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摘 要:高中数学教学中,解题教学是重要的教学内容,在解题教学中,仅仅培养学生解题能力是不够的,还需要加强学生反思能力的培养,促进学生核心素养提升.通过学生反思能力的培养,进一步提高学生解题能力,引导学生理解和掌握数学知识,利用数学知识和思维解决实际问题,帮助学生形成良好的逻辑思维和发散思维.本文探究高中数学解题教学中学生反思能力的培养策略.
关键词:高中数学;解题教学;反思能力;培养策略
中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2021)27-0034-02
收稿日期:2021-06-25
作者简介:孔令昂(1989.5-),男,山东省济宁人,从事高中数学教学研究.
高中数学解题教学中,应当重视学生反思能力的培养,在数学问题探索的过程中,很多学生常常止步于答案的探索.因此,作为高中数学教师,应当结合学生问题探索过程,引导学生开展反思活动,培养学生自我反馈能力,形成良好的反思意识,进一步提高学生自主学习能力.作为高中数学教师,应当结合高中数学新课程改革要求,培养学生反思能力,引导学生自主学习,寻找适合学生自身的学习方法,推动高中数学教学进一步发展.
一、结合审题培养反思能力
在高中数学解题中,审题是第一步,通过信息的获取和加工,将阅读获取的信息准确解释成学生自己的语言.在整个审题过程中,需要学生做出正确的判断,分析题目考查的知识点内容,结合知识点分析使用的公式和方法,以及相关知识点的联系.因此,作为教师,在解题教学中,要根据审题引导学生反思,反思审题的准确性,判断是否正确合理,是否准确找到知识点等,提高学生反思能力.
例1 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程是x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆和圆C存在公共点,求解k的取值范围.
在此题解答的过程中,不少学生认为需要先表达出圆的方程,之后,根据圆和圆的位置关系完成求解.如设直线y=kx-2上存在点P(x,kx-2)使得P为圆心半径是1的圆和圆C存在公共点.根据题目中的条件,求解圆的方程,利用圆和圆的位置关系,构造关于k的不等式,是一种比较直接的思考方式.但是,通过进一步的审题可以发现,点是直线上的动点,直线可以看做是过定点(0,-2)的直线,结合题目已知条件,可以让学生从直线和圆的位置关系进行解题,完成题目的思考和解答.
反思:在解题的过程中,需要让学生认真审题,反思考查的知识点,思考直接解题难度,是否存在其他解题方式,培养学生解题能力.
二、引导学生反思解题结果
在高中数学解题中,学生解题出现错误是肯定的,错误并不可怕,重要的是让学生对错误进行反思,学生出现错误的原因很多,有些是因为知识不足,有些是能力不足,有些则是逻辑和策略错误等.因此,在解答数学题目之后,教师需要引导学生对解题结果进行思考,寻找解题错误的原因,进而找出正确的解题方式,对学生进行纠正,提高学生的解题能力.
例2 已知3x2+2y2=9x,求解x2+y2的最大值.
错误解题 对题目条件进行变形,y2=12(9x-3x2),带入到目标函数,可以得到x2+y2=x2+12(9x-3x2)=818-12(x-92)2,当x=92时,x2+y2有最大值为818.
错误解题 令x2+y2=k,可以得出y2=k-x2,根据题目条件,可以得到x2-9x+2k=0,因为x∈R,所以△=81-8k≥0,得出x2+y2的最大值为818.
反思 上述两种解题中,采取不同的思路得到了相同的结果,但是,这样的解题结果是错误的,其主要原因是学生对题目条件缺少分析,根据3x2+2y2=9x可以得出2y2=9x-3x2是一个非负数,所以0≤x≤3.在解题中得到的92不在限定范围内,因此答案存在错误.在解答2中,使用判别式解题时,需要对未知数取值范围进行确定,x取值范围被限定,无法保证判别式恒成立即可.
正确解题 x2+y2=818-12(x-92)2,函数在0≤x≤3时为单调递增函数,x=0时,代数式的最小值是0,当x=3时,代数式的最大值是9.
