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1．利用基本不等式比较实数大小或证明不等式
基本不等式使用技巧：
（1）注意不等式成立的条件；
（2）如何凑配定理形式，一般有加减项变换，平方等；
（3）灵活变换基本不等式的形式并注重变形形式的应用．如[ab0),][b2a≥2b-a(a>0)]等；
（4）解题时不仅要运用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用，常见变形有：
①设[a]、[b∈R+]，则[21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22]（调和均值[≤]几何均值[≤]算术均值[≤]平方均值），当且仅当[a=b]时等号成立．
②若[a、b∈R,]则[ab≤(a+b2)2≤a2+b22]，当且仅当[a=b]时等号成立.
③若[a]、[b∈R+]，[(a+b)(1a+1b)≥4]．
④若[a]、[b∈R+]，[ba+ab≥2]．
例1 求证：对于任意实数[a]、[b]、[c]，有[a2+b2][+c2≥ab+bc+ca]，当且仅当[a=b=c]时等号成立.
分析所证不等式是关于[a、b、c]的轮换对称式，注意到[a2+b2≥2ab]，然后轮换共得三个不等式，再相加即可．
证明 [a2+b2≥2ab]，[b2+c2≥2bc]，[a2+c2≥2ac]，
把上述三个式子的两边分别相加，得
[2a2+b2+c2≥2ab+bc+ca]，
即[a2+b2+c2≥ab+bc+ca]，
当且仅当[a=b=c]时等号成立.
另证 [a2+b2+c2-ab+bc+ca]
[=122a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca]
[=12a-b2+b-c2+a-c2≥0]，
即[a2+b2+c2≥ab+bc+ca]，
当且仅当[a=b=c]时等号成立.
变式1 已知[a、b、c∈R+,]
求证[bca+acb+abc≥a+b+c]．
证明因为[bca+acb≥2abc2ab=2c，]
即[bca+acb][≥2c].
同理[bca+abc≥2b]，[abc+acb≥2a.]
所以[2(bca+acb+abc)≥2(a+b+c)]，
因此[bca+acb+abc≥a+b+c]．
例2 已知[a>0,b>0,a+b=1]，
求证：[a+12+b+12≤2]．
分析1为脱去左边的根号，将[a+12、b+12]看成是[1•(a+12)、1•(b+12)]，然后用均值定理可证．
证明1 因为[a+12=1⋅(a+12)≤1+a+122]
[=34+a2,]
[b+12=1⋅(b+12)≤1+b+122][=34+b2,]
所以[a+12+b+12≤34+a2+34+b2=2]．
分析2 利用不等式
[a2+b22≥(a+b2)2⇒a+b2≥(a+b2)2]
[(a>0,b>0)]．
证明2由[(a+12+b+122)2≤a+b+12]，
得[a+12+b+12≤2a+b+1]，
因为[a+b=1]，所以[a+12+b+12≤2.]
变式2 已知[a>0,b>0,a+b=1]，
求[2a+1+2b+1]的最大值．
解[∵][2a+1•2≤2a+1+22=a+32] ，
[2b+1•2≤2b+1+22=b+32]，
[∴2(2a+1+2b+1)≤a+b+3=4,]
[∴2a+1+2b+1≤22]，
当且仅当[a=b=12]时取等号，
所以[2a+1+2b+1]的最大值为[22].
例3 甲、乙两人同时从[A]地出发，沿同一条路线行到[B]地. 甲在前一半时间的行走速度为[a]，后一半时间的行走速度为[b]；乙用速度[a]走完前半段路程，用速度[b]走完后半段路程；问谁先到达[B]地？
解 设[A、B]两地的距离为[s]，甲、乙两人用时分别为[t1]、[t2]，
则[s=a⋅t12+b⋅t12=12t1a+b]，
[t2=s2a+s2b=14t1a+b1a+1b]
[=14t12+ab+ba≥t1].
