最终让他们购买。”
“就是呀。那么，我们就要弄清楚什么样的折扣率对应什么样的购买意愿。折扣幅度越大，购买意愿就会越强吗？”老鲁说，“显然不是。你们公司遇到的情况正是如此吧？”
John点头称是。老鲁不慌不忙，娓娓道来：“只有能引起消费者购买意愿增强的折扣率才是有效的。无效的折扣只会浪费公司的资源。折扣过低，消费者是感觉不到的，过低的折扣不会导致消费者购买意愿的增强，这就是无效折扣。能引起消费者购买意愿增强的最低折扣叫做‘促销起始点’。另一种折扣点是‘促销饱和点’，高于饱和点的折扣只能非常缓慢地引起购买意愿增强，甚至不变或下降。只有介于起始点和饱和点之间的折扣才是有效的。为了避免浪费资源，我们必须找准促销的起始点和饱和点。”
“可是如何才能找到商品的促销起始点和饱和点呢？而且，每种商品的促销起始点和饱和点都不尽相同吧？”John问道。
“是的，不同的商品有着不同的促销起始点和饱和点。比如，知名品牌商品和非知名品牌商品就有很大的不同。根据我看到的美国研究文献，知名品牌商品的促销起始点几乎为零，很小的折扣率就能引起顾客购买意愿的大幅提升。非知名品牌商品，一般来说，需要15%左右的折扣才能引起消费者购买意愿的增强。”老鲁说。
John说：“依你所说，如果要对非知名品牌进行促销，折扣率一定要高，超过促销起始点。那么知名品牌和非知名品牌的促销饱和点又有什么不同呢？”
老鲁说：“关于促销饱和点，还缺乏相关的详细研究。但是一般而言，知名品牌的促销饱和点倒是比非知名品牌的饱和点来得低。也就是说，知名品牌的促销折扣率不宜过高，否则也是浪费资源。相比较而言，非知名品牌商品倒是可以确定更高一点的折扣率以增强其竞争力。但是……”
“非知名品牌或是自有品牌的促销迟早会达到饱和点，所以也不能定过高的折扣率。”John抢着说。
“是这样的。如何调整你们的促销方案，关键要看你们自己了。加油吧，老同学！希望早日听到你的捷报。到时记得请我们大家吃饭啊！”老鲁拍了拍John的肩膀。
“一定一定。”John觉得自己很有信心。此时，同学们陆陆续续到齐了，气氛越来越热闹。John的感觉非常好，他觉得自己工作中的压力忽然间得到了释放。
案例解析
基本概念与观点
促销起始点是指能够改变消费者购买意愿的最低点。促销起始点的概念与“辨别”的心理过程有关，在这个过程中，除非被感知的改变大于可以察觉的最小值，否则消费者不会对刺激产生反应（Luce and Edwards 1958）。起始点概念在许多领域都有应用。在广告效果研究中，Eastlack和Rao提出只有超过了最低水平，广告才可能对销售有明显的促进作用，而著名的S曲线反应功能也印证了促销起始点概念。在同化对比理论（Assimilation-contrast Theory）的基础上，Gurumurthy和Little指出价格起始点的存在，他们提出消费者在参考价格附近存在一个可以接受的范围。因此，相对于在这个范围之外的价格变动来说，在此范围内的较小的价格变化更不容易被发现。Kalwani和Yim也找到了一些证据支持这一观点，即只有当价格变化超出了参考价格的区域，这种价格变化才会对消费者的购买意愿产生明显的影响。许多管理者认为降价幅度至少超过15%才能吸引消费者的注意。因此，我们认为存在促销起始点，即：除非促销提供的价格折扣超过了促销起始点，否则消费者就不会改变其购买意愿。
而且，由于消费者的购买意愿会因为商品品牌知名度的不同而不同（参见上一期案例），所以相应的促销起始点也会有所不同。对于知名品牌来说，较小的促销幅度就会引起消费者的注意，因此促销起始点较低；对于自有品牌来说，同样的促销幅度不会引起消费者购买意愿的变化，因为其促销起始点较高。类似的，商店形象也会对促销起始点有影响。相比形象较差的商店来说，形象较好的商店能够通过提供较低的折扣吸引消费者，即：知名品牌和形象好的商店的促销起始点低于自有品牌和形象差的商店。因此，我们提出，
