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一个人的自然性成长需要依赖于遗传、饮食、锻炼等，而社会性成长则需要教育及其他的社会实践。如同饮食可以给人以力量，教育赋予人的，同样是一种力量。只是这种力量，侧重于人的精神层面，并表现为对个体思维方式、精神气质、人格特征的一种独特影响。
而数学在这一赋予力量的过程中，其所扮演的角色，是任何其他课程形态所无法替代的。也正由此，无论哪个国家都不约而同地将数学这一课程置于仅次于母语之后的重要位置。
说数学是一种文化，无非是想说，其一，她不是一种自然的产物。“文”者，“纹”也。这是一种因人的实践与创造活动而形成的一种非自然的形态，是一种投注了人的精神力量的独特对象。其二，“文”既源自于人，是人的主观力量的一种对象化，那么，她无疑又会对人构成一种反向的作用。好比艺术即为人之创造，但艺术作品一旦诞生，其对人自身又会构成一种独特的影响。艺术如此，数学亦然。从而，在这一过程中，作为人类的一种主观创造，数学和人之间实现了一种双向的互构：一方面，是人创造了数学，数学中投射了人类特殊群体所固有的思维及精神风貌：另一方面，数学又会以其内蕴的独特品质重新塑造人，形成对人的一种自反性建构。文化之“化”者，其意义恰在于此。
那么，作为一种独特的“文”，数学可以对人实现怎样的“化”呢?
首先，数学之抽象，为我们展现了一种追根溯源、求其实质的思维方式。
何为抽象?抽象者，抽其“象”也，即是从众多事物中抽取出共同的、本质性的特征，而舍弃其非本质特征的过程。数学研究的对象是客观世界，但客观世界只是数学研究的载体，数学所真正关注的，不是那些看得见、摸得着的客观实在，而是蕴含于其间的抽象的数量关系与空间形式。如同说，我们可以带领学生观察黑板、窗户、门、书本封面，但我们真正需要致力于引导学生去认识和把握的，却不是其中的任何一项，而是撇开其质料、颜色、大小、轻重等非本质属性，获得对长方形这一抽象的平面图形的理解与把握。同样的，我们引导学生观察2支铅笔、2个球、2只鸟、2个人，但这些都不是数学本身。真正的数学是，我们能否发现这些不同对象背后所隐藏着的共同的东西，也就是那个看不见、摸不着的抽象的等价集合2。
尽管现在，一提及抽象，往往便会出现很多相对消极的判断，尤其对于处在具体形象思维阶段的小学生而言。但这一判断，不应该掩盖掉抽象本身对于促进学习者个体独特的思维方式所具备的教学价值。事实上，世界万物纷繁复杂，能否在复杂的背后把握住其不变的、规律性的、实质性的东西，的确是一种重要的思维模式。数学的抽象，恰恰可以为我们提供很好的示范与训练。
也因此，文化数学，倡导一种这样的教学观点：数学教学应致力于引导学生经历数学知识由表及里、由外而内、由粗而精、由繁而简、由多而少、由乱而序、由散而整的过程。数学学习，要培养学生一种特殊的习惯，那就是善于洞察、善于抽取、善于提炼。这一过程，既是数学学习本身需要经历的，更是潜移默化间对学生思维方式的一种渗透与润泽，是人的一生需要积累的重要精神财富。
同样，文化数学的课堂，更关注数学知识向数学技巧、数学方法、数学策略、数学思想的不断提升，因为这一提升的过程，恰恰也是一种抽象的过程，是一种在过程层面所体现出的逐级抽象。
其次，数学之精确，为我们展现了一种求真务实、严密严谨的精神气质。
真、善、美是人类一切物质与精神生活的最高追求，而在数学中，真表现得尤为突出。
日常生活中，我们常能看到这样的情形。当面对一个具体的问题时，具有不同学科背景的人，往往会在思考、表达、解决这一问题时，展现出颇为不同的风貌。具有文科背景的人，相对而言，思维更具体形象、更浪漫，表达也更感性、更抒情。与此不同的是，具有理科背景的人，往往会表现出更大的理智感和审慎的态度。他们的表达相对欠缺激情和想象力，但是，在逻辑性、层次感、条理性上，他们却往往能够表现突出。他们善于怀疑，这不是因他们多疑，而是因为他们不愿意在尚未求证的前提下轻易做出判断，从而，猜想、实验、论证便成为他们寻求真理的重要路径。这一情形，在具有数学背景的人中表现得尤为突出。一句话，他们的思维表现出更大的理智感和严谨气质。
