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每年的高考或者模拟试题都会出现一些非常新颖的试题，有让人耳目一新的感觉——这是数学的进步，也是公平、公正的需要.解决这些新问题，不仅要利用旧方法、旧知识，也要有创新思维，才能适应这些变化.本文所举的例子，都可以充当选择题中压轴题的位置，有一定的挑战性.
例1． （2011年石景山期末理8）下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)（如图3），图3中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)=n．
则下列命题中正确的是（ ）
A． f■=1
B． f(x)是奇函数
C． f(x)在其定义域上单调递增
D． f(x)的图像关于y轴对称
解析：从图像可以看出f■<0，所以A 错；因为f(x)的定义域是（0，1），其定义域不关于原点对称，故B、D错；显然随着m的增大，n也增大，所以f(x)在其定义域上单调递增，C是正确的，故选C.
例2．（2011福建省质量检查试题）如图,有8个村庄分别用A1,A2,…，Ａ８表示.某人从A1出发,按箭头所示方向（不可逆行）可以选择任意一条路径走向其他某个村庄，那么他从A1出发,按图中所示方向到达A8（每个村庄至多经过一次)的走法种数有（ ）
A． 21种 B． 22种 C． 23种 D． 24种
解析：可以从特殊情况出发，看他们的规律：为方便计，设从A1到Ai的走法有ai种，则容易看出a2=1，a3=2， a4=3，a5=5，发现a4=a2+a3，a5=a3+a4，所以a6=a4+a5=8，a7=a5+a6=13，a8=a6+a7=21，所以从A1出发，按图中所示方向到达A8(每个村庄至多经过一次)有21种不同的走法，故选A.
点评：也可以画出树状图来分析求解.本题实质是斐波那契数列的的一部分，是世界名题在初等数学中的应用，所谓斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21，34，55，89，…，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和.本题是世界名题的特殊化.
例3． 已知f(x)是定义在[a,b]上的函数，其图像是一条连续不断的曲线，且满足下列条件：
①f(x)的值域为G，且G?哿[a,b]；
②对任意不同的x,y∈[a,b],都有f(x) - f(y) 那么关于x的方程f(x)=x在[a,b]上的根的情况是（ ）
A. 没有实数根
B. 有且只有一个实数根
C. 恰有两个不同的实数根
D. 有无数个不同的实数根
解析：构造函数g(x)=f(x)-x，易知g(x)在[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，且g(a)=f(a)-a,g(b)=f(b)-b.因为f(x)的值域是G，且G?哿[a,b]，所以g(a)≥0,g(b)≤0，故存在x0∈[a,b]，使得g(x0)=0，即f(x0)=x0，因此关于x的方程f(x)=x在[a,b]上至少有一个根x0.假设关于x的方程f(x)=x存在两个不同的实数根x1,x2∈[a,b]，则f(x1)=x1，f(x2)=x2，从而f(x1) - f(x2)=x1-x2，这与条件②相矛盾，故正确答案是B.
例4． 若点P是△ABC的外心，且■+■+?姿■=■,∠C=120°，则实数?姿的值为（ ）
A． 1 B． -1 C． ■ D． -■
解析：假设D为AB的中点，则■+■=2■,因此2■+?姿■=■，即■与■共线.又P是三角形三边中垂线的交点，所以PC就是AB的中垂线，由正弦定理知■=2R?圯R=■R,在直角三角形PAD中，由AD=■,PA=R,得PD=■R. 因此，■=2■，2+2?姿=0，?姿=-1，选B.
例5． 将双曲线x2-y2=2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y=■．据此类推可求得双曲线y=■的焦距为（ ）
A． 2■ B． 2■ C． 4 D． 4■
解析：双曲线x2-y2=2绕原点逆时针旋转45°后得到双曲线y=■，此时双曲线y=■顶点坐标变为（1,1），与原点的距离就是a=■=b(给出的双曲线是等轴双曲线).
而y=■■=1-■,可由y=■的图像平移得到.
所以，要求出y=■的焦距，只要求出y=■的焦距即可，而y=■与y=x交于(■，■)此时它与原点的距离为■，即a=b=■,所以c=2■,故选D.
