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【摘要】认知指导项目（Cognitively Guided Instruction）是美国教育发展中的一个教育教学的变革。其在“不让一个孩子掉队”法案的签署和州共同核心数学标准的颁布背景下实施教师专业化培训，帮助教师了解儿童思维，促进了师生共同体的认知发展。本文阐述了美国CGI课堂的教学模式：根据学生的生活游戏经验，通过动作模拟、先进策略等解决问题，以及CGI的运用现状、困境与展望。
【关键词】认知指导策略 小学数学 教学变革 认知发展
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）49-0147-02
1957年苏联发射了第一颗人造卫星。这次发射引起美国市民担心苏联的学校比美国的学校好，成为推动美国学校提供学生在数学和科学领域一个强大的基础。近年来，美国重视教育改革，包括在2001年签署了“不让一个孩子掉队法案” （the No Child Left Behind），要求所有的学生在学术上相当或高于平均水平[2]，以提高学生成绩。以及为均衡各州教育水平，推出《共同核心州立标准》。认知指导项目（Cognitively Guided Instruction，简称 CGI）也是支持美国教育改革的其中一个重要的数学教育改革，对其他国家的教育改革也可能具有参考价值。
“基于认知发展的数学教育”（CGI）是美国威斯康星大学“促进学生数学与科学学习和成就国家研究中心”研发的早期数学教育项目，主要针对从幼儿园到小学三年级的儿童与教师。以帮助教师建构有关儿童数学认知发展的概念体系为切入点，通过教育实践与合作研究并重的方式促进教师专业发展，包含关于儿童认知发展的知识为基础建构教师专业发展的知识体系，组建合作探究式的学习共同体，采取多种途径促使教师的实践知识与经验向教育能力转化等内容。CGI不规定教学，而不是课程；这是一个基于学生思维的数学教学，是教学与学生交互的过程。
一、CGI研究源起：促进师生共同体的认知发展
CGI的研究始于20世纪70年代末，Tom Carpenter和Penelope Peterson独立研究儿童如何思考和处理信息。Carpenter指出，在低年级数学教学中协助学生是非常重要的，教师有一个了解儿童直观地解决问题的方式也是至关重要的。1999年，Carpenter等研究者报告说，“知道更多关于自己学生在问题解决方面的思维的老师成就水平要高于那些对自己的学生思维了解不足的老师。”基于对这项研究，CGI被创建。
Fullan 2001年指出：“教育的变化取决于老师所做的和所想的”。基于Carpenter， Fennema等人的基础研究，CGI在数学课堂中是否能顺利开展取决于教师对学生思维的了解和运用学生思维实施相应的教学策略的能力，这就对教师的专业发展提出了更高的要求。CGI项目研究在小学教师的教学内容知识，以及这些知识与学生成绩的关系基础上，重视教师的专业发展培训，帮助教师更好地理解和运用CGI。
二、CGI教学策略：是追寻思维的数学教学哲学
认知指导教学（CGI）是一种教导小学数学的哲学，侧重于学生的思维，重点是教师在教室中根据教师对学生的知识和信念所做的教学决定。CGI项目的研究与实施过程中，研究者对教师进行CGI培训时，主要在于帮助教师了解数学教学问题类型，掌握了解学生思维的方法，以及应对学生不同学习反应采取的教学策略。CGI不是课程，不规定教学，它是基于学生思维、数学教学与学生交互的过程。
（一）CGI教学根据学生的生活和游戏经验进行。
CGI课堂中每天专门的数学活动时间约为一个小时，儿童所涉及的问题多源于儿童的日常生活及游戏。
笔者结合文献中学者对CGI教师课堂的研究，总结了一个CGI课堂一般模式示例如下：在CGI课堂开始时，教师提出每次课堂中需要解决的问题，如“汤姆有8辆玩具小汽车，玛丽又给了他4辆，请问汤姆现在一共有多少辆小汽车？”。随后教师会通过提问的方式帮助儿童关注问题的重要细节，如起始条件（8辆小汽车）、变化过程（增加4辆小汽车及未知条件（小汽车总量）等。并为儿童准备丰富的物质材料（如积木、筹码、计数棒、数字卡片等）来帮助儿童进行问题解决，每位儿童可以自行决定如何以及何时使用这些材料或者不借助任何材料解决问题。在儿童进行问题解决的过程中，教师可与儿童个别对话，帮助儿童明确问题条件或解决策略，鼓励儿童尝试使用多种策略，进而深入分析儿童的思维过程。儿童需要向教师及其他儿童报告并展示自己问题解决的过程及具体策略。然后通过儿童的报告与展示，教师能够了解该儿童的数学思维发展水平，并决定采用何种教育引导策略。最后教师将进一步引导全班儿童对该儿童所采用的方法与策略进行讨论，如果出现疑问或分歧，则大家一起对该方法进行检验。在此过程中，教师不断根据自己掌握的有关儿童数学思维发展的知识对儿童的讨论结果进行引导、概括、总结与提升，并为其进一步讨论提供支持。
