摘 要：数形结合是一种数学思想方法，包含：“以形助数”和“以数助形”两个方面，其应用分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形最为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的性质。
　　关键词：数形结合；数学；应用
　　数形结合思想的实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，其关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以把代数问题几何化，将几何问题代数化，也就是把抽象思维与形象思维结合起来，通过“以形助数”或“以数助形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。下面通过具体的例题来进一步加深理解。
　　（一）利用函数图象性质解题
　　例1. 已知0< a <1，则方程a|x|=|log a x|的实根个数为（ ）
　　A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个
　　分析： 判断方程的根的个数就是判断图象y=a|x|与y=|log a x|的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。
　　例2. 关于x的方程2x2-3x-2k=0在（-1，1）内有一个实根，则k的取值范围是什么？
　　分析：原方程变形为2x2-3x=2k后可转化为函数y=2x2-3x。和函数y=2k的交点个数问题。
　　（三）利用几何图形的性质解题
　　例1. 已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）。若直线 l ∶X+mY+m=0与有向线段PQ延长相交，求实数m的取值范围。
　　【点评】含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程。本题是化为点斜式方程后，可看出交点M（0，-1）和斜率。此类题目一般结合图形可判断出斜率的取值范围。
　　【例2】如下图，已知F1、F2是双曲线=1（a>0）的左右焦点，A、B是双曲线右支上不同于顶点的两点，M、N分别为△AF1F2，△BF1F2 的内切圆的圆心。
　　（1）圆M与F1F2相切于点P，求证：|PF1|-|PF2|=2a。
　　（2）证明：直线MN与y轴平行。
　　【分析】从代数运算角度入手，思路较清晰，但运算繁琐，本题充分抓住双曲线定义及三角形内接圆的几何性质，找到点P的关系，当然第一问的证明为第二问证明作下了铺垫。
　　【证明】（1）设圆M分别与AF1、AF2相切于点Q、R，则|PF1|=|QF1|，|PF2|=|RF2|，|QA|=|RA|，所以|PF1|-|PF2|=|QF1|-|QF2|=（|QF1|+|QA|）-（|RF2|+|RA|）=|AF1|-|AF2|=2a。
　　（2）设双曲线的半焦距为c（c>0），连结MN，则|PF1|+|PF2|=2c。又|PF1|-|PF2|=2a，
　　∴ |PF1|= c+a，|PF2|= c-a
　　∵ 点F1，F2在x轴上，原点O为F1F2的中点，且|PF1|>|PF2|。
　　∴ 点P在OF2上，又|OF2|= c，|PF2|= c-a
　　∴ 点P的坐标为（a，0）， ∵ MP⊥x轴，
　　∴ 点M的横坐标为a，同理点N的横坐标为a。
　　∴ 直线MN∥y轴。