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通过对“滚动中的硬币自转圈数探究”的学习,我明白了数学的学习不只是复杂的计算、严密的推理,更充满着实践给予我们的思想愉悦. 在对数学奥秘的探求过程中,我被数学的魅力折服,深深陶醉其中,好多次在梦里与这两只“跳舞”的硬币相遇. 每次我从梦中醒来,都引起无限的遐想:这两枚硬币旋转中变化的本质是什么?它缠绕着我,让我寝食不安.
我再次不停地转动这两枚硬币,观察静者的稳重,动者的灵动. 突然一个想法从我的脑海里迸了出来. 旋转中的硬币自转一周不就是其中的一条半径绕圆心旋转360°吗?无论怎样自转这一规律都不会改变. 老师不是常说,在运动中寻找不变的因素,这常常是解决问题的突破口. 这个发现能用来解决我们的问题吗?
我急切地行动起来:在一枚硬币上画上一条半径,再次仔细地做起“滚动中的硬币自转圈数探究”的实验,着重观察这条半径的变化情况. 果然,当乙硬币转到甲硬币周长的四分之一时,乙上画的这条半径绕自己的圆心转动了180°,当转到甲的周长一半时,乙的这条半径转动了360°,继续旋转,回到原来的位置时,乙的这条半径刚好旋转了720°.即乙硬币自转了两圈. 我兴奋地跳起来,好像哥伦布发现了新大陆.
我怀着欣喜的心情把这个发现告诉了老师,老师表扬了我. 同学们为我的发现鼓掌. 我心中真如吃了蜜一样甜!
这时老师又向我和同学们提出一个问题:“能用‘旋转中的硬币自转一周就是其中的一条半径绕圆心旋转360°’这个结论解决两个半径不等的硬币的旋转问题吗?相信你们仔细研究会发现数学更为神奇的奥秘. ”
带着这个问题我又沉浸到研究和探讨之中. 经过思考我认为有如下的方法可以解决,请同学们听我的看法.
如图1,一枚5角的硬币(直径为2 cm)绕一枚1元的硬币(直径为2.5 cm)的边缘无滑动滚动一周回到原来的位置时,那么5角的硬币自转了多少圈?
【分析】如图1,设圆O1沿圆O外壁无滑动滚动一个周长,接触点由点A到点B,则优弧长为2π,设优角∠AOB的度数为n°,则有=2π·1,∴n=288°. ∵O2B是O1A绕O旋转一个弧长2π后到达的位置,即为O1A绕O1自转一个周角后继续旋转288°到达的位置,∴O1A到达O2B时在平面内绕O1旋转了360° 288°. ∵圆O的周长为2.5π,圆O1的周长为2π,∴圆O1回到原来的出发点滚动了1.25个周长,∴O1A在平面内绕O1点共旋转了1.25×(360° 288°),∴圆O1自转了=2.25(圈).
现在我们把上述情况推广到一般情况:
若圆O1的半径为r,圆O的半径为R且满足R=kr,圆O1沿圆O外壁无滑动地滚动一圈回到原出发点,则圆O1自转了多少圈呢?
【分析】如图2,设圆O1沿圆O外壁无滑动滚动一个周长,接触点由点A到点B,则∠AOB的度数n满足:=2πr,∴n==,∵O2B是O1A绕O旋转一个弧长2πr到达的位置,即为O1A绕O1自转一个周角后继续旋转到达的位置,又图中∠CO2B=∠AOB=n,∴O1A到达O2B时在平面内绕O1旋转了360° =. ∵圆O1回到原来的出发点滚动了=k(个)周长,∴O1A在平面内绕O1点共旋转了k×=(k 1)×360°,∴圆O1自转了=(k 1)(圈).
以上是我的一些见解,如有不足之处,欢迎大家批评指导与补足,让我们一同在数学学习的海洋中畅游!
我再次不停地转动这两枚硬币,观察静者的稳重,动者的灵动. 突然一个想法从我的脑海里迸了出来. 旋转中的硬币自转一周不就是其中的一条半径绕圆心旋转360°吗?无论怎样自转这一规律都不会改变. 老师不是常说,在运动中寻找不变的因素,这常常是解决问题的突破口. 这个发现能用来解决我们的问题吗?
我急切地行动起来:在一枚硬币上画上一条半径,再次仔细地做起“滚动中的硬币自转圈数探究”的实验,着重观察这条半径的变化情况. 果然,当乙硬币转到甲硬币周长的四分之一时,乙上画的这条半径绕自己的圆心转动了180°,当转到甲的周长一半时,乙的这条半径转动了360°,继续旋转,回到原来的位置时,乙的这条半径刚好旋转了720°.即乙硬币自转了两圈. 我兴奋地跳起来,好像哥伦布发现了新大陆.
我怀着欣喜的心情把这个发现告诉了老师,老师表扬了我. 同学们为我的发现鼓掌. 我心中真如吃了蜜一样甜!
这时老师又向我和同学们提出一个问题:“能用‘旋转中的硬币自转一周就是其中的一条半径绕圆心旋转360°’这个结论解决两个半径不等的硬币的旋转问题吗?相信你们仔细研究会发现数学更为神奇的奥秘. ”
带着这个问题我又沉浸到研究和探讨之中. 经过思考我认为有如下的方法可以解决,请同学们听我的看法.
如图1,一枚5角的硬币(直径为2 cm)绕一枚1元的硬币(直径为2.5 cm)的边缘无滑动滚动一周回到原来的位置时,那么5角的硬币自转了多少圈?
【分析】如图1,设圆O1沿圆O外壁无滑动滚动一个周长,接触点由点A到点B,则优弧长为2π,设优角∠AOB的度数为n°,则有=2π·1,∴n=288°. ∵O2B是O1A绕O旋转一个弧长2π后到达的位置,即为O1A绕O1自转一个周角后继续旋转288°到达的位置,∴O1A到达O2B时在平面内绕O1旋转了360° 288°. ∵圆O的周长为2.5π,圆O1的周长为2π,∴圆O1回到原来的出发点滚动了1.25个周长,∴O1A在平面内绕O1点共旋转了1.25×(360° 288°),∴圆O1自转了=2.25(圈).
现在我们把上述情况推广到一般情况:
若圆O1的半径为r,圆O的半径为R且满足R=kr,圆O1沿圆O外壁无滑动地滚动一圈回到原出发点,则圆O1自转了多少圈呢?
【分析】如图2,设圆O1沿圆O外壁无滑动滚动一个周长,接触点由点A到点B,则∠AOB的度数n满足:=2πr,∴n==,∵O2B是O1A绕O旋转一个弧长2πr到达的位置,即为O1A绕O1自转一个周角后继续旋转到达的位置,又图中∠CO2B=∠AOB=n,∴O1A到达O2B时在平面内绕O1旋转了360° =. ∵圆O1回到原来的出发点滚动了=k(个)周长,∴O1A在平面内绕O1点共旋转了k×=(k 1)×360°,∴圆O1自转了=(k 1)(圈).
以上是我的一些见解,如有不足之处,欢迎大家批评指导与补足,让我们一同在数学学习的海洋中畅游!