那么，这样的差异是否应该归功于数学学习?如果是，这样的特质，又究竟是依托于怎样的路径得以实现与建构的呢?此处，我不愿意罗列一些观摩课中的经典片段佐证我的观点，取而代之的，我更愿意回到日常的、容易被我们忽略的家常课中，去发现获得这一改变的秘密。
想想我们的数学老师，在自己的课堂上最喜欢说的是哪几句话：对不对?为什么?粗粗一看，不觉得有什么，这也的确是两个最普通不过的问题。但关键是，如果在数学课堂上，这样的问题被日复一日地提出，一周、一月、一年、六年甚至更长的时间，当我们的数学学习始终置身于“对不对”和“为什么”的拷问下，对于课堂中的学生而言，这究竟意味着什么?笔者看来，当这样的问题被问了无数遍后，对学生而言，它传递的就是一种信号：原来，数学是一门需要确定其正确与否的学科(相比较而言，语文尤其美术、音乐等人文类学科，在这方面的要求要低得多)，是一门需要不断追根溯源、打破砂锅问到底，需要不断由果索因、不断“讲道理”的学科。长此以往的耳濡目染，对学生而言，构成的恰是一种思考问题、面对世界的态度与价值观：这是一个有待求证的世界，这是一个需要确认的世界，这是一个可以大胆假设小心证明的世界。为此，我们需要审慎，需要严谨，需要不断地问自己“对不对”“为什么”，以便于自己能够真正获得有价值的知识与认识。
也鉴于此，文化数学的课堂便不再显得高深莫测。能不能多讲些道理，能不能多思考几个为什么，能不能遇事不轻信、多求证，我们有理由相信，这样的课堂，在引导孩子积累数学知识和技巧的同时，会植下一些独特的世界观与精神气质，而这，不正是文化数学的力量所在吗?
再次，数学之自由，为我们展现了一种自由创造、多样建构的开放空间。
曾经一度，我以为数学是相对封闭的，至少在小学阶段如此。在语文阅读中，“一千个读者可以有一千个哈姆雷特”，在音乐欣赏中，不同的听众更可以唤起截然不同的情感体验，而在数学中，难不成1 1真的可以等于1?三角形的两边之和难不成还可以等于甚至小于第三边?口袋里没有红球，难道还可能摸出红球?……从而，当我在《课程标准》修订稿中看到如下的表述“数学……有助于培养学生的创新意识和实践能力”时，便自然显得有些茫然——如此讲究确定性、精准性的学科，究竟如何培养学生的创新意识?
而现在，我不得不承认，之所以形成这样的误解，与自己狭窄的阅读背景有关，更与自己对数学本质的肤浅理解有关。
此处，我同样不想援引名家的论述，诸如“数学的 本质是自由”，“数学是人类的一种自由创造”，等等。因为，这样的论述并未能够从微观层面阐明小学课堂教育形态下的数学该如何展现出其自由、开放和富有创造性的一面来。在我看来，真正触及数学内在的自由本质的，固然有数学发展历史中所展现出的“自由创造”的历史渊源，更重要的是，小学课堂中的数学，在其寻求精确性、逻辑性的同时，同样表现出极大的开放性与创造性。最简单的自然数1，从来就是人类的一种想象与创造，因为1本身并不存在，而用“1”作为抽象1的表达符号，更是人类的神来之笔；位值制的诞生，无疑使我们的计数获得一次由有限迈向无限的超越，而其中所蕴含着的巨大创造性，堪称人类一切创造性作品之典范。由整数而小数、分数、有理数、无理数，由确定的数进而至变化的数，用字母表示数、方程乃至算术思维向着代数思维的跨越，哪一次进步，不是数学创造力的一次勃发?数学中的数如此，符号何尝不是?“ ”“－”“×”“÷”，哪一个不蕴含着一段独特的数学创造历史?至于对同一数学问题的不同表征和符号化，对同一数学问题的不同解决思路与策略，以及包含在直觉思维、顿悟思维、形象思维背后的巨大的创造性，哪一点不在昭示着数学巨大的创造性?其实，再多的描述都显得累赘，想想世间本没有数学，一切皆是人类的想象与创造，那么，课堂上，我们再重新面对数学时，是否该有一种新的眼光与视角?