所以，当[a=b]时，[t2=t1]，甲、乙两人同时到达[B]地；当[a≠b]时，[t2>t1]，甲先到[B]地．
另解设[A、B]两地的距离为[s]，甲、乙两人用时分别为[t1]、[t2]，平均速度分别为[v1]、[v2]，则
[s=a⋅t12+b⋅t12t2= s2 a+ s2 b][⇒][v1=st1=a+b2v2=st2=1121a+1b=21a+1b]
[⇒][v1≥v2].
因而，当[a=b]时，[v1=v2]，甲、乙两人同时到达[B]地；当[a≠b]时，[v1>v2]，甲先到[B]地.
2．利用基本不等式求最值
（1）使用情形
①如果[x>0,y>0,xy=P]（定值），那么当且仅当[x=y]时，[x+y]有最小值[2P]，简记为“积定、和有最小值”.
②如果[x>0,y>0,x+y=S]（定值），那么当且仅当[x=y]时[xy]有最大值[S24]，简记为“和定、积有最大值”.
（2）注意事项：
①[x、y]一定都是正数.
②求积[xy]的最大值时，应看和[x+y]是否为定值；求和[x+y]的最小值时，应看积[xy]是否为定值.
③等号是否成立.
以上简记为“一正二定三相等”.
例4 设[0 分析本题中[x]与[8-2x]的和不是定值,但易发现[2x]与[8-2x]的和为定值8,而且满足“一正”的条件,因此可以运用基本不等式求解．
解 因为[0 所以[0<2x≤4]，[8-2x≥4>0]，
故[f(x)=x(8-2x)][=12⋅2x⋅(8-2x)]
[=12⋅2x⋅(8-2x)≤12⋅82=22,]
当且仅当[2x=8-2x,]即[x=2]时取等号，
所以当[x=2]时，[ymax=22]．
例5分别求当[x>0、x<0]时，函数[y=(x+4)(x+16)x]的最值．
分析 如果直接应用基本不等式，就忽略了应用基本不等式的“一正”前提，导致错误. 而函数[y=(x+4)(x+16)x]的定义域为[(-∞,0)⋃(0,+∞),]因此必须对[x]的正负加以讨论．
解（1）当[x>0]时，
[y=20+x+64x≥20+2x⋅64x=36]，
当且仅当[x=64x,]即[x=8]时取等号，
所以当[x=8]时，[ymin=36].
（2）当[x<0]时，[-x>0,-64x>0,]
[(-x)+(-64x)≥2(-x)(-64x)=16]，
[y=20-(-x)+(-64x)≤20-16=4]，
當且仅当[-x=-64x,]即[x=-8]时取等号，
所以当[x=-8]时，[ymax=4].
例6已知[x、y∈R+,且1x+1y=1,]求[u=2x+y]的最小值.
错解 因为[2x+y≥22xy],[1x+1y≥21xy]，
所以 [u=(2x+y)(1x+1y)≥22xy⋅21xy=42.]
错解原因在于两个不等式不能同时取等号,故取不到最值．
正解[u=(2x+y)(1x+1y)]
[=3+2xy+yx]
[≥3+22]．
当且仅当[2xy=yx,]即[x=2+22,y=1+2]时，等号成立,所以[umin=3+22].
点评 运用基本不等式时,一定要遵循“一正，二定，三相等”的原则. 特别的,在取不到等号时,应借助函数单调性求解;在多次运用基本不等式时,应使满足等号的条件一致.
[【练习】]
1. 证明：对任意[a>1]、[b>1]，有不等式[a2b-1+] [b2a-1≥8.]
2. 求函数[y=x2+2x2+1(x∈R)]的最小值．
3. 已知[x>3]，求函数[y=2x+8x-3]的最小值．
4. 求函数[y=xx2+x+1]的最大值．
5. 已知[12≤x≤52]，求函数[y=2x-1+5-2x]的最大值．
6. 设[x>0]，求[y=(2+1x)(1+x)]的最小值．
[【参考答案】]
1. 这是一个对称不等式，当且仅当[a=b=2]时，等号成立，此时，[a2b-1=b2a-1=4=4(a-1)=4(b-1).]所以本题构造数组的结构应该是“[m2n-1,4(n-1)]”[.]
