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摘 要：文章针对传统的求曲线上点的插值法和幂基法的不足之处，提出了借鉴Berstein基函数求曲线上点的几何算法，并研究了如何将该方法用迭代算法来书写。采用了matlab编程的方法求解了一条平面曲线上指定的点，结果发现该算法能够比较精确地求出曲线上的点，比用通常的幂基函数的方法更简单，且对舍入误差不敏感；更重要的是易在计算机上用matlab编程实现，且具有较强的几何风格；但是该算法的计算效率稍差。因此在对计算效率要求不是很高的情况下，可以考虑用该几何迭代算法来弥补传统的求曲线上点的方法的不足之处。
关键词：Bernstein基函数；升阶逼近；Bezier曲线；几何迭代算法
中图分类号：TP18
在自然科学的研究中，曲线的表示理论及其应用已经渗透到许多领域内，如解决数学物理方程、差分方程、几何造型等问题。工程设计中的某些临界值问题、造船工业、航空工业和汽车制造工业中经常遇到的几何外形设计问题等[1]都涉及到曲线曲面等的表示问题。曲线上点的求解是我们需要经常面对的重要问题，它的计算常用的方法有插值法和幂基法。其中，插值法是通过将要求的曲线表示为一系列插值基的线性组合的形式，主要的方法有Newton插值法、Hermite插值法等[2-3]；幂基法是直接对传统的基函数进行处理，通过变换，使之变为较容易求的原曲线对应新曲线的相应点，进而利用新曲线的对应点去求原曲线上所要求的点。然而，这几种方法都有如下几个方面的缺点[4-5]：
（1）用于形状设计时不够自然，系数只能传递很少的关于曲线形状的直观几何印象。而且设计者通常需要指定曲线两端的端点条件，而不仅仅是起点处的条件。
（2）处理幂基多项式的算法更多地具有代数风格而非几何风格。且更重要的是不能很有效地用计算机编程来求解。
本文在传统的曲线表示理论方法的基础上做出了一些改进，提出了几何迭代算法概念。该算法能够由曲线上给定的初始型值点，通过迭代的方法算出曲线上要求的任何一点。该方法的最大特点是较易在计算机上用matlab来实现且具有较强几何风格。
1 Bernstein基函数的定义及相关性质
2 Berstein曲线的定义和性质
3 曲線上点的几何迭代算法
5 结束语
通过matlab实例验算，发现该几何迭代算法能够比较精确地算出曲线上要求的点，与传统的幂基方法等比较而言，该方法几何意义更强。由于Bernstain基函数的凸包性和变差性，该方法更适合曲线的交互设计。设计者通过（Bezier曲线的）控制点可以比通过幂基形式中的系数更直观地控制曲线的形状。而且和传统算法相比，该算法对舍入误差不敏感。这在直观上是清楚的，因为可以认为该算法是反复地在两点之间做线性插值运算，所有这些点都位于曲线的附近。该方法的缺点是计算的效率稍差，如何能够有效地提高计算效率是需要进一步研究的问题。
参考文献：
[1]王仁宏，许志强.分片代数曲线Bezout数的估计[J].中国科学（A辑：数学），2003（02）：185-192.
[2]Liu H Y，Zhu C G，Li C Y.Constructing N-sided toric surface patches from boundary curves[J].Information and Compute.Sci.，2012（03）：737-743.
[3]Zhu C G，Wang R H. The correspondence between multivariate spline ideals and piecewise algebraic varieties[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2011（05）：793-800.
[4]李学军，黄文清.平面区域三角化的快速算法[J].计算机辅助几何设计与图形学学报，2003（02）：78-79.
[5]陈平.计算几何若干问题研究[D].浙江大学，2011.
作者简介：高灵霞（1978.12-），女，河北人，讲师，硕士，主要研究方向为人工智能、计算几何。
作者单位：重庆电子工程职业学院 计算机学院，重庆 401331
关键词：Bernstein基函数；升阶逼近；Bezier曲线；几何迭代算法
中图分类号：TP18
在自然科学的研究中，曲线的表示理论及其应用已经渗透到许多领域内，如解决数学物理方程、差分方程、几何造型等问题。工程设计中的某些临界值问题、造船工业、航空工业和汽车制造工业中经常遇到的几何外形设计问题等[1]都涉及到曲线曲面等的表示问题。曲线上点的求解是我们需要经常面对的重要问题，它的计算常用的方法有插值法和幂基法。其中，插值法是通过将要求的曲线表示为一系列插值基的线性组合的形式，主要的方法有Newton插值法、Hermite插值法等[2-3]；幂基法是直接对传统的基函数进行处理，通过变换，使之变为较容易求的原曲线对应新曲线的相应点，进而利用新曲线的对应点去求原曲线上所要求的点。然而，这几种方法都有如下几个方面的缺点[4-5]：
（1）用于形状设计时不够自然，系数只能传递很少的关于曲线形状的直观几何印象。而且设计者通常需要指定曲线两端的端点条件，而不仅仅是起点处的条件。
（2）处理幂基多项式的算法更多地具有代数风格而非几何风格。且更重要的是不能很有效地用计算机编程来求解。
本文在传统的曲线表示理论方法的基础上做出了一些改进，提出了几何迭代算法概念。该算法能够由曲线上给定的初始型值点，通过迭代的方法算出曲线上要求的任何一点。该方法的最大特点是较易在计算机上用matlab来实现且具有较强几何风格。
1 Bernstein基函数的定义及相关性质
2 Berstein曲线的定义和性质
3 曲線上点的几何迭代算法
5 结束语
通过matlab实例验算，发现该几何迭代算法能够比较精确地算出曲线上要求的点，与传统的幂基方法等比较而言，该方法几何意义更强。由于Bernstain基函数的凸包性和变差性，该方法更适合曲线的交互设计。设计者通过（Bezier曲线的）控制点可以比通过幂基形式中的系数更直观地控制曲线的形状。而且和传统算法相比，该算法对舍入误差不敏感。这在直观上是清楚的，因为可以认为该算法是反复地在两点之间做线性插值运算，所有这些点都位于曲线的附近。该方法的缺点是计算的效率稍差，如何能够有效地提高计算效率是需要进一步研究的问题。
参考文献：
[1]王仁宏，许志强.分片代数曲线Bezout数的估计[J].中国科学（A辑：数学），2003（02）：185-192.
[2]Liu H Y，Zhu C G，Li C Y.Constructing N-sided toric surface patches from boundary curves[J].Information and Compute.Sci.，2012（03）：737-743.
[3]Zhu C G，Wang R H. The correspondence between multivariate spline ideals and piecewise algebraic varieties[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2011（05）：793-800.
[4]李学军，黄文清.平面区域三角化的快速算法[J].计算机辅助几何设计与图形学学报，2003（02）：78-79.
[5]陈平.计算几何若干问题研究[D].浙江大学，2011.
作者简介：高灵霞（1978.12-），女，河北人，讲师，硕士，主要研究方向为人工智能、计算几何。
作者单位：重庆电子工程职业学院 计算机学院，重庆 401331