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【摘要】本文通过对于轴对称操作过程的理解，增加了操作的细化处理和逻辑化思考，从而实现问题的表象和内在的统一，达到问题解决过程中的动手经验、数学方法和数学思想的融合，促进学生在学习者形成良好的思维品质和思维方法.
【关键词】轴对称；折叠；逻辑关系
在苏科版教材中，《轴对称图形》这一章体现了一个明显的特点：动手操作.但是教学过程中许多教师对于该环节的认知还不甚清楚，本文就该问题通过几个细节提出诸点思考，与大家讨论.
1对称点到对称轴的距离为什么相等
图1操作：“轴对称和轴对称图形”两个概念共同点是：沿着一条直线折叠后能够重合.课本是这样导入的：把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A′，折痕记为l；连接AA′，AA′与l相交于点O（如图1）.小组交流总结：对称轴l垂直AA′且OA=OA′（即对称轴直线l平分AA′）.由以上两点得，直线l叫做AA′的垂直平分线.
思考：对于课本的上述操作和相关的结论是直接观察得来的.但不少老师为了增加学生的理性思考，在教学中进一步采用了说理的方法来阐释“对称轴直线l垂直AA′且OA=OA′”.
那么如何阐释呢？特别是点O是AA′与直线l的交点，也就是说点O仅仅是对称轴上一点，显然还无法直接得出垂直.
如果折叠后，先不打开纸片，而是过点A（A′）向折痕作垂线，垂足为O，然后展开，那么OA=OA′且∠AOA′=180°，点O、A、A′三点共线.
这一个简单的处理让学生在操作中不失理性.
2对称直线的交点为什么在对称轴上
操作：如图2，A、B两个点关于直线l的两个对称点A′、B′.那么AB和A′B′所在的直线如果相交，那么交点一定在直线l上.关于这一点，苏科版八上的教材删除了该内容；但是该内容是对称的作图中是显而易见的，经常被用来检验作图是否准确.
思考：为什么交点一定在对称轴上呢？
图2既然线段AB和线段A′B′成轴对称，我们可以沿着对称轴折叠.使得AB和A′B′重合（暂时不打开纸片）.此时我们画出直线AB，假如直线AB和直线l有交点P，那么点P也是直线A′B′和直线l的交点，也就是说：直线AB和直线A′B′、直线l三线共点.
这种细节的处理有助于学生对操作过程的深化理解.
3射线为什么是轴对称图形
问题：大家都知道线段是轴对称图形，其对称轴有两条：一条是线段的垂直平分线；另一条是该线段所在的直线.那么射线是否是轴对称图形呢？
学生的直感：不是轴对称图形.老师往往是静态的、告知的方法来解释：射线所在的直线就是它们的对称轴.枯燥无味，学生没有任何激情.
那么如何解释射线是轴对称图形才能让学生完全认可呢？
思考：我们采用运动的方法来思考该问题：我们知道，线段和角都是轴对称图形，角的对称轴是角平分线所在的直线.我们用圆规打比方：将角度从钝角变化到直角，进一步变化到锐角.它们的对称轴都是角平分线所在的直线.当角度变为0°的时候，角的两边重合，其角平分线和两边也重合，这样就可以直观地得到：射线所在的直线是射线的对称轴.
这是用运动过程体现出来的，优于孤立的图形思考.这个简单的活动过程比简单的告知效果好不少.
4角平分线性质定理的直观操作
操作：对于角平分线上的点到角两边的距离相等，课本采用的是折叠操作来达到的直观理解的：即首先将角对折，然后在折痕上找一点，作重合边的垂线.根据垂线段最短的原理可知：展开后的两条垂线段相等.
思考：这个操作证明是比较容易的.但是操作是否是画蛇添足、多此一举呢？不是的，经过学生的活动经验积累，能够实现对称思想.特别是遇到角平分线的辅助线的时候，学生不用死记硬背；在操作活动中形成的经验积累能够帮助学生自然而然额作出辅助线实现问题解决.
事实上，苏科版轴对称的内容中，还有垂直平分线、等腰三角形等知识中都贯穿了动手操作，这是有道理的.教学中不能把学生的动手操作的直观环节给省略了.
5如何构造轴对称图形
图3问题：如图3，A、B、C三个点都在方格纸的格点位置上，请你再找一个格点D，使图中的4点组成一个轴对称图形.
思考：许多同学是凭借直觉来找的，难免会有遗漏.学生应该有一个逻辑思考的方法才对.我们不仅需要一个方法，关键还要理解为什么需要这种方法.