观点一：低于促销起始点的广告折扣不会对消费者的购买意愿产生影响。
观点二：知名品牌的促销起始点低于自有品牌的促销起始点。
观点三：形象较好的商店的促销起始点低于形象较差的商店的促销起始点。
实验的引入与分析
实验的具体操作如上一期案例所描述。我们希望通过数据分析发现促销起始点的存在，即：除非折扣大于消费者心中的促销起始点，否则消费者就不会改变其购买意愿（观点一）。我们同样希望通过数据分析发现促销起始点会因为商店形象和商品品牌的不同而不同（观点二和观点三）。为了验证这些假设，并评估促销起始点的价值，我们进行了以下三个方面的分析：其一，不同水平上的消费者购买意愿分析；其二，计量经济学分析；其三，辅助分析。
①消费者购买意愿分析
当折扣没有达到起始点时，消费者不会改变他们的购买行为；同样，由于商店和品牌的不同，其起始点可能会有所不同。此外，当折扣高于某个点时（促销饱和点），折扣对消费者购买意愿的影响将减小。以下我们假设k1为某产品的促销起始点，k2表示某产品的折扣饱和点。
根据促销起始点的定义，除非广告折扣大于k1，消费者的购买意愿不会有明显的变化。只有当AD>k1，即广告折扣大于促销起始点时，消费者的购买意愿（CI）才会大于0。因此，最简单、最直接获得知名品牌和自有品牌促销起始点的办法就是找到当消费者的购买意愿大于0时最低的广告折扣的值。
促销饱和点概念建立在起始点概念的基础上，一般来说，促销幅度超过促销起始点之后，消费者的购买意愿变会发生变化，而且他们的购买意愿会随着促销幅度的增加而不断上升，然而一旦促销幅度超过饱和点之后，消费者的购买意愿不会再显著增加。也就是说，当AD>k2，即广告折扣大于促销饱和点时，消费者的购买意愿不再会有明显的上升。
图1和表1描绘出了不同商店和品牌下消费者购买意愿的平均值。结果表明，当广告折扣仅在10%时，名牌运动鞋的消费者购买意愿大于0，换一种说法，名牌运动鞋的促销起始点约为0，只要名牌运动鞋做促销，消费者的购买意愿便会发生变化。相反，自有品牌，只有在广告折扣大于20%时，消费者才会改变购买意愿。表1同时表明了饱和点k2的存在，比如说，名牌透气鞋的平均消费者购买意愿在广告折扣等于或高于30%时为4，名牌鞋在0～10%的折扣和10%～20%的折扣时消费者购买意愿增长比在20%～30%和30%～40%时快。这正好印证了前几年关于消费者对广告S形回应模型的研究结论。由此，我们得出：
（1）对于两个商店的知名品牌，
k1=0%，k2=20%；
（2）对于两个商店的自有品牌，
k1=20%，k2=30%。
②计量经济学分析
在对消费者购买意愿进行分析的基础上，我们继续进行计量经济学分析，将表1中的数据分为三个区域，即：第一个区域在k1下方，第二个区域在k1和K2之间，第三个区域在k2上方。另外，根据促销起始点的定义，表明了因变量“消费者购买意愿（CI）”的值在第一个区域中应该为0。也就是说，在折扣低于k1时，消费者不会改变他们的购买意愿。如果用u表示误差，这三个区域可以用以下公式表示：
CI=0+u1 当AD≤k1时(1)
CI=a1+b1AD+u2当k1 CI=a2+b2AD+u3当AD>k2时 (3)
虽然这些等式或函数代表三个不同的区域，但却无法确保第一条曲线和第二条曲线相交于k1，第二条曲线和第三条曲线相交于k2。为了确定这两个分界点，我们需要在三个等式中添加一些限制条件，把它们整合为等式（4）。
