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教材及内容:浙教版七下6.3运用平方差公式进行因式分解,本节课是提取公因式法后公式法因式分解的第一课时,它是整式乘法中平方差公式的逆向运用.
1 做一做后追问公式逆用引入公式法
师:把一张如下图形状的卡纸剪开,拼成一张长方形卡纸,你认为该怎么剪?请动手剪一剪.
生1:如上图,沿着小正方形的下面或左面一边往左或往下剪,拼成的矩形即为.
师:卡纸剪拼前后的形状发生了变化,那有不变的吗?
生1:卡纸剪拼前后的面积是不变的.
师:你能从卡纸剪拼前后得到怎么样的等式?
生2:原卡纸的面积为a2-b2,后来的长方形面积是(a+b)(a-b),那能够得到a2-b2=(a+b)(a-b),这就是前面的平方差公式.
师:它就是前面的平方差公式吗?
生2:噢,是倒过来了.
师:观察公式左右的运算,其运算又是如何倒过来呢?
生2:平方差公式是乘法到加减运算,而其逆是加减到乘法.
师:那么你觉得平方差公式的逆有什么用吗?
生2:加减化为乘即是我们学习的因式分解,所以可以运用平方差公式的逆来因式分解.
师:平方差公式只是乘法公式中的一个,那么其他的乘法公式呢?
生3:乘法公式都是将乘法化为加减的形式,那么乘法公式的逆都是将乘化为加减,因此都能用于因式分解的.
师:是的,今天我们先来学习利用平方差公式来因式分解.
点评通过学生的动手操作,既能激发学生的学习兴趣,又能直接包含着本课的利用平方差公式进行因式分解的关系.教师的追问在上述教学过程中起了重要作用,一是操作后追问剪拼前后的不变关系下学生由面积相等得到符号化的等式,二是对公式两边运算形式的追问引导下让学生发现了平方差公式之逆能够运用于因式分解,三是由平方差公式到一般乘法公式的追问让学生更能理解公式法因式分解的原因,也为后面内容的学习作好铺垫.2 辨一辨后追问运用平方差公式的特征
辨一辨:下列多项式哪些可以用平方差公式分解因式?哪些不可以,为什么?
生4:(1)、(3)、(5)、((6)可以分解因式,而(2)、(4)是不可以的.
师:通过上面辨的过程,你能否说说具有什么特征的多项式,可以用平方差公式分解因式?
生4:其形式是一个数平方减去另一个数的平方.
师:原来的数就是平方形式的吗?
生4:有些不是的需要能化为平方形式.
生5:我觉得应该是一个正一个负的两项.
师:为什么是一项正一项负?
生5:因为这样才能化为上述两个数的平方差.
生6:一个数的平方也可以是一个式的平方,也就是能因式分解的是一正一负的两项数或式.
师:一定是两项吗?那如果是三项或四项呢?
生7:可以先通过配方法等化为一正一负的两项,再利用平方差公式因式分解.
点评 能运用平方差公式因式分解的式子特征是运用平方差法因式分解的关键,应该包括经过各种变形后能化为a2-b2形式的式子,辨一辨后老师及时地追问学生寻找能运用平方差公式的特征,而寻找过程中教师的追问引导学生从两数的平方差到一正一负两个数,再到一正一负两个式,最后到多项能化为一正一负两个式的特征,让学生参与了整个探究特征的过程,加深了学生的理解.3 写一写后追问易错归纳一般步骤
写一写:把下列各式分解因式的结果写出来(1)-4a2+1 ;(2)1-16a4 .
师:你是如何解(1)的?
生8:我是先变形为12-(2a)2,然后利用平方差公式之逆分解为(1-2a)(1+2a).
师:(2)的因式分解结果是什么?
生9:12-(4a2)2=(1+4a2)(1-4a2).
师:这样的结果有问题吗?
生10:分解因式的要求是分解到不能分解为止的,这儿利用公式它可以再分解的,结果是(1+4a2)(1-2a)(1+2a).
师:你能归纳一下公式法分解因式时应该注意什么?
生10:无论用什么方法,分解因式要分解到不能分解为止的.
师:利用平方差公式法分解因式的一般步骤是如何的?
生:先将原多项式变形为a2-b2的形式,然后利用平方差公式之逆进行分解,若可以再分解则须分解到不能分解为止.