由于构造轴对称图形的过程中，△ABC的三边，其每一边都是线段，单独每一边是轴对称图形，对称轴是其垂直平分线或该边所在的直线，因此要想够着整个图形成为轴对称图形，首先画出AB的对称轴，然后寻找点C的对称点D，这样一来，这个图形就是轴对称图形.
然后再以BC的两条对称轴为图形的对称轴，然后寻找点A的对称点D，最后再以AC的对称轴作为图形的对称轴来寻找点B的对称点D.该问题共有六种情况，实际能找到的点D有4个.
6证明等腰三角形两底角相等的简单方法
问题：证明等腰三角形两底角相等，常用的方法是：通过作底边上的高.然后用全等的方法来解决.
7几种变换的关系
事实上，一个图形通过两次对称；如果这两个对称轴平行，那么最终得到的图形是原来图形的平移的结果；如果这两个对称轴是不平行的话，得到的图形是原来图形旋转的结果；从这个角度来看，轴对称是平移和旋转的基本变换.而平移又是一种特殊的旋转，其旋转中心在无穷远点.教师从一个高度来思考教学，容易建立相关操作的之间的联想和思考，有助于抓住问题本质，进行有效教学.
8轴对称的思想体现在辅助线的添加上
在CD上找一點D使得AE=AB即可.
一般情况下教师的教学方法都是：截长补短.事实上，这里体现的思想是对称思想.在思想指导下的方法更加有效.
后记也许有不少人认为，对称的许多知识只要学生掌握了，会运用到解题中去即可，何必钻牛角尖弄出这些稀奇古怪的内容来？笔者本来也是这样想的.但是教学中，有些东西并不是知识性的问题，而是通过深度思考，提高学生在知识学习过程中的那种缜密的思维和灵活的方法，通过这些方法进一步促进学生提升学生在学习中的逻辑思维能力，因为几何的本质不是仅仅直观，而是直观后面的逻辑关系.不仅是方法，更是体现在几何教学中的数学思想；对于一些有潜质的好学生，更应该如此.
作者简介郝四柱，江苏省特级教师，淮安市学科带头人，淮安市委、市政府表彰的优秀教师.获得优秀班主任、优秀教师、学科带头人等称号.栖霞区数学名师工作室主持人，关注学生动手操作，实现学生的思维优化.
【关键词】轴对称；折叠；逻辑关系
在苏科版教材中，《轴对称图形》这一章体现了一个明显的特点：动手操作.但是教学过程中许多教师对于该环节的认知还不甚清楚，本文就该问题通过几个细节提出诸点思考，与大家讨论.
1对称点到对称轴的距离为什么相等
图1操作：“轴对称和轴对称图形”两个概念共同点是：沿着一条直线折叠后能够重合.课本是这样导入的：把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A′，折痕记为l；连接AA′，AA′与l相交于点O（如图1）.小组交流总结：对称轴l垂直AA′且OA=OA′（即对称轴直线l平分AA′）.由以上两点得，直线l叫做AA′的垂直平分线.
思考：对于课本的上述操作和相关的结论是直接观察得来的.但不少老师为了增加学生的理性思考，在教学中进一步采用了说理的方法来阐释“对称轴直线l垂直AA′且OA=OA′”.
那么如何阐释呢？特别是点O是AA′与直线l的交点，也就是说点O仅仅是对称轴上一点，显然还无法直接得出垂直.
如果折叠后，先不打开纸片，而是过点A（A′）向折痕作垂线，垂足为O，然后展开，那么OA=OA′且∠AOA′=180°，点O、A、A′三点共线.
这一个简单的处理让学生在操作中不失理性.
2对称直线的交点为什么在对称轴上
操作：如图2，A、B两个点关于直线l的两个对称点A′、B′.那么AB和A′B′所在的直线如果相交，那么交点一定在直线l上.关于这一点，苏科版八上的教材删除了该内容；但是该内容是对称的作图中是显而易见的，经常被用来检验作图是否准确.
思考：为什么交点一定在对称轴上呢？
图2既然线段AB和线段A′B′成轴对称，我们可以沿着对称轴折叠.使得AB和A′B′重合（暂时不打开纸片）.此时我们画出直线AB，假如直线AB和直线l有交点P，那么点P也是直线A′B′和直线l的交点，也就是说：直线AB和直线A′B′、直线l三线共点.
这种细节的处理有助于学生对操作过程的深化理解.