点评：本题是一个很好的类比推理题，在课本中能找到它的影子.
例6． 已知函数y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]上的图像如下图所示．给出下列四个命题：
①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；
②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根；
③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根；
④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根．
其中正确的命题的个数为（ ）
解析：∵在y为[-2，-1]时，g（x）有两个自变量满足，在y=0，y为[1，2]时，g（x）同样都是两个自变量满足，∴①正确.
∵f（x）值域在[-1，2]上都是一一对应，而在值域[0，1]上都对应3个原象，∴②错误,同理可知③④正确.故选C．
这样解析，可能有些同学还是不理解，我们具体一些：为了描述方便，把f(x)的“零点”(即f(x)=0的根)从左往右记为x1,0，x2,其中-2 g(x)=0的根)从左往右记为x3,x4,其中-2 下面依次考察每一个命题：
①方程f[g(x)]=0 即g(x)= x1或 g(x)=0 或 g(x)=x2，g(x)=x1的根有两个（图像上看出g(x)有两段位于[-2，-1]之间）,g(x)=0的根有两个，g(x)=x2的根有2个，所以方程f[g(x)]=0有且仅有6个根，命题正确.
②方程g[f(x)]=0 即f(x)= x3或 f(x)=x4,f(x)=x3的根有1个，f(x)=x4 的根有3个，所以方程g[f(x)]=0有且仅有4个根，命题不正确.
③方程f[f(x)]=0 即f(x)=x1 或 f(x)=0 或 f(x)=x2, f(x)= x1的根有1个，f(x)=0 的根有3个，f(x)=x2 的根有1个， 所以方程f[f(x)]=0有且仅有5个根，命题正确
④方程g[g(x)]=0 即g(x)=x3 或 g(x)=x4 , g(x)=x3 的根有2个，g(x)= x4的根有2个, 所以方程g[g(x)]=0有且仅有4个根，命题正确.
因此正确的命题是①③④.
点评：本题不是很难，但是由于对4个命题都要进行分析，比较繁琐需要耐心仔细.把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．
例7． （2011年东城区示范校考试，文8）设非空集合S=x|m≤x≤l满足：当x∈S时，有x2∈S，给出如下三个命题：①若m=1,则S=1；②若m=-■,则■≤l≤1;③若l=■,则-■≤m≤0. 其中正确的命题的个数为（ ）
例1． （2011年石景山期末理8）下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)（如图3），图3中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)=n．
则下列命题中正确的是（ ）
A． f■=1
B． f(x)是奇函数
C． f(x)在其定义域上单调递增
D． f(x)的图像关于y轴对称
解析：从图像可以看出f■<0，所以A 错；因为f(x)的定义域是（0，1），其定义域不关于原点对称，故B、D错；显然随着m的增大，n也增大，所以f(x)在其定义域上单调递增，C是正确的，故选C.
例2．（2011福建省质量检查试题）如图,有8个村庄分别用A1,A2,…，Ａ８表示.某人从A1出发,按箭头所示方向（不可逆行）可以选择任意一条路径走向其他某个村庄，那么他从A1出发,按图中所示方向到达A8（每个村庄至多经过一次)的走法种数有（ ）
A． 21种 B． 22种 C． 23种 D． 24种
解析：可以从特殊情况出发，看他们的规律：为方便计，设从A1到Ai的走法有ai种，则容易看出a2=1，a3=2， a4=3，a5=5，发现a4=a2+a3，a5=a3+a4，所以a6=a4+a5=8，a7=a5+a6=13，a8=a6+a7=21，所以从A1出发，按图中所示方向到达A8(每个村庄至多经过一次)有21种不同的走法，故选A.
点评：也可以画出树状图来分析求解.本题实质是斐波那契数列的的一部分，是世界名题在初等数学中的应用，所谓斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21，34，55，89，…，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和.本题是世界名题的特殊化.
