摘要：不定方程，即未知数的个数多于方程个数且其解受一定限制（如解为整数，正整数等）的方程或方程组。不定方程又称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，是历史上最活跃的数学领域之一。二元一次不定方程是其中一类比较简单的方程，它在什么情况下有解，有多少组解，以及求解方法，笔者在这里进行了小结。其中求解的方法都是一些初等数学的方法，体现了用初等数学思想解决高等数学中的问题。
　　关键词：二元一次不定方程；数学思想；一题多解
　　一、用多种方法求解二元一次不定方程
　　在看到一个二元一次不定方程ax+by=c（其中a，b，c是整数，且a，b都不是0）时，我们首先要判断其是否有解，利用判断（a，b）是否整除c来确定。若方程有解，此时，我们可以使用观察法，辗转相除法，逐步缩小系数求解等方法来解二元一次不定方程。各种方法步骤如下：
　　1、1方法介绍
　　其中观察法常适用于一些简单的题目，这类题目我们能够一眼看出方程特解，然后代入通解的公式进行计算即可。
　　辗转相除法[1]，又称带余数除法，对于方程ax+by=1，（a，b）=1（1）
　　假定a>0，b>0，且a>b（注：若a　　求解二元一次不定方程的方法很多，笔者在这里列出了以上三种，对于理论理解起来可能有些难度，下面我们通过一个具体的例子来尝试一下以上3种方法。
　　1、2举例分析
　　求二元一次不定方程15x+25y=100的一切整数解。
　　解：原方程等价于3x+5y=20，所以两者的解完全相同。其中（3，5）=1，所以方程有解。求解方法如下：
　　方法1：由观察法可得，3x+5y=20有一组特解为x0=10，y0=-2，因此全部解为：x=10-5t，y=-2+3t（t=0，±1，±2…），因此原方程的全部解为x=10-5t， y=-2+3t（t=0，±1，±2…）.
　　方法2：辗转相除法：对于二元一次不定方程：3x+5y=20，先求解5x+3y=1，令a=5，b=3，则（3，5）=1，5=3×1+2，即q1=1，r1=2，又由3=2×1+1，即q2=1，r2=1，所以方程5x+3y=1的一个特殊解为：x =（-1）2-1（1×1+0）=-1 y=（-1）2（1×1+1）=2，所以方程3x+5y=20的一个解是x=40，y=-20，所以一切解可以表示为：x=40-5t，y=-20+3t（t=0，±1，±2…），即原方程的全部解为：x=40-5t，y=-20+3t（t=0，±1，±2…）
　　方法3：逐步缩小系數法：由3x+5y=20得y= -x+ ，令y’= ，y应该为整数。得到一个新的不定方程：5y’-2x=20，解该方程得，x= .
　　此时，令x’= ，则有：2x’-y’=-20，即y’-2x’=20，显然上式的一切解为x’=t；y’=20+2t（t=0，±1，±2…），所以，原方程的一切整数解为：x=40+5t，y= =20-3t（t=0，±1，±2…）
　　以上通过求解一道简单的二元一次不定方程，列举了使用不同方法求解的情形。根据学生的知识条件由浅入深、由此及彼、举一反三，逐步扩展其知识范围，引导学生学会运用灵活的思考方法，使课堂成为同学们合作、争辩、探究、交流的场所，提高学生的数学学习兴趣，不断提高解题能力。
　　二、一题多解的意义
　　大学生已经接触到高等数学的知识与方法，具备了使用不同的数学内容相互沟通，利用它们的内在联系来思考问题的基本条件。在教学过程中，适当地使用一题多解[2]，能够启发和引导学生从不同角度、不同思路，启迪思维，开阔视野，全方位思考问题，分析问题，运用不同的方法解决实际问题，有助于加深学生对数学思想方法的理解，有利于培养学生的探索精神，可以训练学生积极思维，触类旁通，提高学生思维敏捷性、灵活性和深刻性。教师应帮助学生将每一个孤立的知识模块联系起来，培养学生良好的认知结构，从而培养学生的发散思维能力，这样一来，有利于创新意识的形成和发展，是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法。这样不仅可以创设新颖的教学情境，激发学生的探究欲望，而且可以使课堂焕发生命活力，可以使新课堂理念得到有效的落实。
　　参考文献：
　　[1]《初等数论》，闵嗣鹤、严士健著（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.
　　[2]张雅轩.谈大学数学教学中一题多解的意义.长春师范大学学报，2014.
　　[3]潘承洞、潘承彪.《初等数论》.北京：北京大学出版社，1992年9月.
　　[4]凌梅.几种常见的不定方程的求解.教育教学论坛.2011年3月，186-187.