（二）CGI课堂通过实物操作或动作模拟、重现文字解决问题。
对于儿童来说不是所有的加法或减法问题都是一样的。不同类型的加法和减法问题之间的区别反映在学生解决问题的方式上。在CGI原则中，教师不直接教授算法，而是让儿童根据问题语义自行探索。如在《认知指导知识库》中提及的一例：
老师：TJ有13个巧克力饼干。他午饭时吃了5个饼干。TJ还剩多少块饼干？
Rachel：拿出13个计数，拿走5个，然后數计数器，还剩8个。
老师：好。 现在下一个：Jenelle收藏有7个怪物玩具，还要多少个怪物玩具，她就有11个怪物玩具？
Rachel：先拿出一套7个的计数器，并逐个添加计数器，直到有11个为止。然后数她刚刚添加的计数器数量，以此找到答案。 老师：太好了。这里还有一个问题。Willy有12支蜡笔，Lucy有7蜡笔。Willy比Lucy多多少支蜡笔？
Rachel：摆出两组计数器，一个有12个计数器和另一个有7个计数器。她将这两组计数器排成两行以使12组中的7个计数器与另一组的7个计数器一一匹配，并数出其中不匹配的计数器，一共是五个。
虽然Rachel对每个问题使用了不同的策略，但这些策略有一个共同的线索。在每种情况下，她通过描述问题中的动作或关系来建模。第一个问题涉及从13中删除5的操作，这就是Rachel对问题建模的方式。在第二个问题中，动作是累加的，Rachel计算了初始数量和添加对象的集合。第三个问题涉及两个量的比较，Rachel使用了一个比较两组数量的策略。
（三）CGI课堂根据不同问题类型使用不同的策略解决问题。
Carpenter等人发现教师可以确定加减问题类型之间的基本差异，但是他们难以识别问题之间的差异，和阐明他们在问题之间的区别的推理；教师似乎没有一个逻辑框架来分类问题。因此CGI研究者提供了一些框架，帮助教师了解问题类型，策略类型，以及操作和数字的发展轨迹。
二、CGI运用：现状、困境与展望
2000年以后，随着 “不让一个孩子掉队法案”在2001年的签署，要求所有的学生在学术上相当或高于平均水平，规定了关于高素质教师专业发展的要求，以及为均衡各州教育水平，美国在2010年推出的《共同核心州立标准》均为CGI项目对教师专业发展的培养和在美国小学数学课堂中的运用提供了依据。在认知导向指导（CGI）项目中，教师参与CGI专业发展的学生在问题解决评估中表现优于同龄人，连续几年在CGI课堂学习的学生得分高于CGI课堂学习1年或不在CGI课堂的同龄人。CGI课堂陆续在美国一些州的小学开展，并得到當地政府和领导的支持，研究学者也陆续针对教师的专业发展水平和CGI课堂的实施效果进行评估。
CGI课堂，符合儿童认知发展的特点，并在儿童思维发展的关键期提供一个让儿童自由思考建模解决问题的平台，有效地锻炼了儿童的思维。在很多方面上体现了它的种种好处。但是，在研究者对CGI教师的访谈中，也发现，CGI的一些弊端：例如接受CGI项目培训的美国教师普遍感到困难的是CGI的培训员只向他们介绍CGI原理，具体实施时却需要教师根据自己对班级学生的了解自行设计不同梯度的问题和课程作业，这对教师的专业发展要求高；另外，部分教师报告说教师可以使用的教室资源不足，而且他们没有时间创建支持CGI所需的教室材料；还有一些教师认为让学生自己探究算法太耗费时间，不如自己来教授标准算法给学生。
美国教育研究CGI项目多年，有不少成功的案例，并将CGI项目作为支持和配合2010年通过的《共同核心州立标准》的其中一项内容，推动着美国数学教育的发展。对于其他国家的教育或许有一定的参考价值。但CGI课堂的实施是在美国的教育背景下进行的，回顾中国的教育现实，在受到人口，学校教育资源等客观条件制约的情况下，无法实施小班教学的中国课堂，CGI是否能适应、运用和发挥作用还需进一步的深入探讨。
参考文献：
[1]Knight S L， Erlandson D A. Harnessing Complexity： A Framework for Analyzing School Reform.[J]. Planning & Changing， 2003， 34：178-196.
