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正弦函数、余弦函数的图象是以后学习正弦函数、余弦函数的性质和图象变换的基础,同时又可以验证前面学习的诱导公式,充分体现了数形结合的数学思想方法。我在教学过程中,通过问题引导——启发——讨论的教学方法,轻松的解决了这节课的教学难点,通过讲练结合落实了这节课的教学重点,现总结如下:
一、教科书在设计上为什么要通过平移正弦线来画函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象?
这一点要讲清楚。通过问题:画函数图象的一般方法是什么?如何画y=sinx,x∈[0,2π]的精确图象?同学们讨论的结果是:画函数图象的一般方法是列表、描点、连线,但不能用来画函数的精确图象。例如:点( , ),即点( , ),因为 是一个无理数,在描点时无法精确描出,所以误差较大。进而会发现一个角的正弦线能精确描述它的正弦值,所以用正弦线来画函数y=sinx,x∈[0,2π]的精确图象。
二、如何由函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象?
通过向左向右平移函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象(每次2π个单位长度),得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象,这个过程是由部分到整体,用了归纳推理的学习方法。为了降低难度,可以先设置一个台阶,讨论:如何由函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到函数y=sinx,x∈[2π,4π]的图象呢?通过启发,在诱导公式sin(x 2kπ)=sinx中,令k=1,有sin(x 2π)=sinx,所以y=sinx,x∈[2π,4π]的函数图象与y=sinx,x∈[0,2π]的函数图象完全相同,所以可以通过平移得到y=sinx,x∈[2π,4π]的函数图象。同样[4π,6π],[-2π,0],[-4π,-2π],…….都可以通过平移得到。这样,我们就得到了正弦函数y=sinx,x∈R的图象。
三、如何得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象呢?
同学们讨论的结果是,类比得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象的方法,平移余弦线(这里用到了类比推理的学习方法)。继而发现问题:余弦线是“躺着的”,无论怎么平移,都在x轴上,行不通。经过思考,有的同学会说,让余弦线“站起来”,想法很好,但是过程太麻烦。继续讨论:有没有更简捷的办法呢?这时可以启发学生:在学习数学的过程中,始终贯穿着“未知向已知转化”的数学思想方法。现在,我们知道正弦函数的图象,余弦函数的图象(未知)能否由正弦函数的图象(已知)得到呢?进一步启发学生:正弦到余弦,函数名称变化了,前面学习过吗?同学们会自然地想起诱导公式cos(x )=sinx。所以,余弦函数y=cosx,x∈R的图象由正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移 得到。观察两条曲线,同学们会发现,正弦函数的图象向右平移 也可以得到余弦函数的图象。
通过问题引导——启发——讨论的教学方法,用了归纳推理、类比推理的学习方法和未知向已知转化的数学思想方法,这节课的难点就被攻破了。
五点作图法是这节课的教学重点,是学生必须掌握的,我是通过例题教学和强化训练来落实的:
首先,让学生观察函数y=sinx,x∈[0,2π]和函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象,分别总结两个函数图象的五个关键点,指出用五个关键点作图的方法就是五点作图法。其次,通过例题教学,总结作函数图象的方法:五点作图法,图象变换法,进而总结五点作图法的步骤:列表、描点、连线。最后,进行巩固练习,让学生用五点作图法画函数图象,可以设置稍微难一点的题目,比如先用诱导公式化简,再用五点作图法画图的题目。通过这三个环节,学生就能够掌握用五点作图法画函数的图象了。
一、教科书在设计上为什么要通过平移正弦线来画函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象?
这一点要讲清楚。通过问题:画函数图象的一般方法是什么?如何画y=sinx,x∈[0,2π]的精确图象?同学们讨论的结果是:画函数图象的一般方法是列表、描点、连线,但不能用来画函数的精确图象。例如:点( , ),即点( , ),因为 是一个无理数,在描点时无法精确描出,所以误差较大。进而会发现一个角的正弦线能精确描述它的正弦值,所以用正弦线来画函数y=sinx,x∈[0,2π]的精确图象。
二、如何由函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象?
通过向左向右平移函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象(每次2π个单位长度),得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象,这个过程是由部分到整体,用了归纳推理的学习方法。为了降低难度,可以先设置一个台阶,讨论:如何由函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到函数y=sinx,x∈[2π,4π]的图象呢?通过启发,在诱导公式sin(x 2kπ)=sinx中,令k=1,有sin(x 2π)=sinx,所以y=sinx,x∈[2π,4π]的函数图象与y=sinx,x∈[0,2π]的函数图象完全相同,所以可以通过平移得到y=sinx,x∈[2π,4π]的函数图象。同样[4π,6π],[-2π,0],[-4π,-2π],…….都可以通过平移得到。这样,我们就得到了正弦函数y=sinx,x∈R的图象。
三、如何得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象呢?
同学们讨论的结果是,类比得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象的方法,平移余弦线(这里用到了类比推理的学习方法)。继而发现问题:余弦线是“躺着的”,无论怎么平移,都在x轴上,行不通。经过思考,有的同学会说,让余弦线“站起来”,想法很好,但是过程太麻烦。继续讨论:有没有更简捷的办法呢?这时可以启发学生:在学习数学的过程中,始终贯穿着“未知向已知转化”的数学思想方法。现在,我们知道正弦函数的图象,余弦函数的图象(未知)能否由正弦函数的图象(已知)得到呢?进一步启发学生:正弦到余弦,函数名称变化了,前面学习过吗?同学们会自然地想起诱导公式cos(x )=sinx。所以,余弦函数y=cosx,x∈R的图象由正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移 得到。观察两条曲线,同学们会发现,正弦函数的图象向右平移 也可以得到余弦函数的图象。
通过问题引导——启发——讨论的教学方法,用了归纳推理、类比推理的学习方法和未知向已知转化的数学思想方法,这节课的难点就被攻破了。
五点作图法是这节课的教学重点,是学生必须掌握的,我是通过例题教学和强化训练来落实的:
首先,让学生观察函数y=sinx,x∈[0,2π]和函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象,分别总结两个函数图象的五个关键点,指出用五个关键点作图的方法就是五点作图法。其次,通过例题教学,总结作函数图象的方法:五点作图法,图象变换法,进而总结五点作图法的步骤:列表、描点、连线。最后,进行巩固练习,让学生用五点作图法画函数图象,可以设置稍微难一点的题目,比如先用诱导公式化简,再用五点作图法画图的题目。通过这三个环节,学生就能够掌握用五点作图法画函数的图象了。