3射线为什么是轴对称图形
问题：大家都知道线段是轴对称图形，其对称轴有两条：一条是线段的垂直平分线；另一条是该线段所在的直线.那么射线是否是轴对称图形呢？
学生的直感：不是轴对称图形.老师往往是静态的、告知的方法来解释：射线所在的直线就是它们的对称轴.枯燥无味，学生没有任何激情.
那么如何解释射线是轴对称图形才能让学生完全认可呢？
思考：我们采用运动的方法来思考该问题：我们知道，线段和角都是轴对称图形，角的对称轴是角平分线所在的直线.我们用圆规打比方：将角度从钝角变化到直角，进一步变化到锐角.它们的对称轴都是角平分线所在的直线.当角度变为0°的时候，角的两边重合，其角平分线和两边也重合，这样就可以直观地得到：射线所在的直线是射线的对称轴.
这是用运动过程体现出来的，优于孤立的图形思考.这个简单的活动过程比简单的告知效果好不少.
4角平分线性质定理的直观操作
操作：对于角平分线上的点到角两边的距离相等，课本采用的是折叠操作来达到的直观理解的：即首先将角对折，然后在折痕上找一点，作重合边的垂线.根据垂线段最短的原理可知：展开后的两条垂线段相等.
思考：这个操作证明是比较容易的.但是操作是否是画蛇添足、多此一举呢？不是的，经过学生的活动经验积累，能够实现对称思想.特别是遇到角平分线的辅助线的时候，学生不用死记硬背；在操作活动中形成的经验积累能够帮助学生自然而然额作出辅助线实现问题解决.
事实上，苏科版轴对称的内容中，还有垂直平分线、等腰三角形等知识中都贯穿了动手操作，这是有道理的.教学中不能把学生的动手操作的直观环节给省略了.
5如何构造轴对称图形
图3问题：如图3，A、B、C三个点都在方格纸的格点位置上，请你再找一个格点D，使图中的4点组成一个轴对称图形.
思考：许多同学是凭借直觉来找的，难免会有遗漏.学生应该有一个逻辑思考的方法才对.我们不仅需要一个方法，关键还要理解为什么需要这种方法.
由于构造轴对称图形的过程中，△ABC的三边，其每一边都是线段，单独每一边是轴对称图形，对称轴是其垂直平分线或该边所在的直线，因此要想够着整个图形成为轴对称图形，首先画出AB的对称轴，然后寻找点C的对称点D，这样一来，这个图形就是轴对称图形.
然后再以BC的两条对称轴为图形的对称轴，然后寻找点A的对称点D，最后再以AC的对称轴作为图形的对称轴来寻找点B的对称点D.该问题共有六种情况，实际能找到的点D有4个.
6证明等腰三角形两底角相等的简单方法
问题：证明等腰三角形两底角相等，常用的方法是：通过作底边上的高.然后用全等的方法来解决.
7几种变换的关系
事实上，一个图形通过两次对称；如果这两个对称轴平行，那么最终得到的图形是原来图形的平移的结果；如果这两个对称轴是不平行的话，得到的图形是原来图形旋转的结果；从这个角度来看，轴对称是平移和旋转的基本变换.而平移又是一种特殊的旋转，其旋转中心在无穷远点.教师从一个高度来思考教学，容易建立相关操作的之间的联想和思考，有助于抓住问题本质，进行有效教学.
8轴对称的思想体现在辅助线的添加上
在CD上找一點D使得AE=AB即可.
一般情况下教师的教学方法都是：截长补短.事实上，这里体现的思想是对称思想.在思想指导下的方法更加有效.
后记也许有不少人认为，对称的许多知识只要学生掌握了，会运用到解题中去即可，何必钻牛角尖弄出这些稀奇古怪的内容来？笔者本来也是这样想的.但是教学中，有些东西并不是知识性的问题，而是通过深度思考，提高学生在知识学习过程中的那种缜密的思维和灵活的方法，通过这些方法进一步促进学生提升学生在学习中的逻辑思维能力，因为几何的本质不是仅仅直观，而是直观后面的逻辑关系.不仅是方法，更是体现在几何教学中的数学思想；对于一些有潜质的好学生，更应该如此.
作者简介郝四柱，江苏省特级教师，淮安市学科带头人，淮安市委、市政府表彰的优秀教师.获得优秀班主任、优秀教师、学科带头人等称号.栖霞区数学名师工作室主持人，关注学生动手操作，实现学生的思维优化.