【摘要】分析拟牛顿算法正定遗传性问题，对DFP和Broyden族校正公式修正，得出相应的正定性一般性结论和正定遗传性的等价条件，并证明了等价条件的结论.
　　【关键词】校正公式；修正；拟牛顿算法；正定遗传性
　　
　　1.引 言
　　我们知道，对于DFP校正公式，由Hk的正定性要求对称矩阵Hk+1正定的等价条件是sTkyk>0.
　　这里记yk=gk+1-gk，sk=xk+1-xk，gk=f(xk)，Hk+1yk=sk.
　　在Broyden族校正公式中：
　　设Hk+1=Hk+asksTk+b(HkyksTk+skyTkHk)+cHkykyTkHk.
　　由拟牛顿条件Hk+1yk=sk，假定Hkyk，sk线性无关，引入一个参数，则得到关于的校正公式：
　　Hk+1=Hk+sksTksTkyk-HkykyTkHkyTkHkyk+vkvTk
　　=HDFPk+1+vkvTk
　　=HBFGSk+1+(-1)vkvTk.
　　在文献［1］中定理5.5.2.
　　定理 设Hk正定，对Broyden族校正公式，Hk+1正定的充分必要条件是sTkyk>0且>(sTkyk)2(sTkyk)2-yTkHkyksTkBksk.
　　讨论了关于Hk+1正定遗传性的等价问题.事实上，假定Hk正定，关于Broyden族校正公式的Hk+1正定性问题有更一般性结论.
　　2.问题分析与几个结论
　　条件 修正DFP校正公式：
　　Hk+1=Hk+sgn(sk,yk)sksTksTkyk-HkykyTkHkyTkHkyk.
　　（1）
　　结论1 若=0，则对于公式（1）Hk+1正定的充分必要条件是sTkyk≠0.
　　证明 由于Hk正定，故存在可逆下三角矩阵Lk∈Rn×Rn，满足Hk=LkLTk，对任意非零向量z∈Rn，由公式（1），
　　则zTHk+1z=zTLkLTkz+sgn(sk,yk)zTsksTkzsTkyk-
　　 zTLkLTkyk•yTkLkLTkzyTkHkyk.
　　记akLTkz，bkLTkyk，有
　　zTHk+1z=‖ak‖2-〈ak,bk〉2‖bk‖2+sgn(sk,yk)‖zTsk‖sTkyk.
　　利用CauchySchwarz不等式以及z的任意性，容易证得‖zTksk‖≠0.
　　所以，Hk+1正定zTHk+1z正定
　　‖ak‖2-〈ak,bk〉2‖bk‖2+
　　 sgn(sk,yk)‖zTsk‖sTkyk>0
　　sTkyk≠0.
　　由（1）式中引入参数=-bsTkyk，
　　则a=1sTkyk+yTkHkyk(sTkyk)2，c=-1yTkHkyk.
　　由Hk+1正定性条件，可推得关于a,b,c的取值有如下结果：
　　（1）当=0时，有Hk+1=HDFPk+1，这时Hk+1正定等价于sTkyk>0，
　　则a=1sTkyk>0，b=0，c=-1yTkHkyk<0.
　　（2）当=1时，有Hk+1=HBFGSk+1，由Hk+1正定性的等价条件，
　　则a=yTkHkyk+sTkyk(sTkyk)2>0，b=-1sTkyk<0，c=0.
　　（3）当0<<1时，由HDFPk+1，HBFGSk+1正定，易知Hk+1正定，
　　则0<1sTkyk　　（4）当>1时，易知Hk+1正定.
　　综合上述（1）~（4），我们可以得到如下结论：
　　结论2 若Hk正定，则Hk+1正定sTkyk>0且≥0.
　　（5）当<0时，则Hk+1正定sTkyk>0且
　　>(sTkyk)2(sTkyk)2-yTkHkyk•sTkH-1ksk.
　　证明可参见文献［1］，这个结论指出在sTkyk>0时，Hk+1保持正定性参数取得的最小值.
　　3.修正Broyden校正公式
　　条件 对Broyden校正公式进行修正：
　　Hk+1=Hk+sgn(sk,yk)sksTksTkyk-HkykyTkHkyTkHkyk+vkvTk.
　　（2）
　　结论3 对于公式（2），Hk+1正定sTkyk≠0且=Λ，其中Λ=(sTkyk)2(sTkyk)2-yTkHkyk•sTkH-1ksk.
　　证明 同结论1证明方法.
　　
　　【参考文献】
　　［1］王宜举，修乃华.非线性规划理论与算法(修订版)［M］.西安：陕西科学出版社，2004.
　　基金项目：福建省教育厅资助（JB08258）.