[2]Marzano R J. Using Data： Two Wrongs and a Right.[J]. Educational Leadership Journal of the Department of Supervision & Curriculum Development N.e.a， 2003， 60（5）：56-60.
[3]Fennema， E.， Carpenter， T.， Levi， L.， Franke， M.L.， & Empson， S.B. Children’s mathematics： Cognitively Guided Instruction： Professional development materials. Portsmouth， NH： Heinemann.1999
[4]Carpenter， T.P.， Fennema， E.， Peterson， P.L.， & Carey， D. Teachers’ pedagogical content knowledge in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education， 1998，19（5）， 385-401.
[5]Carpenter T P， Fennema E， Franke M L， et al. Children's Mathematics： Cognitively Guided Instruction.[M]. Cognitive Processes， 1999.
[6]Fennema， E.， Carpenter， T.P.， Franke， M.L.， & Carey， D.A. （1993）. Learning to use children’s mathematics thinking： A case study. In R.B. Davis & C.A. Maher （Eds.）， Schools， mathematics， and the world of reality （pp. 93–118）. Boston， MA： Allyn and Bacon.
[7]Carpenter T P， Fennema E， Franke M L， et al. Children's Mathematics： Cognitively Guided Instruction.[M]. Cognitive Processes， 1999. [8]Peterson P L， Carpenter T， Fennema E. Teachers' knowledge of students' knowledge in mathematics problem solving： Correlational and case analyses.[J]. Journal of Educational Psychology， 1989， 81（4）：558-569.
[9]Fullan M G. The New Meaning of Educational Change[M]// The new meaning of educational change. Cassell Educational Ltd. 2001（03）.
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[12]Carpenter T P， Fennema E， Franke M L. Cognitively Guided Instruction： A Knowledge Base for Reform in Primary Mathematics Instruction[J]. The Elementary School Journal， 1996， 97（Volume 97， Number 1）：3-20.
[13]Baek J M. Teaching Mathematics Based on Children's Cognition ： Introduction to Cognitively Guided Instruction in U.S.[J]. 2004， 14：421-434.
[14]Baek J M. Teaching Mathematics Based on Children's Cognition ： Introduction to Cognitively Guided Instruction in U.S.[J]. 2004， 14：421-434.
[15]Polly D， Neale H， Pugalee D K. How Does Ongoing Task-Focused Mathematics Professional Development Influence Elementary School Teachers’ Knowledge， Beliefs and Enacted Pedagogies[J]. Early Childhood Education Journal， 2014， 42（1）：1-10.
[16]Garcia P E. An examination of professional development in algebra for fifth-grade teachers[J]. 2011.
[17]Moscardini L. Developing equitable elementary mathe？鄄matics classrooms through teachers learning about children's mathematical thinking： Cognitively Guided Instruction as an inclusive pedagogy[J]. Teaching & Teacher Education， 2014， 43：69-79.