三、结合解题过程开展反思
在高中数学解题中,其主要目的是巩固学生所学知识和技能,熟悉数学思想方法,体会数学知识的文化价值.因此,在习题训练中,在学生完成解题后,应引导学生开展反思活动,如对问题分析的每个步骤进行推理和演算,说出依据,分析涉及到的数学思想.问题思考时,需要补充什么内容,哪些环节需要被剔除.通过对问題进行分析和解决,可以获得什么结论,如果将题目条件进行变换,是否可以采取原来的解题方式.通过一系列问题的设计,帮助学生深入理解所学知识,提高学生自主探索能力.
例3 (1)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a,当x∈[0,3]时,函数最大值是3,求解实数a的值.
(2)已知函数f(x)=x2-2ax+1-a,当x∈[0,3]时,函数的最大值是3,求解实数a 的值.
解析 (1)对函数进行变形得到f(x)=-(x-a)2+a2+1-a,当0≤a≤3时, f(x)max=a2+1-a,得出a=2.当a<0时,f(x)max=1-a=3,a=-2.当a>3时,f(x)max=5a-8=3,a=115,不符合题意.因此,a的取值是±2.
(2)函数变形为f(x)=(x-a)2-a2+1-a,函数图像开口朝上,给定区间的中点是32,当a≥32时,f(x)max= f(0),得出a=-2,不符合题意;当a<32时,f(x)max= f(3)得出a=1,符合题意.
反思 在指导学生反思时,需要让学生对一般性问题进行思考,结合知识内容的概括和总结,总结二次函数在特定区间最值的分析方法,让学生能够做到举一反三,提高学生解题能力.
四、结合问题本质开展反思
高中数学解题中,数学问题千变万化,是学生学习环节的难点,问题形式上虽然不同,但其题目类型相同,有些问题形式相似,但有着本质区别,迷惑性强.因此,在引导学生反思时,应当对问题本质进行探究,对形式不同本质相同的题目进行归类,让学生总结出解题方法.对于形式相似本质不同的问题进行深入分析,锻炼学生辨别能力,避免学生出现解题错误.在解题教学中,引导学生开展自主探索活动,分析问题本质,激发学生学习兴趣.
例4 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>1),O是坐标原点,A点是椭圆右侧顶点,是否存在点P,使得∠APO=90°?
解析 假设P(acosθ,bsinθ),因为∠APO为直角,所以AP·PO=0,AP=(acosθ-a,bsinθ),PO=(-acosθ,-bsinθ),带入计算化简得b2a2=1-11+cosθ,因为|cosθ|≤1,所以b2a2≤12,e2=1-b2a2≥12,当e∈[22,1)时,存在这样的点P.
反思 问题解决并不是学生的重点,作为教师需要引导学生开展深层次探索和反思活动,探究数学问题的本质,掌握数学解題方法,提高学生解题能力,实现学生反思能力培养.
五、借助反思训练培养反思能力
在高中解题教学中,学生缺少课堂反思,通常是完成知识讲解之后,就让学生开展习题训练,学生只需要完成习题训练即可,缺少反思意识和能力.不少学生虽然了解反思环节,却没有付诸于实际行动,缺少自主思考和探索能力,不少数学教师依然采取灌输式教学模式,忽视学生创造能力和实践能力的培养,更不用学生学习反思能力.因此,作为高中数学教师,应当重视学生反思能力训练,构建高效数学课堂.
例如,在三角函数教学中,章节知识比较多,公式类型多而复杂,学生很容易出现混淆情况,使得学生解题出现错误.因此,教师可以让学生对公式进行归纳和整理,结合学生存在的共同问题开展学习活动,借助学生反思训练,提高学生学习能力.在具体的反思训练中,结合学生解题中的问题,让学生认识到反思的重要意义,让学生从心理上重视反思活动,结合具体问题分析和反思,让学生认识到自身的不足,优化学生学习方式,逐渐提高学生反思能力.
高中数学解题教学中,应当注重学生自学能力培养,加强学生逻辑思维和空间想象能力培养,提高学生问题解决能力.反思能力能够让学生自主学习和思考,加深数学知识理解和掌握,结合解题过程培养学生反思能力,可帮助学生形成良好的思维品质,改进学生学习方式,促进学生核心素养提升.