CI=β1AD1 +β2AD2 +ε
其中：
AD1=AD—k1，当AD>k1时，否则AD1=0。
AD2=AD—k2，当AD>k2时，否则AD2=0。
如果我们知道k1和k2的值，就可以估算出等式（4）。因此，分析的目的就在于确定k1和k2的值。我们通过以下方式确定该值。假设我们已经知道k1和k2的值，那么三个区域的等式可以根据折扣水平分成0到k1、k1到k2、k2到70%。分析结果与表3中的数据结果是一致的。即：
（1）对于两个商店的知名品牌，
k1=0，k2=20%；
（2）对于两个商店的自有品牌，
k1=20%，k2=30%。
为了确认在促销饱和点之后折扣继续增加反而导致消费者购买意愿的减少，我们分析了等式（2）和（3）中的回归系数b1和b2（如表2所示）。
结果显示，对于所有的回归分析来说，b1>0和b1>b2。这表明，在促销起始点和饱和点之间，促销折扣对消费者的购买意愿是正向的影响（b1>0），但是在饱和点之后这种正向的影响将逐渐减弱（b1>b2）。这个结果证实了促销对消费者购买意愿的影响呈S形。
③辅助分析
为了获取k1和k2的标准误差值，并且证明以上分析结果的稳定性，我们进行了辅助分析。这一分析中的数据是从原始数据中随机选择的，辅助分析中的样本数量和原始数据一样。我们用计量经济学方法对辅助分析中的样本进行分析，得出相应的k1和k2的值。通过分析，我们得出消费者购买意愿的平均值以及k1和k2的标准误差值（如表3所示）。
结果显示：不同形象的两个商店在促销起始点和饱和点上有着惊人的相似。但是不同知名度的品牌（知名品牌与自有品牌）在促销起始点和饱和点上却有着很大的差异。特别是知名运动鞋品牌的促销起始点平均值（May=2.14%，Nordstrom=0）明显低于自有运动鞋品牌的促销起始点平均值（（May=14.4%，Nordstrom=13.25%，p＜0.01）。也就是说，10%的折扣就可以改变知名品牌运动鞋的消费者购买意愿。但是，自有品牌运动鞋的消费者购买意愿需要超过14%～15%的折扣才会改变。这个结果从另一个侧面证明了“品牌资产”的存在。也就是说，知名品牌拥有更大的品牌价值，只要很低的促销折扣就可以吸引消费者购买。
结果同样证实了促销饱和点的存在以及估计值，而且不同知名度品牌的促销饱和点存在显著的差异。即，知名品牌的促销饱和点平均值（May=25.8%，Nordstrom=23%）明显低于自有品牌的促销饱和点平均值(May=30.2%，Nordstrom=30.85%)。这与之前的一些实验结果相同，即，当折扣水平在30%～50%之间时，消费者感知的节省程度不存在明显差异，因而消费者的购买意愿没有显著差别。
营销启示
更为详细地了解消费者对于折扣和不同商店、不同商品品牌的反应能够帮助商家制订出更有效的促销计划。促销起始点就是能够改变消费者购买意愿的最低点。许多管理者凭直觉认定大约15%的折扣就可以吸引消费者，但很少有人深入思考这种商业直觉是否正确。我们通过这一案例以及实验数据和简单的经济学理论证实了促销起始点和饱和点的存在，并且在此基础上进一步验证了不同的商店和商品是否存在不同的促销起始点与饱和点，借以帮助商家更清晰地了解消费者对促销的反应。
首先，分析结论证明了促销起始点的存在。除非折扣超过了促销起始点，否则消费者不会轻易改变其购买意愿。观点一得到支持，即大于15%的折扣才能吸引消费者购买。