【关键词】认知指导策略 小学数学 教学变革 认知发展
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）49-0147-02
1957年苏联发射了第一颗人造卫星。这次发射引起美国市民担心苏联的学校比美国的学校好，成为推动美国学校提供学生在数学和科学领域一个强大的基础。近年来，美国重视教育改革，包括在2001年签署了“不让一个孩子掉队法案” （the No Child Left Behind），要求所有的学生在学术上相当或高于平均水平[2]，以提高学生成绩。以及为均衡各州教育水平，推出《共同核心州立标准》。认知指导项目（Cognitively Guided Instruction，简称 CGI）也是支持美国教育改革的其中一个重要的数学教育改革，对其他国家的教育改革也可能具有参考价值。
“基于认知发展的数学教育”（CGI）是美国威斯康星大学“促进学生数学与科学学习和成就国家研究中心”研发的早期数学教育项目，主要针对从幼儿园到小学三年级的儿童与教师。以帮助教师建构有关儿童数学认知发展的概念体系为切入点，通过教育实践与合作研究并重的方式促进教师专业发展，包含关于儿童认知发展的知识为基础建构教师专业发展的知识体系，组建合作探究式的学习共同体，采取多种途径促使教师的实践知识与经验向教育能力转化等内容。CGI不规定教学，而不是课程；这是一个基于学生思维的数学教学，是教学与学生交互的过程。
一、CGI研究源起：促进师生共同体的认知发展
CGI的研究始于20世纪70年代末，Tom Carpenter和Penelope Peterson独立研究儿童如何思考和处理信息。Carpenter指出，在低年级数学教学中协助学生是非常重要的，教师有一个了解儿童直观地解决问题的方式也是至关重要的。1999年，Carpenter等研究者报告说，“知道更多关于自己学生在问题解决方面的思维的老师成就水平要高于那些对自己的学生思维了解不足的老师。”基于对这项研究，CGI被创建。
Fullan 2001年指出：“教育的变化取决于老师所做的和所想的”。基于Carpenter， Fennema等人的基础研究，CGI在数学课堂中是否能顺利开展取决于教师对学生思维的了解和运用学生思维实施相应的教学策略的能力，这就对教师的专业发展提出了更高的要求。CGI项目研究在小学教师的教学内容知识，以及这些知识与学生成绩的关系基础上，重视教师的专业发展培训，帮助教师更好地理解和运用CGI。
二、CGI教学策略：是追寻思维的数学教学哲学
认知指导教学（CGI）是一种教导小学数学的哲学，侧重于学生的思维，重点是教师在教室中根据教师对学生的知识和信念所做的教学决定。CGI项目的研究与实施过程中，研究者对教师进行CGI培训时，主要在于帮助教师了解数学教学问题类型，掌握了解学生思维的方法，以及应对学生不同学习反应采取的教学策略。CGI不是课程，不规定教学，它是基于学生思维、数学教学与学生交互的过程。
（一）CGI教学根据学生的生活和游戏经验进行。
CGI课堂中每天专门的数学活动时间约为一个小时，儿童所涉及的问题多源于儿童的日常生活及游戏。
笔者结合文献中学者对CGI教师课堂的研究，总结了一个CGI课堂一般模式示例如下：在CGI课堂开始时，教师提出每次课堂中需要解决的问题，如“汤姆有8辆玩具小汽车，玛丽又给了他4辆，请问汤姆现在一共有多少辆小汽车？”。随后教师会通过提问的方式帮助儿童关注问题的重要细节，如起始条件（8辆小汽车）、变化过程（增加4辆小汽车及未知条件（小汽车总量）等。并为儿童准备丰富的物质材料（如积木、筹码、计数棒、数字卡片等）来帮助儿童进行问题解决，每位儿童可以自行决定如何以及何时使用这些材料或者不借助任何材料解决问题。在儿童进行问题解决的过程中，教师可与儿童个别对话，帮助儿童明确问题条件或解决策略，鼓励儿童尝试使用多种策略，进而深入分析儿童的思维过程。儿童需要向教师及其他儿童报告并展示自己问题解决的过程及具体策略。然后通过儿童的报告与展示，教师能够了解该儿童的数学思维发展水平，并决定采用何种教育引导策略。最后教师将进一步引导全班儿童对该儿童所采用的方法与策略进行讨论，如果出现疑问或分歧，则大家一起对该方法进行检验。在此过程中，教师不断根据自己掌握的有关儿童数学思维发展的知识对儿童的讨论结果进行引导、概括、总结与提升，并为其进一步讨论提供支持。
（二）CGI课堂通过实物操作或动作模拟、重现文字解决问题。
对于儿童来说不是所有的加法或减法问题都是一样的。不同类型的加法和减法问题之间的区别反映在学生解决问题的方式上。在CGI原则中，教师不直接教授算法，而是让儿童根据问题语义自行探索。如在《认知指导知识库》中提及的一例：
老师：TJ有13个巧克力饼干。他午饭时吃了5个饼干。TJ还剩多少块饼干？
Rachel：拿出13个计数，拿走5个，然后數计数器，还剩8个。
老师：好。 现在下一个：Jenelle收藏有7个怪物玩具，还要多少个怪物玩具，她就有11个怪物玩具？
Rachel：先拿出一套7个的计数器，并逐个添加计数器，直到有11个为止。然后数她刚刚添加的计数器数量，以此找到答案。 老师：太好了。这里还有一个问题。Willy有12支蜡笔，Lucy有7蜡笔。Willy比Lucy多多少支蜡笔？