参考文献:
[1]石磊.高中数学解题反思能力培养途径探究[J].数学学习与研究(教研版),2019(01):121.
[2]张旭鑫.高中数学解题反思能力培养途径探究[J].成长,2020(2):51.
[责任编辑:李 璟]
关键词:高中数学;解题教学;反思能力;培养策略
中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2021)27-0034-02
收稿日期:2021-06-25
作者简介:孔令昂(1989.5-),男,山东省济宁人,从事高中数学教学研究.
高中数学解题教学中,应当重视学生反思能力的培养,在数学问题探索的过程中,很多学生常常止步于答案的探索.因此,作为高中数学教师,应当结合学生问题探索过程,引导学生开展反思活动,培养学生自我反馈能力,形成良好的反思意识,进一步提高学生自主学习能力.作为高中数学教师,应当结合高中数学新课程改革要求,培养学生反思能力,引导学生自主学习,寻找适合学生自身的学习方法,推动高中数学教学进一步发展.
一、结合审题培养反思能力
在高中数学解题中,审题是第一步,通过信息的获取和加工,将阅读获取的信息准确解释成学生自己的语言.在整个审题过程中,需要学生做出正确的判断,分析题目考查的知识点内容,结合知识点分析使用的公式和方法,以及相关知识点的联系.因此,作为教师,在解题教学中,要根据审题引导学生反思,反思审题的准确性,判断是否正确合理,是否准确找到知识点等,提高学生反思能力.
例1 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程是x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆和圆C存在公共点,求解k的取值范围.
在此题解答的过程中,不少学生认为需要先表达出圆的方程,之后,根据圆和圆的位置关系完成求解.如设直线y=kx-2上存在点P(x,kx-2)使得P为圆心半径是1的圆和圆C存在公共点.根据题目中的条件,求解圆的方程,利用圆和圆的位置关系,构造关于k的不等式,是一种比较直接的思考方式.但是,通过进一步的审题可以发现,点是直线上的动点,直线可以看做是过定点(0,-2)的直线,结合题目已知条件,可以让学生从直线和圆的位置关系进行解题,完成题目的思考和解答.
反思:在解题的过程中,需要让学生认真审题,反思考查的知识点,思考直接解题难度,是否存在其他解题方式,培养学生解题能力.
二、引导学生反思解题结果
在高中数学解题中,学生解题出现错误是肯定的,错误并不可怕,重要的是让学生对错误进行反思,学生出现错误的原因很多,有些是因为知识不足,有些是能力不足,有些则是逻辑和策略错误等.因此,在解答数学题目之后,教师需要引导学生对解题结果进行思考,寻找解题错误的原因,进而找出正确的解题方式,对学生进行纠正,提高学生的解题能力.
例2 已知3x2+2y2=9x,求解x2+y2的最大值.
错误解题 对题目条件进行变形,y2=12(9x-3x2),带入到目标函数,可以得到x2+y2=x2+12(9x-3x2)=818-12(x-92)2,当x=92时,x2+y2有最大值为818.
错误解题 令x2+y2=k,可以得出y2=k-x2,根据题目条件,可以得到x2-9x+2k=0,因为x∈R,所以△=81-8k≥0,得出x2+y2的最大值为818.
反思 上述两种解题中,采取不同的思路得到了相同的结果,但是,这样的解题结果是错误的,其主要原因是学生对题目条件缺少分析,根据3x2+2y2=9x可以得出2y2=9x-3x2是一个非负数,所以0≤x≤3.在解题中得到的92不在限定范围内,因此答案存在错误.在解答2中,使用判别式解题时,需要对未知数取值范围进行确定,x取值范围被限定,无法保证判别式恒成立即可.
正确解题 x2+y2=818-12(x-92)2,函数在0≤x≤3时为单调递增函数,x=0时,代数式的最小值是0,当x=3时,代数式的最大值是9.
三、结合解题过程开展反思
在高中数学解题中,其主要目的是巩固学生所学知识和技能,熟悉数学思想方法,体会数学知识的文化价值.因此,在习题训练中,在学生完成解题后,应引导学生开展反思活动,如对问题分析的每个步骤进行推理和演算,说出依据,分析涉及到的数学思想.问题思考时,需要补充什么内容,哪些环节需要被剔除.通过对问題进行分析和解决,可以获得什么结论,如果将题目条件进行变换,是否可以采取原来的解题方式.通过一系列问题的设计,帮助学生深入理解所学知识,提高学生自主探索能力.