所以，重要的不是数学是否包含着巨大自由与创造性，而是我们在课堂上，是否可以拥有一双发现数学自由与创造性的眼睛。让每个学生越过数学规范性、精确性的篱墙，触摸数学自由表达、从容舒展、开放探索、多样表征与多元解答的那一面，我们的文化数学自然就多了一份难能可贵的自由与创造。
行文至此，读者想来不难洞察，其实，无论是文化数学也好，智慧数学也罢，都是同一问题在不同语境下的一种多样表述而已。
数学是一种文化，而教育形态下的数学则是一种将其文化价值得以“返哺”，以促进个体精神生命成长的重要载体。在这一意义上，文化数学，其实质同样是促进学习个体的智慧提升。因为智慧首先即表现为透过表象把握实质的一种洞察力，这是文化数学所传递的第一要义：继而，智慧数学需要为学习者沉淀下一种独特的求真意识与理智品格，这是文化数学所传递的第二要义：最终，智慧的终极目标是自由，是对世界的自由把握、对人生的自由洞察、对自我的自由观照，而作为文化的数学，其本身恰具备实现上述目标的功能。
由此，文化数学与智慧数学，事实上在其目标定位与策略建构层面，展现出其颇为相似的地方。只是，不同的教学主张，其理论侧重点及教学策略略有不同。文化数学更关注数学内容本身的文化价值的开掘，关注数学内容的学习对于学习个体在思维方式、精神气质、人格特征等领域的影响，而智慧数学，更关注数学对于发展学生的智慧能力与品格所具备的独特意义，关注数学知识、方法如何向着更开阔、更上位的生命启迪与人生智慧作拓展的可能与空间。
殊途同归。所以愿意和智慧数学的践行者一道，在数学教育之路上并肩前行，寻找我们共同的教育理想。
而数学在这一赋予力量的过程中，其所扮演的角色，是任何其他课程形态所无法替代的。也正由此，无论哪个国家都不约而同地将数学这一课程置于仅次于母语之后的重要位置。
说数学是一种文化，无非是想说，其一，她不是一种自然的产物。“文”者，“纹”也。这是一种因人的实践与创造活动而形成的一种非自然的形态，是一种投注了人的精神力量的独特对象。其二，“文”既源自于人，是人的主观力量的一种对象化，那么，她无疑又会对人构成一种反向的作用。好比艺术即为人之创造，但艺术作品一旦诞生，其对人自身又会构成一种独特的影响。艺术如此，数学亦然。从而，在这一过程中，作为人类的一种主观创造，数学和人之间实现了一种双向的互构：一方面，是人创造了数学，数学中投射了人类特殊群体所固有的思维及精神风貌：另一方面，数学又会以其内蕴的独特品质重新塑造人，形成对人的一种自反性建构。文化之“化”者，其意义恰在于此。
那么，作为一种独特的“文”，数学可以对人实现怎样的“化”呢?