另外，不同品牌有不同的促销起始点。也就是说，知名品牌和商店自有品牌的促销起始点有所不同，自有品牌的促销起始点要比知名品牌的促销起始点高很多，知名品牌的促销起始点低于自有品牌的促销起始点。为了吸引消费者，知名品牌的促销起始点要低于自有品牌。因此，观点二得到支持，而观点三未得到支持。换言之，商家可以对知名品牌少许打些折扣吸引消费者，而自有品牌只有提供大幅度的折扣才能起到相似的作用。因此，对于商家来说，其提供的折扣率至少应高于商品的促销起始点，不然即使投入了促销费用，消费者仍然会无动于衷。
此外，研究还发现了促销饱和点的存在，超过饱和点的促销水平对消费者购买意愿的影响将不会继续增加。因此，对于商家来说，如果能够大概掌握促销饱和点的折扣水平，就能够制定出合适的折扣率，既吸引消费者，又不至于浪费促销预算。
（本文以常见的促销决策困境为主题，其中涉及的商业场景、公司和人物皆为虚构）
第一个季度，宜康购物广场为应对经济不景气，大举引进自有品牌并加大了打折的幅度。但这一措施并没有像市场部经理Antony预料的那样取得理想的效果，宜康购物广场的销售额不升反降。经过调查和讨论，Antony和他的助理John有了新的想法。
消费者感知的折扣与商家提供的折扣是有差距的，消费者出于保护自己以免被欺骗的心理，会低估商家给出的折扣，即消费者感知的折扣值低于广告给出的折扣，而对折扣的低估程度随着广告折扣的增加而增加。因此，商家在制定折扣时并不是幅度越大越好。
过高的打折幅度会导致消费者低估折扣，从而降低消费者的购买意愿。知名品牌和非知名品牌相比，非知名品牌的折扣更容易被消费者低估。同时，相对于自有品牌来说，同样的折扣，知名品牌更能影响消费者的购买意愿。因此，商家对商品提供相同的折扣时，相比自有品牌或其他知名度较低的品牌，全国性品牌或知名品牌的消费者感知折扣更高，促销也会相对更有效。
商店形象所带来的影响并不存在显著差异，无论是对于广告折扣的低估或是对购买意愿的影响。因此，商店定位与形象的差异在消费者购买同一产品时影响并不显著，这时，消费者更加关注产品的品牌，至于是在高档店里购买还是在低档店里购买，影响并不大。因此，宜康购物广场不需要太介意定位相对较高的中怡百货所带来的竞争压力。
因此，Antony和John觉得有必要尽快设计新的促销方案。虽然大的方向已经明确了，但John对如何落实新的促销方案还不是很明晰。他认为宜康购物广场必须确定一个新的折扣率，将它调整到合理的水平。“每种商品和品牌都有其最优的折扣率，我们的任务就是找出每种商品和品牌的最优折扣率。”但对于如何找出“最优折扣率”，John却是信心不足。
翌日下午，John在同学聚会中见到了大学同学老鲁。老鲁五短身材，双眼灼灼有神，毕业后继续读研的他现在任职于当地一家著名的咨询公司，有着深厚的学术功底与丰富的实战经验。John坐在老鲁的旁边，趁着其他同学还未到齐，说：“老鲁，我们公司遇到了一些问题，想向你请教！”然后，他把自己的困惑说了出来。
老鲁说：“你们遇到的，其实是一个相当普遍的促销问题。但是折扣率的制定不是那么简单的，既要考虑公司与供应商的关系，又要考虑竞争对手的策略。”
老鲁喝了一口茶，说：“前不久，我看到了一篇文献，是美国一所大学的研究报告。你能不能回答一个问题：商家提供折扣给消费者的目的是什么？”
John不假思索地回答道：“增强消费者的购买意愿，最终让他们购买。”
“就是呀。那么，我们就要弄清楚什么样的折扣率对应什么样的购买意愿。折扣幅度越大，购买意愿就会越强吗？”老鲁说，“显然不是。你们公司遇到的情况正是如此吧？”
John点头称是。老鲁不慌不忙，娓娓道来：“只有能引起消费者购买意愿增强的折扣率才是有效的。无效的折扣只会浪费公司的资源。折扣过低，消费者是感觉不到的，过低的折扣不会导致消费者购买意愿的增强，这就是无效折扣。能引起消费者购买意愿增强的最低折扣叫做‘促销起始点’。另一种折扣点是‘促销饱和点’，高于饱和点的折扣只能非常缓慢地引起购买意愿增强，甚至不变或下降。只有介于起始点和饱和点之间的折扣才是有效的。为了避免浪费资源，我们必须找准促销的起始点和饱和点。”