Rachel：摆出两组计数器，一个有12个计数器和另一个有7个计数器。她将这两组计数器排成两行以使12组中的7个计数器与另一组的7个计数器一一匹配，并数出其中不匹配的计数器，一共是五个。
虽然Rachel对每个问题使用了不同的策略，但这些策略有一个共同的线索。在每种情况下，她通过描述问题中的动作或关系来建模。第一个问题涉及从13中删除5的操作，这就是Rachel对问题建模的方式。在第二个问题中，动作是累加的，Rachel计算了初始数量和添加对象的集合。第三个问题涉及两个量的比较，Rachel使用了一个比较两组数量的策略。
（三）CGI课堂根据不同问题类型使用不同的策略解决问题。
Carpenter等人发现教师可以确定加减问题类型之间的基本差异，但是他们难以识别问题之间的差异，和阐明他们在问题之间的区别的推理；教师似乎没有一个逻辑框架来分类问题。因此CGI研究者提供了一些框架，帮助教师了解问题类型，策略类型，以及操作和数字的发展轨迹。
二、CGI运用：现状、困境与展望
2000年以后，随着 “不让一个孩子掉队法案”在2001年的签署，要求所有的学生在学术上相当或高于平均水平，规定了关于高素质教师专业发展的要求，以及为均衡各州教育水平，美国在2010年推出的《共同核心州立标准》均为CGI项目对教师专业发展的培养和在美国小学数学课堂中的运用提供了依据。在认知导向指导（CGI）项目中，教师参与CGI专业发展的学生在问题解决评估中表现优于同龄人，连续几年在CGI课堂学习的学生得分高于CGI课堂学习1年或不在CGI课堂的同龄人。CGI课堂陆续在美国一些州的小学开展，并得到當地政府和领导的支持，研究学者也陆续针对教师的专业发展水平和CGI课堂的实施效果进行评估。
CGI课堂，符合儿童认知发展的特点，并在儿童思维发展的关键期提供一个让儿童自由思考建模解决问题的平台，有效地锻炼了儿童的思维。在很多方面上体现了它的种种好处。但是，在研究者对CGI教师的访谈中，也发现，CGI的一些弊端：例如接受CGI项目培训的美国教师普遍感到困难的是CGI的培训员只向他们介绍CGI原理，具体实施时却需要教师根据自己对班级学生的了解自行设计不同梯度的问题和课程作业，这对教师的专业发展要求高；另外，部分教师报告说教师可以使用的教室资源不足，而且他们没有时间创建支持CGI所需的教室材料；还有一些教师认为让学生自己探究算法太耗费时间，不如自己来教授标准算法给学生。
美国教育研究CGI项目多年，有不少成功的案例，并将CGI项目作为支持和配合2010年通过的《共同核心州立标准》的其中一项内容，推动着美国数学教育的发展。对于其他国家的教育或许有一定的参考价值。但CGI课堂的实施是在美国的教育背景下进行的，回顾中国的教育现实，在受到人口，学校教育资源等客观条件制约的情况下，无法实施小班教学的中国课堂，CGI是否能适应、运用和发挥作用还需进一步的深入探讨。
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[7]Carpenter T P， Fennema E， Franke M L， et al. Children's Mathematics： Cognitively Guided Instruction.[M]. Cognitive Processes， 1999. [8]Peterson P L， Carpenter T， Fennema E. Teachers' knowledge of students' knowledge in mathematics problem solving： Correlational and case analyses.[J]. Journal of Educational Psychology， 1989， 81（4）：558-569.
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[12]Carpenter T P， Fennema E， Franke M L. Cognitively Guided Instruction： A Knowledge Base for Reform in Primary Mathematics Instruction[J]. The Elementary School Journal， 1996， 97（Volume 97， Number 1）：3-20.
[13]Baek J M. Teaching Mathematics Based on Children's Cognition ： Introduction to Cognitively Guided Instruction in U.S.[J]. 2004， 14：421-434.
[14]Baek J M. Teaching Mathematics Based on Children's Cognition ： Introduction to Cognitively Guided Instruction in U.S.[J]. 2004， 14：421-434.
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