2. [x=0]时，[ymin=2]
3. [x=5]时，[ymin=14]
4. [ymax=13]
5. [x=32∈[12,52]]时取等号，所以[ymax=22]
6. [1x=2x]，即[x=122]时取等号[ymin=22+3]
基本不等式使用技巧：
（1）注意不等式成立的条件；
（2）如何凑配定理形式，一般有加减项变换，平方等；
（3）灵活变换基本不等式的形式并注重变形形式的应用．如[ab
（4）解题时不仅要运用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用，常见变形有：
①设[a]、[b∈R+]，则[21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22]（调和均值[≤]几何均值[≤]算术均值[≤]平方均值），当且仅当[a=b]时等号成立．
②若[a、b∈R,]则[ab≤(a+b2)2≤a2+b22]，当且仅当[a=b]时等号成立.
③若[a]、[b∈R+]，[(a+b)(1a+1b)≥4]．
④若[a]、[b∈R+]，[ba+ab≥2]．
例1 求证：对于任意实数[a]、[b]、[c]，有[a2+b2][+c2≥ab+bc+ca]，当且仅当[a=b=c]时等号成立.
分析所证不等式是关于[a、b、c]的轮换对称式，注意到[a2+b2≥2ab]，然后轮换共得三个不等式，再相加即可．
证明 [a2+b2≥2ab]，[b2+c2≥2bc]，[a2+c2≥2ac]，
把上述三个式子的两边分别相加，得
[2a2+b2+c2≥2ab+bc+ca]，
即[a2+b2+c2≥ab+bc+ca]，
当且仅当[a=b=c]时等号成立.
另证 [a2+b2+c2-ab+bc+ca]
[=122a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca]
[=12a-b2+b-c2+a-c2≥0]，
即[a2+b2+c2≥ab+bc+ca]，
当且仅当[a=b=c]时等号成立.
变式1 已知[a、b、c∈R+,]
求证[bca+acb+abc≥a+b+c]．
证明因为[bca+acb≥2abc2ab=2c，]
即[bca+acb][≥2c].
同理[bca+abc≥2b]，[abc+acb≥2a.]
所以[2(bca+acb+abc)≥2(a+b+c)]，
因此[bca+acb+abc≥a+b+c]．
例2 已知[a>0,b>0,a+b=1]，
求证：[a+12+b+12≤2]．
分析1为脱去左边的根号，将[a+12、b+12]看成是[1•(a+12)、1•(b+12)]，然后用均值定理可证．
证明1 因为[a+12=1⋅(a+12)≤1+a+122]
[=34+a2,]
[b+12=1⋅(b+12)≤1+b+122][=34+b2,]
所以[a+12+b+12≤34+a2+34+b2=2]．
分析2 利用不等式
[a2+b22≥(a+b2)2⇒a+b2≥(a+b2)2]
[(a>0,b>0)]．
证明2由[(a+12+b+122)2≤a+b+12]，
得[a+12+b+12≤2a+b+1]，
因为[a+b=1]，所以[a+12+b+12≤2.]
变式2 已知[a>0,b>0,a+b=1]，
求[2a+1+2b+1]的最大值．
解[∵][2a+1•2≤2a+1+22=a+32] ，
[2b+1•2≤2b+1+22=b+32]，
[∴2(2a+1+2b+1)≤a+b+3=4,]
[∴2a+1+2b+1≤22]，
当且仅当[a=b=12]时取等号，
所以[2a+1+2b+1]的最大值为[22].
例3 甲、乙两人同时从[A]地出发，沿同一条路线行到[B]地. 甲在前一半时间的行走速度为[a]，后一半时间的行走速度为[b]；乙用速度[a]走完前半段路程，用速度[b]走完后半段路程；问谁先到达[B]地？
解 设[A、B]两地的距离为[s]，甲、乙两人用时分别为[t1]、[t2]，
则[s=a⋅t12+b⋅t12=12t1a+b]，
[t2=s2a+s2b=14t1a+b1a+1b]
[=14t12+ab+ba≥t1].