“可是如何才能找到商品的促销起始点和饱和点呢？而且，每种商品的促销起始点和饱和点都不尽相同吧？”John问道。
“是的，不同的商品有着不同的促销起始点和饱和点。比如，知名品牌商品和非知名品牌商品就有很大的不同。根据我看到的美国研究文献，知名品牌商品的促销起始点几乎为零，很小的折扣率就能引起顾客购买意愿的大幅提升。非知名品牌商品，一般来说，需要15%左右的折扣才能引起消费者购买意愿的增强。”老鲁说。
John说：“依你所说，如果要对非知名品牌进行促销，折扣率一定要高，超过促销起始点。那么知名品牌和非知名品牌的促销饱和点又有什么不同呢？”
老鲁说：“关于促销饱和点，还缺乏相关的详细研究。但是一般而言，知名品牌的促销饱和点倒是比非知名品牌的饱和点来得低。也就是说，知名品牌的促销折扣率不宜过高，否则也是浪费资源。相比较而言，非知名品牌商品倒是可以确定更高一点的折扣率以增强其竞争力。但是……”
“非知名品牌或是自有品牌的促销迟早会达到饱和点，所以也不能定过高的折扣率。”John抢着说。
“是这样的。如何调整你们的促销方案，关键要看你们自己了。加油吧，老同学！希望早日听到你的捷报。到时记得请我们大家吃饭啊！”老鲁拍了拍John的肩膀。
“一定一定。”John觉得自己很有信心。此时，同学们陆陆续续到齐了，气氛越来越热闹。John的感觉非常好，他觉得自己工作中的压力忽然间得到了释放。
案例解析
基本概念与观点
促销起始点是指能够改变消费者购买意愿的最低点。促销起始点的概念与“辨别”的心理过程有关，在这个过程中，除非被感知的改变大于可以察觉的最小值，否则消费者不会对刺激产生反应（Luce and Edwards 1958）。起始点概念在许多领域都有应用。在广告效果研究中，Eastlack和Rao提出只有超过了最低水平，广告才可能对销售有明显的促进作用，而著名的S曲线反应功能也印证了促销起始点概念。在同化对比理论（Assimilation-contrast Theory）的基础上，Gurumurthy和Little指出价格起始点的存在，他们提出消费者在参考价格附近存在一个可以接受的范围。因此，相对于在这个范围之外的价格变动来说，在此范围内的较小的价格变化更不容易被发现。Kalwani和Yim也找到了一些证据支持这一观点，即只有当价格变化超出了参考价格的区域，这种价格变化才会对消费者的购买意愿产生明显的影响。许多管理者认为降价幅度至少超过15%才能吸引消费者的注意。因此，我们认为存在促销起始点，即：除非促销提供的价格折扣超过了促销起始点，否则消费者就不会改变其购买意愿。
而且，由于消费者的购买意愿会因为商品品牌知名度的不同而不同（参见上一期案例），所以相应的促销起始点也会有所不同。对于知名品牌来说，较小的促销幅度就会引起消费者的注意，因此促销起始点较低；对于自有品牌来说，同样的促销幅度不会引起消费者购买意愿的变化，因为其促销起始点较高。类似的，商店形象也会对促销起始点有影响。相比形象较差的商店来说，形象较好的商店能够通过提供较低的折扣吸引消费者，即：知名品牌和形象好的商店的促销起始点低于自有品牌和形象差的商店。因此，我们提出，
观点一：低于促销起始点的广告折扣不会对消费者的购买意愿产生影响。
观点二：知名品牌的促销起始点低于自有品牌的促销起始点。
观点三：形象较好的商店的促销起始点低于形象较差的商店的促销起始点。
实验的引入与分析
