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[摘要]导数及其应用作为高中数学的基础知识,是高考的热点问题之一,也是难点之一.故对一道导数题进行探究,为广大教师进行有效性教学提供借鉴与启示.
[关键词]导数高中数学探究 发现
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2015)020063
问题:设函数f(x)=ax sinx cosx,若函数f(x)的图像存在不同的两点A,B,使得曲线y=f(x)在A,B处的切线互相垂直,则实数a的取值范围是.
这是一道期末考试题,本题考查了导数的几何意义、导数的运算、三角函数的知识,以及学生对存在性问题的分析、处理的能力.
笔者课后统计发现此题的正确率很低,主要原因有两个:第一、虽然导数是新教材的热点,考查的难度一般不大,但教师对其教学难度的定位趋于一般化,学生对导数综合题的处理能力较弱;二、本题涉及了转化的思想和对存在性问题灵活处理的方法,综合性较强.
解析:对函数求导得f′(x)=a 2cos(x π4),其值域为[a-2,a 2],将此区间记为I.根据导数的几何意义,原问题可等价转化为:存在u,v∈I使得uv=-1(1).不妨设u<0,v>0,则a-2≤u<0
0 uv=-1(2).消去v,(2)式可化为a-2≤u≤-1a 2,因为若要满足此式的u存在,所以必有a-2≤-1a 2,解得a∈[-1,1].
几何解释:考虑函数v=-1u,动区间I始终包含原点,其长度为22.如右图,在函数v=-1u的图像上任取一点M(不妨设uM<0),则uMvM=-1,在两个坐标轴上分别取P,Q,R,使得PM⊥OP,|OQ|=|OR|=|PM|,则|uM| |vM|=|OP| |PM|=|PQ|,|PQ|的大小随M的运动而变化,其范围是[2, ∞).对于(1)式,可从另一个角度理解为:存在M,使得[uP,uQ]I.若|PQ|≤22,则总有[uP,uQ]I成立,因此要使得(1)成立,只要|PQ|≤22,即|uM| vM≤22,由-uM -1uM≤22,解得-2-1≤uM≤-2 1,所以动区间I的左端点a-2应满足:-2-1≤a-2≤-2 1,故a∈[-1,1].(对于uM>0的情况,同理可求)
根据上面的探究方法,我们发现如下一般的结论.
结论1设函数f(x)=ax msinx ncosx(m2 n2≥1),若函数f(x)的图像上存在不同的两点A,B使得曲线y=f(x)在A,B处的切线互相垂直,则实数a的取值范围是:[-m2 n2-1],m2 n2-1].(当m=n=1时,即为文首题中a的范围)
结论2设函数f(x)=ax g(x),若函数g(x)可导,g′(x)的值域为[m,n],且n-m≥2,若函数f(x)的图像上存在不同的两点A,B,使得曲线y=f(x)在A,B处的切线互相垂直,则实数a的取值范围是:[max{-m-n-(n-m)2-42,-n},min{-m-n (n-m)2-42,-m}].(当m=-2,n=2时,即为文首题中a的范围)
结论3设函数y=f(x)可导,且f′(x)的值域为[a,b],ab<0,则函数y=f(x)的图像上存在不同的两点A,B,使得y=f(x)在A,B处的切线互相垂直的充要条件是:ab≤-1.
证明:充分性是显然的.下证必要性.
方法1:因为函数y=f(x)的图像上存在不同的两点A,B,使得y=f(x)在A,B处的切线互相垂直,所以f′(xA)·f′(xB)=-1.又因为f′(x)的值域为[a,b],ab<0,所以f′(xA)、f′(xB)∈[a,b].不妨设f′(xA)<0,则f′(xB)>0,于是a≤f′(xA)<0且0 方法2:由前面的几何解释我们知道,函数v=-1u的图像上任意一点M所对应的区间[uP,uQ]的长度|PQ|≥2,因此,f(x)的图像上如果存在两点处的切线互相垂直,则应有b-a≥2,因为a<0,所以ab≤a(a 2),而[a(a 2)]min=-1,故ab≤-1.