首先，数学之抽象，为我们展现了一种追根溯源、求其实质的思维方式。
何为抽象?抽象者，抽其“象”也，即是从众多事物中抽取出共同的、本质性的特征，而舍弃其非本质特征的过程。数学研究的对象是客观世界，但客观世界只是数学研究的载体，数学所真正关注的，不是那些看得见、摸得着的客观实在，而是蕴含于其间的抽象的数量关系与空间形式。如同说，我们可以带领学生观察黑板、窗户、门、书本封面，但我们真正需要致力于引导学生去认识和把握的，却不是其中的任何一项，而是撇开其质料、颜色、大小、轻重等非本质属性，获得对长方形这一抽象的平面图形的理解与把握。同样的，我们引导学生观察2支铅笔、2个球、2只鸟、2个人，但这些都不是数学本身。真正的数学是，我们能否发现这些不同对象背后所隐藏着的共同的东西，也就是那个看不见、摸不着的抽象的等价集合2。
尽管现在，一提及抽象，往往便会出现很多相对消极的判断，尤其对于处在具体形象思维阶段的小学生而言。但这一判断，不应该掩盖掉抽象本身对于促进学习者个体独特的思维方式所具备的教学价值。事实上，世界万物纷繁复杂，能否在复杂的背后把握住其不变的、规律性的、实质性的东西，的确是一种重要的思维模式。数学的抽象，恰恰可以为我们提供很好的示范与训练。
也因此，文化数学，倡导一种这样的教学观点：数学教学应致力于引导学生经历数学知识由表及里、由外而内、由粗而精、由繁而简、由多而少、由乱而序、由散而整的过程。数学学习，要培养学生一种特殊的习惯，那就是善于洞察、善于抽取、善于提炼。这一过程，既是数学学习本身需要经历的，更是潜移默化间对学生思维方式的一种渗透与润泽，是人的一生需要积累的重要精神财富。
同样，文化数学的课堂，更关注数学知识向数学技巧、数学方法、数学策略、数学思想的不断提升，因为这一提升的过程，恰恰也是一种抽象的过程，是一种在过程层面所体现出的逐级抽象。
其次，数学之精确，为我们展现了一种求真务实、严密严谨的精神气质。
真、善、美是人类一切物质与精神生活的最高追求，而在数学中，真表现得尤为突出。
日常生活中，我们常能看到这样的情形。当面对一个具体的问题时，具有不同学科背景的人，往往会在思考、表达、解决这一问题时，展现出颇为不同的风貌。具有文科背景的人，相对而言，思维更具体形象、更浪漫，表达也更感性、更抒情。与此不同的是，具有理科背景的人，往往会表现出更大的理智感和审慎的态度。他们的表达相对欠缺激情和想象力，但是，在逻辑性、层次感、条理性上，他们却往往能够表现突出。他们善于怀疑，这不是因他们多疑，而是因为他们不愿意在尚未求证的前提下轻易做出判断，从而，猜想、实验、论证便成为他们寻求真理的重要路径。这一情形，在具有数学背景的人中表现得尤为突出。一句话，他们的思维表现出更大的理智感和严谨气质。
那么，这样的差异是否应该归功于数学学习?如果是，这样的特质，又究竟是依托于怎样的路径得以实现与建构的呢?此处，我不愿意罗列一些观摩课中的经典片段佐证我的观点，取而代之的，我更愿意回到日常的、容易被我们忽略的家常课中，去发现获得这一改变的秘密。
想想我们的数学老师，在自己的课堂上最喜欢说的是哪几句话：对不对?为什么?粗粗一看，不觉得有什么，这也的确是两个最普通不过的问题。但关键是，如果在数学课堂上，这样的问题被日复一日地提出，一周、一月、一年、六年甚至更长的时间，当我们的数学学习始终置身于“对不对”和“为什么”的拷问下，对于课堂中的学生而言，这究竟意味着什么?笔者看来，当这样的问题被问了无数遍后，对学生而言，它传递的就是一种信号：原来，数学是一门需要确定其正确与否的学科(相比较而言，语文尤其美术、音乐等人文类学科，在这方面的要求要低得多)，是一门需要不断追根溯源、打破砂锅问到底，需要不断由果索因、不断“讲道理”的学科。长此以往的耳濡目染，对学生而言，构成的恰是一种思考问题、面对世界的态度与价值观：这是一个有待求证的世界，这是一个需要确认的世界，这是一个可以大胆假设小心证明的世界。为此，我们需要审慎，需要严谨，需要不断地问自己“对不对”“为什么”，以便于自己能够真正获得有价值的知识与认识。
也鉴于此，文化数学的课堂便不再显得高深莫测。能不能多讲些道理，能不能多思考几个为什么，能不能遇事不轻信、多求证，我们有理由相信，这样的课堂，在引导孩子积累数学知识和技巧的同时，会植下一些独特的世界观与精神气质，而这，不正是文化数学的力量所在吗?