实验的具体操作如上一期案例所描述。我们希望通过数据分析发现促销起始点的存在，即：除非折扣大于消费者心中的促销起始点，否则消费者就不会改变其购买意愿（观点一）。我们同样希望通过数据分析发现促销起始点会因为商店形象和商品品牌的不同而不同（观点二和观点三）。为了验证这些假设，并评估促销起始点的价值，我们进行了以下三个方面的分析：其一，不同水平上的消费者购买意愿分析；其二，计量经济学分析；其三，辅助分析。
①消费者购买意愿分析
当折扣没有达到起始点时，消费者不会改变他们的购买行为；同样，由于商店和品牌的不同，其起始点可能会有所不同。此外，当折扣高于某个点时（促销饱和点），折扣对消费者购买意愿的影响将减小。以下我们假设k1为某产品的促销起始点，k2表示某产品的折扣饱和点。
根据促销起始点的定义，除非广告折扣大于k1，消费者的购买意愿不会有明显的变化。只有当AD>k1，即广告折扣大于促销起始点时，消费者的购买意愿（CI）才会大于0。因此，最简单、最直接获得知名品牌和自有品牌促销起始点的办法就是找到当消费者的购买意愿大于0时最低的广告折扣的值。
促销饱和点概念建立在起始点概念的基础上，一般来说，促销幅度超过促销起始点之后，消费者的购买意愿变会发生变化，而且他们的购买意愿会随着促销幅度的增加而不断上升，然而一旦促销幅度超过饱和点之后，消费者的购买意愿不会再显著增加。也就是说，当AD>k2，即广告折扣大于促销饱和点时，消费者的购买意愿不再会有明显的上升。
图1和表1描绘出了不同商店和品牌下消费者购买意愿的平均值。结果表明，当广告折扣仅在10%时，名牌运动鞋的消费者购买意愿大于0，换一种说法，名牌运动鞋的促销起始点约为0，只要名牌运动鞋做促销，消费者的购买意愿便会发生变化。相反，自有品牌，只有在广告折扣大于20%时，消费者才会改变购买意愿。表1同时表明了饱和点k2的存在，比如说，名牌透气鞋的平均消费者购买意愿在广告折扣等于或高于30%时为4，名牌鞋在0～10%的折扣和10%～20%的折扣时消费者购买意愿增长比在20%～30%和30%～40%时快。这正好印证了前几年关于消费者对广告S形回应模型的研究结论。由此，我们得出：
（1）对于两个商店的知名品牌，
k1=0%，k2=20%；
（2）对于两个商店的自有品牌，
k1=20%，k2=30%。
②计量经济学分析
在对消费者购买意愿进行分析的基础上，我们继续进行计量经济学分析，将表1中的数据分为三个区域，即：第一个区域在k1下方，第二个区域在k1和K2之间，第三个区域在k2上方。另外，根据促销起始点的定义，表明了因变量“消费者购买意愿（CI）”的值在第一个区域中应该为0。也就是说，在折扣低于k1时，消费者不会改变他们的购买意愿。如果用u表示误差，这三个区域可以用以下公式表示：
CI=0+u1 当AD≤k1时(1)
CI=a1+b1AD+u2当k1
虽然这些等式或函数代表三个不同的区域，但却无法确保第一条曲线和第二条曲线相交于k1，第二条曲线和第三条曲线相交于k2。为了确定这两个分界点，我们需要在三个等式中添加一些限制条件，把它们整合为等式（4）。
CI=β1AD1 +β2AD2 +ε
其中：
AD1=AD—k1，当AD>k1时，否则AD1=0。
AD2=AD—k2，当AD>k2时，否则AD2=0。
如果我们知道k1和k2的值，就可以估算出等式（4）。因此，分析的目的就在于确定k1和k2的值。我们通过以下方式确定该值。假设我们已经知道k1和k2的值，那么三个区域的等式可以根据折扣水平分成0到k1、k1到k2、k2到70%。分析结果与表3中的数据结果是一致的。即：
（1）对于两个商店的知名品牌，
k1=0，k2=20%；
（2）对于两个商店的自有品牌，
k1=20%，k2=30%。