注1:事实上,不难证明:当a<0时,ab≤-1b-a≥2.
注2:文首题中,由(a-2)·(a 2)≤-1,即得a∈[-1.1].
(责任编辑钟伟芳)
[关键词]导数高中数学探究 发现
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2015)020063
问题:设函数f(x)=ax sinx cosx,若函数f(x)的图像存在不同的两点A,B,使得曲线y=f(x)在A,B处的切线互相垂直,则实数a的取值范围是.
这是一道期末考试题,本题考查了导数的几何意义、导数的运算、三角函数的知识,以及学生对存在性问题的分析、处理的能力.
笔者课后统计发现此题的正确率很低,主要原因有两个:第一、虽然导数是新教材的热点,考查的难度一般不大,但教师对其教学难度的定位趋于一般化,学生对导数综合题的处理能力较弱;二、本题涉及了转化的思想和对存在性问题灵活处理的方法,综合性较强.
解析:对函数求导得f′(x)=a 2cos(x π4),其值域为[a-2,a 2],将此区间记为I.根据导数的几何意义,原问题可等价转化为:存在u,v∈I使得uv=-1(1).不妨设u<0,v>0,则a-2≤u<0
0
几何解释:考虑函数v=-1u,动区间I始终包含原点,其长度为22.如右图,在函数v=-1u的图像上任取一点M(不妨设uM<0),则uMvM=-1,在两个坐标轴上分别取P,Q,R,使得PM⊥OP,|OQ|=|OR|=|PM|,则|uM| |vM|=|OP| |PM|=|PQ|,|PQ|的大小随M的运动而变化,其范围是[2, ∞).对于(1)式,可从另一个角度理解为:存在M,使得[uP,uQ]I.若|PQ|≤22,则总有[uP,uQ]I成立,因此要使得(1)成立,只要|PQ|≤22,即|uM| vM≤22,由-uM -1uM≤22,解得-2-1≤uM≤-2 1,所以动区间I的左端点a-2应满足:-2-1≤a-2≤-2 1,故a∈[-1,1].(对于uM>0的情况,同理可求)
根据上面的探究方法,我们发现如下一般的结论.
结论1设函数f(x)=ax msinx ncosx(m2 n2≥1),若函数f(x)的图像上存在不同的两点A,B使得曲线y=f(x)在A,B处的切线互相垂直,则实数a的取值范围是:[-m2 n2-1],m2 n2-1].(当m=n=1时,即为文首题中a的范围)
结论2设函数f(x)=ax g(x),若函数g(x)可导,g′(x)的值域为[m,n],且n-m≥2,若函数f(x)的图像上存在不同的两点A,B,使得曲线y=f(x)在A,B处的切线互相垂直,则实数a的取值范围是:[max{-m-n-(n-m)2-42,-n},min{-m-n (n-m)2-42,-m}].(当m=-2,n=2时,即为文首题中a的范围)
结论3设函数y=f(x)可导,且f′(x)的值域为[a,b],ab<0,则函数y=f(x)的图像上存在不同的两点A,B,使得y=f(x)在A,B处的切线互相垂直的充要条件是:ab≤-1.
证明:充分性是显然的.下证必要性.
方法1:因为函数y=f(x)的图像上存在不同的两点A,B,使得y=f(x)在A,B处的切线互相垂直,所以f′(xA)·f′(xB)=-1.又因为f′(x)的值域为[a,b],ab<0,所以f′(xA)、f′(xB)∈[a,b].不妨设f′(xA)<0,则f′(xB)>0,于是a≤f′(xA)<0且0
注1:事实上,不难证明:当a<0时,ab≤-1b-a≥2.
注2:文首题中,由(a-2)·(a 2)≤-1,即得a∈[-1.1].
(责任编辑钟伟芳)