向量是高中新课程改革的产物,因它具有代数与几何的双重性,所以它与其它知识的结合成为高考命题的热点,由于向量的介入,从而使得原本在高中教材中并不起眼的三角形的“四心” (内心、外心、重心、垂心)问题,变得倍受欢迎,变得多姿多彩,内涵丰富,于是,向量与三角形的“四心”有关的命题也倍受命题者的青睐。要解决这类问题,一要深刻理解三角形的“四心”的定义,二要熟练掌握向量的平行与垂直的基本性质,即向量共线定理及向量垂直的充要条件。
　　03年江苏高考试题第5题就是一条向量与三角形的“内心”结合的很好的例子,先看考题:
　　O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动
　　点P满足 ,λ∈[0,+∞),则点P
　　的轨迹一定通过△ABC的()。
　　A、外心B、内心C、重心D、垂心
　　分析:要解决此题并不困难,一要弄清三角形的“四心”定义,二要熟练掌握向量共线定理。
　　解析:将 变形为
　　 ,如图1, 、 分别表示 、 方向上的单位向
　　量,由平行四边形法则知, ,而 表示 方
　　向上的单位向量, 表示 方向上的单位向量,∴ ,
　　 ,∴ ,由
　　向量共线定理知 // ,又 、 共点于A,∴A、P、P1
　　三点共线,又由于 ,∴四边形AC1P1B1为菱形,
　　∴AP1平分∠BAC,∴AP1为∠BAC的平分线,而内心是三角形三条内角平分线的交点,∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心,故选(B)。
　　由于本考题是向量与三角形的“内心”结合的问题,所以我们考虑,向量与三角形的其它的“心”是否有紧密联系?带
　　着这样的问题,不妨将考题中的 变为
　　 ,于是得变题1:O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足 ,
　　λ∈[0,+∞],则点P的轨迹一定通过△ABC的 心。
　　分析:受考题启发,本题仍利用向量共线定理。
　　解析:由 ,得 ,如图2,设D为线段BC的中点,则由平行四边形法则得
　　 ,∴ // ,又 、 共点于A,∴A、P、
　　D三点共线,∴AD为△ABC边BC上的中线,而重心是三角形三条中线的交点,所以,点P的轨迹一定通过△ABC的重心。
　　考题及变题1都是充分利用向量共线定理来解决问题,所以只要仔细审题,多思多想,抓住问题的本质即可解决问题。
　　本题还可以继续变题,将考题中的
　　变为 得变题2 : O是平面上
　　一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
　　 ,λ∈[0,+∞],则点P的
　　轨迹定通过△ABC的心。
　　分析:问题初看上去较为困难,似乎无从下手,但仍可按
　　考题的解题方式将 变形为
　　 ,但现在要解决的问题是能否继
　　续用向量共线定理来解决问题,回答是否定的,所以不妨考虑用向量垂直的充要条件来解决问题。
　　解析:由 得
　　 ,在等式 的两边的向
　　量同时求与向量 的数量积,于是
　　
　　 ,所以 ⊥ ,如
　　图3,∴点P在BC的高线所在的直线上,而垂心是三角形三条高线的交点,∴动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心。