所以，当[a=b]时，[t2=t1]，甲、乙两人同时到达[B]地；当[a≠b]时，[t2>t1]，甲先到[B]地．
另解设[A、B]两地的距离为[s]，甲、乙两人用时分别为[t1]、[t2]，平均速度分别为[v1]、[v2]，则
[s=a⋅t12+b⋅t12t2= s2 a+ s2 b][⇒][v1=st1=a+b2v2=st2=1121a+1b=21a+1b]
[⇒][v1≥v2].
因而，当[a=b]时，[v1=v2]，甲、乙两人同时到达[B]地；当[a≠b]时，[v1>v2]，甲先到[B]地.
2．利用基本不等式求最值
（1）使用情形
①如果[x>0,y>0,xy=P]（定值），那么当且仅当[x=y]时，[x+y]有最小值[2P]，简记为“积定、和有最小值”.
②如果[x>0,y>0,x+y=S]（定值），那么当且仅当[x=y]时[xy]有最大值[S24]，简记为“和定、积有最大值”.
（2）注意事项：
①[x、y]一定都是正数.
②求积[xy]的最大值时，应看和[x+y]是否为定值；求和[x+y]的最小值时，应看积[xy]是否为定值.
③等号是否成立.
以上简记为“一正二定三相等”.
例4 设[0
解 因为[0
故[f(x)=x(8-2x)][=12⋅2x⋅(8-2x)]
[=12⋅2x⋅(8-2x)≤12⋅82=22,]
当且仅当[2x=8-2x,]即[x=2]时取等号，
所以当[x=2]时，[ymax=22]．
例5分别求当[x>0、x<0]时，函数[y=(x+4)(x+16)x]的最值．
分析 如果直接应用基本不等式，就忽略了应用基本不等式的“一正”前提，导致错误. 而函数[y=(x+4)(x+16)x]的定义域为[(-∞,0)⋃(0,+∞),]因此必须对[x]的正负加以讨论．
解（1）当[x>0]时，
[y=20+x+64x≥20+2x⋅64x=36]，
当且仅当[x=64x,]即[x=8]时取等号，
所以当[x=8]时，[ymin=36].
（2）当[x<0]时，[-x>0,-64x>0,]
[(-x)+(-64x)≥2(-x)(-64x)=16]，
[y=20-(-x)+(-64x)≤20-16=4]，
當且仅当[-x=-64x,]即[x=-8]时取等号，
所以当[x=-8]时，[ymax=4].
例6已知[x、y∈R+,且1x+1y=1,]求[u=2x+y]的最小值.
错解 因为[2x+y≥22xy],[1x+1y≥21xy]，
所以 [u=(2x+y)(1x+1y)≥22xy⋅21xy=42.]
错解原因在于两个不等式不能同时取等号,故取不到最值．
正解[u=(2x+y)(1x+1y)]
[=3+2xy+yx]
[≥3+22]．
当且仅当[2xy=yx,]即[x=2+22,y=1+2]时，等号成立,所以[umin=3+22].
点评 运用基本不等式时,一定要遵循“一正，二定，三相等”的原则. 特别的,在取不到等号时,应借助函数单调性求解;在多次运用基本不等式时,应使满足等号的条件一致.
[【练习】]
1. 证明：对任意[a>1]、[b>1]，有不等式[a2b-1+] [b2a-1≥8.]
2. 求函数[y=x2+2x2+1(x∈R)]的最小值．
3. 已知[x>3]，求函数[y=2x+8x-3]的最小值．
4. 求函数[y=xx2+x+1]的最大值．
5. 已知[12≤x≤52]，求函数[y=2x-1+5-2x]的最大值．
6. 设[x>0]，求[y=(2+1x)(1+x)]的最小值．
[【参考答案】]
1. 这是一个对称不等式，当且仅当[a=b=2]时，等号成立，此时，[a2b-1=b2a-1=4=4(a-1)=4(b-1).]所以本题构造数组的结构应该是“[m2n-1,4(n-1)]”[.]
2. [x=0]时，[ymin=2]
3. [x=5]时，[ymin=14]
4. [ymax=13]
5. [x=32∈[12,52]]时取等号，所以[ymax=22]
6. [1x=2x]，即[x=122]时取等号[ymin=22+3]