点评 写一写的两个小题的解决都需要先变形再用公式,(2)还包括着是否分解到底的易错,教师恰时的追问既让学生找出了分解因式时的易错,又较自然地让学生归纳得出平方差公式法分解因式的一般步骤.
4 试一试后追问比较不同方法综合运用并渗透思想
试一试:把下列各式分解因式(1)(a+b)2 - (a-b)2 ;(2)4x4y2-9x2y4.
生11:我是直接用平方差公式之逆来分解的,即[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)],再化简得到4ab.
生12:我是先用完全平方公式展开再化简的,即(a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2),从而得到4ab.
师:上面两位同学的解法都正确的,他们的方法你觉得哪种简单?
生13:差不多的.
师:是的,前面的方法其实是先分解再化简,后面的方法是先化简再分解,而化简后正好已经是分解的结果了.那如果要分解(a+b+c)2-(a+b-c)2呢?
生13:那应该是前面一种了,因为先化简时用三项的完全平方公式较复杂.
师:那(2)的分解又是如何的?
生14:4x4y2-9x2y4=(2x2y)2-(3xy2)2=(2x2y+3xy2)(2x2y-3xy2)
=x2y2(2x+3y)(2x-3y)
生15:我是先提取公因式的,4x4y2-9x2y4=x2y2(4x2-9y2)=x2y2(2x+3y)(2x-3y)
师:能否将上述两种不同方法作一个比较?
生16:第一种方法是先用平方差公式之逆再提取公因式,第二种方法是先提取公因式再用平方差公式.相对来说先提取公因式后更易于用平方差公式之逆来分解.
师:很好的比较,与第(1)题的两种方法很有相似之处,它们分别蕴含着什么思想?
生17:直接运用平方差公式分解时包含着整体思想,先变形化简再分解时包含着化归思想.
点评 这儿的两个小题都是分解因式的综合问题,其中有不同方法和不同次序的选择,通过试一试后的追问,让学生学会根据具体多项式的特征选择合适的方法和次序进行分解,同时自然地渗透了整体思想和化归思想.
作者简介 沈顺良,男,浙江海盐人,中学高级教师,主要开展中学数学课堂教学案例的研究和中考高考典型试题的研究,撰写论文在省级以上发表90篇.
1 做一做后追问公式逆用引入公式法
师:把一张如下图形状的卡纸剪开,拼成一张长方形卡纸,你认为该怎么剪?请动手剪一剪.
生1:如上图,沿着小正方形的下面或左面一边往左或往下剪,拼成的矩形即为.
师:卡纸剪拼前后的形状发生了变化,那有不变的吗?
生1:卡纸剪拼前后的面积是不变的.
师:你能从卡纸剪拼前后得到怎么样的等式?
生2:原卡纸的面积为a2-b2,后来的长方形面积是(a+b)(a-b),那能够得到a2-b2=(a+b)(a-b),这就是前面的平方差公式.
师:它就是前面的平方差公式吗?
生2:噢,是倒过来了.
师:观察公式左右的运算,其运算又是如何倒过来呢?
生2:平方差公式是乘法到加减运算,而其逆是加减到乘法.
师:那么你觉得平方差公式的逆有什么用吗?
生2:加减化为乘即是我们学习的因式分解,所以可以运用平方差公式的逆来因式分解.
师:平方差公式只是乘法公式中的一个,那么其他的乘法公式呢?
生3:乘法公式都是将乘法化为加减的形式,那么乘法公式的逆都是将乘化为加减,因此都能用于因式分解的.
师:是的,今天我们先来学习利用平方差公式来因式分解.
点评通过学生的动手操作,既能激发学生的学习兴趣,又能直接包含着本课的利用平方差公式进行因式分解的关系.教师的追问在上述教学过程中起了重要作用,一是操作后追问剪拼前后的不变关系下学生由面积相等得到符号化的等式,二是对公式两边运算形式的追问引导下让学生发现了平方差公式之逆能够运用于因式分解,三是由平方差公式到一般乘法公式的追问让学生更能理解公式法因式分解的原因,也为后面内容的学习作好铺垫.2 辨一辨后追问运用平方差公式的特征
辨一辨:下列多项式哪些可以用平方差公式分解因式?哪些不可以,为什么?
生4:(1)、(3)、(5)、((6)可以分解因式,而(2)、(4)是不可以的.