例3 (1)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a,当x∈[0,3]时,函数最大值是3,求解实数a的值.
(2)已知函数f(x)=x2-2ax+1-a,当x∈[0,3]时,函数的最大值是3,求解实数a 的值.
解析 (1)对函数进行变形得到f(x)=-(x-a)2+a2+1-a,当0≤a≤3时, f(x)max=a2+1-a,得出a=2.当a<0时,f(x)max=1-a=3,a=-2.当a>3时,f(x)max=5a-8=3,a=115,不符合题意.因此,a的取值是±2.
(2)函数变形为f(x)=(x-a)2-a2+1-a,函数图像开口朝上,给定区间的中点是32,当a≥32时,f(x)max= f(0),得出a=-2,不符合题意;当a<32时,f(x)max= f(3)得出a=1,符合题意.
反思 在指导学生反思时,需要让学生对一般性问题进行思考,结合知识内容的概括和总结,总结二次函数在特定区间最值的分析方法,让学生能够做到举一反三,提高学生解题能力.
四、结合问题本质开展反思
高中数学解题中,数学问题千变万化,是学生学习环节的难点,问题形式上虽然不同,但其题目类型相同,有些问题形式相似,但有着本质区别,迷惑性强.因此,在引导学生反思时,应当对问题本质进行探究,对形式不同本质相同的题目进行归类,让学生总结出解题方法.对于形式相似本质不同的问题进行深入分析,锻炼学生辨别能力,避免学生出现解题错误.在解题教学中,引导学生开展自主探索活动,分析问题本质,激发学生学习兴趣.
例4 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>1),O是坐标原点,A点是椭圆右侧顶点,是否存在点P,使得∠APO=90°?
解析 假设P(acosθ,bsinθ),因为∠APO为直角,所以AP·PO=0,AP=(acosθ-a,bsinθ),PO=(-acosθ,-bsinθ),带入计算化简得b2a2=1-11+cosθ,因为|cosθ|≤1,所以b2a2≤12,e2=1-b2a2≥12,当e∈[22,1)时,存在这样的点P.
反思 问题解决并不是学生的重点,作为教师需要引导学生开展深层次探索和反思活动,探究数学问题的本质,掌握数学解題方法,提高学生解题能力,实现学生反思能力培养.
五、借助反思训练培养反思能力
在高中解题教学中,学生缺少课堂反思,通常是完成知识讲解之后,就让学生开展习题训练,学生只需要完成习题训练即可,缺少反思意识和能力.不少学生虽然了解反思环节,却没有付诸于实际行动,缺少自主思考和探索能力,不少数学教师依然采取灌输式教学模式,忽视学生创造能力和实践能力的培养,更不用学生学习反思能力.因此,作为高中数学教师,应当重视学生反思能力训练,构建高效数学课堂.
例如,在三角函数教学中,章节知识比较多,公式类型多而复杂,学生很容易出现混淆情况,使得学生解题出现错误.因此,教师可以让学生对公式进行归纳和整理,结合学生存在的共同问题开展学习活动,借助学生反思训练,提高学生学习能力.在具体的反思训练中,结合学生解题中的问题,让学生认识到反思的重要意义,让学生从心理上重视反思活动,结合具体问题分析和反思,让学生认识到自身的不足,优化学生学习方式,逐渐提高学生反思能力.
高中数学解题教学中,应当注重学生自学能力培养,加强学生逻辑思维和空间想象能力培养,提高学生问题解决能力.反思能力能够让学生自主学习和思考,加深数学知识理解和掌握,结合解题过程培养学生反思能力,可帮助学生形成良好的思维品质,改进学生学习方式,促进学生核心素养提升.
参考文献:
[1]石磊.高中数学解题反思能力培养途径探究[J].数学学习与研究(教研版),2019(01):121.
[2]张旭鑫.高中数学解题反思能力培养途径探究[J].成长,2020(2):51.
[责任编辑:李 璟]