再次，数学之自由，为我们展现了一种自由创造、多样建构的开放空间。
曾经一度，我以为数学是相对封闭的，至少在小学阶段如此。在语文阅读中，“一千个读者可以有一千个哈姆雷特”，在音乐欣赏中，不同的听众更可以唤起截然不同的情感体验，而在数学中，难不成1 1真的可以等于1?三角形的两边之和难不成还可以等于甚至小于第三边?口袋里没有红球，难道还可能摸出红球?……从而，当我在《课程标准》修订稿中看到如下的表述“数学……有助于培养学生的创新意识和实践能力”时，便自然显得有些茫然——如此讲究确定性、精准性的学科，究竟如何培养学生的创新意识?
而现在，我不得不承认，之所以形成这样的误解，与自己狭窄的阅读背景有关，更与自己对数学本质的肤浅理解有关。
此处，我同样不想援引名家的论述，诸如“数学的 本质是自由”，“数学是人类的一种自由创造”，等等。因为，这样的论述并未能够从微观层面阐明小学课堂教育形态下的数学该如何展现出其自由、开放和富有创造性的一面来。在我看来，真正触及数学内在的自由本质的，固然有数学发展历史中所展现出的“自由创造”的历史渊源，更重要的是，小学课堂中的数学，在其寻求精确性、逻辑性的同时，同样表现出极大的开放性与创造性。最简单的自然数1，从来就是人类的一种想象与创造，因为1本身并不存在，而用“1”作为抽象1的表达符号，更是人类的神来之笔；位值制的诞生，无疑使我们的计数获得一次由有限迈向无限的超越，而其中所蕴含着的巨大创造性，堪称人类一切创造性作品之典范。由整数而小数、分数、有理数、无理数，由确定的数进而至变化的数，用字母表示数、方程乃至算术思维向着代数思维的跨越，哪一次进步，不是数学创造力的一次勃发?数学中的数如此，符号何尝不是?“ ”“－”“×”“÷”，哪一个不蕴含着一段独特的数学创造历史?至于对同一数学问题的不同表征和符号化，对同一数学问题的不同解决思路与策略，以及包含在直觉思维、顿悟思维、形象思维背后的巨大的创造性，哪一点不在昭示着数学巨大的创造性?其实，再多的描述都显得累赘，想想世间本没有数学，一切皆是人类的想象与创造，那么，课堂上，我们再重新面对数学时，是否该有一种新的眼光与视角?
所以，重要的不是数学是否包含着巨大自由与创造性，而是我们在课堂上，是否可以拥有一双发现数学自由与创造性的眼睛。让每个学生越过数学规范性、精确性的篱墙，触摸数学自由表达、从容舒展、开放探索、多样表征与多元解答的那一面，我们的文化数学自然就多了一份难能可贵的自由与创造。
行文至此，读者想来不难洞察，其实，无论是文化数学也好，智慧数学也罢，都是同一问题在不同语境下的一种多样表述而已。
数学是一种文化，而教育形态下的数学则是一种将其文化价值得以“返哺”，以促进个体精神生命成长的重要载体。在这一意义上，文化数学，其实质同样是促进学习个体的智慧提升。因为智慧首先即表现为透过表象把握实质的一种洞察力，这是文化数学所传递的第一要义：继而，智慧数学需要为学习者沉淀下一种独特的求真意识与理智品格，这是文化数学所传递的第二要义：最终，智慧的终极目标是自由，是对世界的自由把握、对人生的自由洞察、对自我的自由观照，而作为文化的数学，其本身恰具备实现上述目标的功能。
由此，文化数学与智慧数学，事实上在其目标定位与策略建构层面，展现出其颇为相似的地方。只是，不同的教学主张，其理论侧重点及教学策略略有不同。文化数学更关注数学内容本身的文化价值的开掘，关注数学内容的学习对于学习个体在思维方式、精神气质、人格特征等领域的影响，而智慧数学，更关注数学对于发展学生的智慧能力与品格所具备的独特意义，关注数学知识、方法如何向着更开阔、更上位的生命启迪与人生智慧作拓展的可能与空间。
殊途同归。所以愿意和智慧数学的践行者一道，在数学教育之路上并肩前行，寻找我们共同的教育理想。