师:通过上面辨的过程,你能否说说具有什么特征的多项式,可以用平方差公式分解因式?
生4:其形式是一个数平方减去另一个数的平方.
师:原来的数就是平方形式的吗?
生4:有些不是的需要能化为平方形式.
生5:我觉得应该是一个正一个负的两项.
师:为什么是一项正一项负?
生5:因为这样才能化为上述两个数的平方差.
生6:一个数的平方也可以是一个式的平方,也就是能因式分解的是一正一负的两项数或式.
师:一定是两项吗?那如果是三项或四项呢?
生7:可以先通过配方法等化为一正一负的两项,再利用平方差公式因式分解.
点评 能运用平方差公式因式分解的式子特征是运用平方差法因式分解的关键,应该包括经过各种变形后能化为a2-b2形式的式子,辨一辨后老师及时地追问学生寻找能运用平方差公式的特征,而寻找过程中教师的追问引导学生从两数的平方差到一正一负两个数,再到一正一负两个式,最后到多项能化为一正一负两个式的特征,让学生参与了整个探究特征的过程,加深了学生的理解.3 写一写后追问易错归纳一般步骤
写一写:把下列各式分解因式的结果写出来(1)-4a2+1 ;(2)1-16a4 .
师:你是如何解(1)的?
生8:我是先变形为12-(2a)2,然后利用平方差公式之逆分解为(1-2a)(1+2a).
师:(2)的因式分解结果是什么?
生9:12-(4a2)2=(1+4a2)(1-4a2).
师:这样的结果有问题吗?
生10:分解因式的要求是分解到不能分解为止的,这儿利用公式它可以再分解的,结果是(1+4a2)(1-2a)(1+2a).
师:你能归纳一下公式法分解因式时应该注意什么?
生10:无论用什么方法,分解因式要分解到不能分解为止的.
师:利用平方差公式法分解因式的一般步骤是如何的?
生:先将原多项式变形为a2-b2的形式,然后利用平方差公式之逆进行分解,若可以再分解则须分解到不能分解为止.
点评 写一写的两个小题的解决都需要先变形再用公式,(2)还包括着是否分解到底的易错,教师恰时的追问既让学生找出了分解因式时的易错,又较自然地让学生归纳得出平方差公式法分解因式的一般步骤.
4 试一试后追问比较不同方法综合运用并渗透思想
试一试:把下列各式分解因式(1)(a+b)2 - (a-b)2 ;(2)4x4y2-9x2y4.
生11:我是直接用平方差公式之逆来分解的,即[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)],再化简得到4ab.
生12:我是先用完全平方公式展开再化简的,即(a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2),从而得到4ab.
师:上面两位同学的解法都正确的,他们的方法你觉得哪种简单?
生13:差不多的.
师:是的,前面的方法其实是先分解再化简,后面的方法是先化简再分解,而化简后正好已经是分解的结果了.那如果要分解(a+b+c)2-(a+b-c)2呢?
生13:那应该是前面一种了,因为先化简时用三项的完全平方公式较复杂.
师:那(2)的分解又是如何的?
生14:4x4y2-9x2y4=(2x2y)2-(3xy2)2=(2x2y+3xy2)(2x2y-3xy2)
=x2y2(2x+3y)(2x-3y)
生15:我是先提取公因式的,4x4y2-9x2y4=x2y2(4x2-9y2)=x2y2(2x+3y)(2x-3y)
师:能否将上述两种不同方法作一个比较?
生16:第一种方法是先用平方差公式之逆再提取公因式,第二种方法是先提取公因式再用平方差公式.相对来说先提取公因式后更易于用平方差公式之逆来分解.
师:很好的比较,与第(1)题的两种方法很有相似之处,它们分别蕴含着什么思想?
生17:直接运用平方差公式分解时包含着整体思想,先变形化简再分解时包含着化归思想.
点评 这儿的两个小题都是分解因式的综合问题,其中有不同方法和不同次序的选择,通过试一试后的追问,让学生学会根据具体多项式的特征选择合适的方法和次序进行分解,同时自然地渗透了整体思想和化归思想.
作者简介 沈顺良,男,浙江海盐人,中学高级教师,主要开展中学数学课堂教学案例的研究和中考高考典型试题的研究,撰写论文在省级以上发表90篇.