例3． 已知f(x)是定义在[a,b]上的函数，其图像是一条连续不断的曲线，且满足下列条件：
①f(x)的值域为G，且G?哿[a,b]；
②对任意不同的x,y∈[a,b],都有f(x) - f(y)
A. 没有实数根
B. 有且只有一个实数根
C. 恰有两个不同的实数根
D. 有无数个不同的实数根
解析：构造函数g(x)=f(x)-x，易知g(x)在[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，且g(a)=f(a)-a,g(b)=f(b)-b.因为f(x)的值域是G，且G?哿[a,b]，所以g(a)≥0,g(b)≤0，故存在x0∈[a,b]，使得g(x0)=0，即f(x0)=x0，因此关于x的方程f(x)=x在[a,b]上至少有一个根x0.假设关于x的方程f(x)=x存在两个不同的实数根x1,x2∈[a,b]，则f(x1)=x1，f(x2)=x2，从而f(x1) - f(x2)=x1-x2，这与条件②相矛盾，故正确答案是B.
例4． 若点P是△ABC的外心，且■+■+?姿■=■,∠C=120°，则实数?姿的值为（ ）
A． 1 B． -1 C． ■ D． -■
解析：假设D为AB的中点，则■+■=2■,因此2■+?姿■=■，即■与■共线.又P是三角形三边中垂线的交点，所以PC就是AB的中垂线，由正弦定理知■=2R?圯R=■R,在直角三角形PAD中，由AD=■,PA=R,得PD=■R. 因此，■=2■，2+2?姿=0，?姿=-1，选B.
例5． 将双曲线x2-y2=2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y=■．据此类推可求得双曲线y=■的焦距为（ ）
A． 2■ B． 2■ C． 4 D． 4■
解析：双曲线x2-y2=2绕原点逆时针旋转45°后得到双曲线y=■，此时双曲线y=■顶点坐标变为（1,1），与原点的距离就是a=■=b(给出的双曲线是等轴双曲线).
而y=■■=1-■,可由y=■的图像平移得到.
所以，要求出y=■的焦距，只要求出y=■的焦距即可，而y=■与y=x交于(■，■)此时它与原点的距离为■，即a=b=■,所以c=2■,故选D.
点评：本题是一个很好的类比推理题，在课本中能找到它的影子.
例6． 已知函数y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]上的图像如下图所示．给出下列四个命题：
①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；
②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根；
③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根；
④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根．
其中正确的命题的个数为（ ）
解析：∵在y为[-2，-1]时，g（x）有两个自变量满足，在y=0，y为[1，2]时，g（x）同样都是两个自变量满足，∴①正确.
∵f（x）值域在[-1，2]上都是一一对应，而在值域[0，1]上都对应3个原象，∴②错误,同理可知③④正确.故选C．
这样解析，可能有些同学还是不理解，我们具体一些：为了描述方便，把f(x)的“零点”(即f(x)=0的根)从左往右记为x1,0，x2,其中-2
①方程f[g(x)]=0 即g(x)= x1或 g(x)=0 或 g(x)=x2，g(x)=x1的根有两个（图像上看出g(x)有两段位于[-2，-1]之间）,g(x)=0的根有两个，g(x)=x2的根有2个，所以方程f[g(x)]=0有且仅有6个根，命题正确.
②方程g[f(x)]=0 即f(x)= x3或 f(x)=x4,f(x)=x3的根有1个，f(x)=x4 的根有3个，所以方程g[f(x)]=0有且仅有4个根，命题不正确.
③方程f[f(x)]=0 即f(x)=x1 或 f(x)=0 或 f(x)=x2, f(x)= x1的根有1个，f(x)=0 的根有3个，f(x)=x2 的根有1个， 所以方程f[f(x)]=0有且仅有5个根，命题正确
④方程g[g(x)]=0 即g(x)=x3 或 g(x)=x4 , g(x)=x3 的根有2个，g(x)= x4的根有2个, 所以方程g[g(x)]=0有且仅有4个根，命题正确.
因此正确的命题是①③④.
点评：本题不是很难，但是由于对4个命题都要进行分析，比较繁琐需要耐心仔细.把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．
例7． （2011年东城区示范校考试，文8）设非空集合S=x|m≤x≤l满足：当x∈S时，有x2∈S，给出如下三个命题：①若m=1,则S=1；②若m=-■,则■≤l≤1;③若l=■,则-■≤m≤0. 其中正确的命题的个数为（ ）