为了确认在促销饱和点之后折扣继续增加反而导致消费者购买意愿的减少，我们分析了等式（2）和（3）中的回归系数b1和b2（如表2所示）。
结果显示，对于所有的回归分析来说，b1>0和b1>b2。这表明，在促销起始点和饱和点之间，促销折扣对消费者的购买意愿是正向的影响（b1>0），但是在饱和点之后这种正向的影响将逐渐减弱（b1>b2）。这个结果证实了促销对消费者购买意愿的影响呈S形。
③辅助分析
为了获取k1和k2的标准误差值，并且证明以上分析结果的稳定性，我们进行了辅助分析。这一分析中的数据是从原始数据中随机选择的，辅助分析中的样本数量和原始数据一样。我们用计量经济学方法对辅助分析中的样本进行分析，得出相应的k1和k2的值。通过分析，我们得出消费者购买意愿的平均值以及k1和k2的标准误差值（如表3所示）。
结果显示：不同形象的两个商店在促销起始点和饱和点上有着惊人的相似。但是不同知名度的品牌（知名品牌与自有品牌）在促销起始点和饱和点上却有着很大的差异。特别是知名运动鞋品牌的促销起始点平均值（May=2.14%，Nordstrom=0）明显低于自有运动鞋品牌的促销起始点平均值（（May=14.4%，Nordstrom=13.25%，p＜0.01）。也就是说，10%的折扣就可以改变知名品牌运动鞋的消费者购买意愿。但是，自有品牌运动鞋的消费者购买意愿需要超过14%～15%的折扣才会改变。这个结果从另一个侧面证明了“品牌资产”的存在。也就是说，知名品牌拥有更大的品牌价值，只要很低的促销折扣就可以吸引消费者购买。
结果同样证实了促销饱和点的存在以及估计值，而且不同知名度品牌的促销饱和点存在显著的差异。即，知名品牌的促销饱和点平均值（May=25.8%，Nordstrom=23%）明显低于自有品牌的促销饱和点平均值(May=30.2%，Nordstrom=30.85%)。这与之前的一些实验结果相同，即，当折扣水平在30%～50%之间时，消费者感知的节省程度不存在明显差异，因而消费者的购买意愿没有显著差别。
营销启示
更为详细地了解消费者对于折扣和不同商店、不同商品品牌的反应能够帮助商家制订出更有效的促销计划。促销起始点就是能够改变消费者购买意愿的最低点。许多管理者凭直觉认定大约15%的折扣就可以吸引消费者，但很少有人深入思考这种商业直觉是否正确。我们通过这一案例以及实验数据和简单的经济学理论证实了促销起始点和饱和点的存在，并且在此基础上进一步验证了不同的商店和商品是否存在不同的促销起始点与饱和点，借以帮助商家更清晰地了解消费者对促销的反应。
首先，分析结论证明了促销起始点的存在。除非折扣超过了促销起始点，否则消费者不会轻易改变其购买意愿。观点一得到支持，即大于15%的折扣才能吸引消费者购买。
另外，不同品牌有不同的促销起始点。也就是说，知名品牌和商店自有品牌的促销起始点有所不同，自有品牌的促销起始点要比知名品牌的促销起始点高很多，知名品牌的促销起始点低于自有品牌的促销起始点。为了吸引消费者，知名品牌的促销起始点要低于自有品牌。因此，观点二得到支持，而观点三未得到支持。换言之，商家可以对知名品牌少许打些折扣吸引消费者，而自有品牌只有提供大幅度的折扣才能起到相似的作用。因此，对于商家来说，其提供的折扣率至少应高于商品的促销起始点，不然即使投入了促销费用，消费者仍然会无动于衷。
此外，研究还发现了促销饱和点的存在，超过饱和点的促销水平对消费者购买意愿的影响将不会继续增加。因此，对于商家来说，如果能够大概掌握促销饱和点的折扣水平，就能够制定出合适的折扣率，既吸引消费者，又不至于浪费促销预算。
（本文以常见的促销决策困境为主题，其中涉及的商业场景、公司和人物皆为虚构）