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【摘要】三角函数是数学中极为重要的函数概念，它和其它数学知识有着密切的联系，且在学习和研究其他数学知识时有着广泛的应用，因此，掌握三角函数知识对学好数学有着重要作用。在三角函数的学习中，三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，其解题方法根据题目具体情形的不同，通常有不同的解题方法，讲求灵活善变，探讨和归纳三角函数最值的解题方法对学好三角函数知识是有意义的。
【关键词】最值；有界性；二次函数；判别式 ；换元法
函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质和约束关系的一种描述。最值是一个整体概念，三角函数的最值问题是把角的变化与函数值的变化紧密联系起来，我们知道由于角的变化与相应函数值的相依关系，可以利用函数思想来解决三角函数的最值问题。其方法与求三角函数值域的方法类似。一般先通过三角恒等变换，使目标函数变量相同，函数名称相同，然后利用基本函数的值域，求得原函数的最大值与最小值。在实际操作过程中，要注意换元法的应用并注意函数定义域的限制。解三角函数最值问题要用到许多数学方法，下面介绍一些常见的解法。
一、利用三角的有界性
对可化为形如y=asin x b或y=acos x b，y=Asin（ωx θ） K或y=Acos（ωx θ） K，
等基本三角函数形式的三角函数，可根据sin x，cos x的有界性，求得函数的最值。
例1.求函数y=2cos2x 2sinxcos x的最值。
解：y=2cos2x 2sin xcos x
=2cos2x-1 1 sin 2x
=cos 2x 1 sin 2x
当时 ， ；
当时， 。
二、利用二次函数的性质
化为y=a sin2x b sin x c或y=a cos2 x
bcos x c后，看成是关于sin x或cos x的二次函数，配方变为y=a（sin x m）2 K或y=a（cos x m）2 K，运用二次函数的性质求得最值，但必须要注意和。
例2.求的最值。
解：
要使函数有意义，必须
，
即。
于是，当时，；
当cos x=1时，ymin=0。
例3.求函数y=cos22x-3cos2x 1的最值。
解：y=cos2 2x-3cos2x 1
当cos 2x=-1时，；
当cos 2x=1时，。
三、利用判别式
对于所要解决的问题，如果能经过适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值。
例4.求函数的最值。
解：
即y（cot x-cot2 x-2）=cot x-2
ycot2 x （1-y）cot x 2（y-1）=0
当y≠0时，cot x∈R，由判别式Δ≥0得
（1-y）2-8y（y-1） ≥0，
即7y2-6y-1≤0。
解得 。
因此ymax=1， 。
例5.求函数的最值。
解：
即y（cot2 x-cot x 2）=cot x 1
ycot2 x-（y 1）cot x 2y-1=0。
当y≠0时，由判别式Δ≥0得
（y 1）2-4y（2y-1）≥0，
即7y2-6y-1≤0，
解得.
（Ⅰ）当y=1时，cos 1=cos2 x-cos x 2
即cos2 x-2cos x 1=0 ，求得cos x=1 。
（Ⅱ）当时
即cos2 x 6cos x 9=0 求得cos x=-3（不合题意）
因此，重新考虑y的最小值。
在中，
分母
因此 分子cos x 1=0 时 ymin=0；
而ymax=1。
注意：在例5中利用判别式Δ≥0，求出y的范围后，由于，须将y代入原来的函数进行检验，才能判定它的最值的合理性。这与例4不一样，由于cot x∈R，无须检验。
四、利用基本不等式
利用基本不等式（当且仅当a=b=c时取等号，其中a，b，c∈R ），求最值，要考虑三个条件：（1）各项都是正值；（2）各项之和（或积）为定值，（3）等号能够成立。此方法是将所求函数转化为利用基本不等式来求解的结构式.主要是运用均值定理来求解最值，需要注意的是取“=”的条件能否满足.因此，转化时可能会需要进行合理的拆、添项、凑常数等操作，有时还会用到sin2 x cos2 x=1和等tan xcot s=1恒等关系式，一般视情况而定。
例6.若，求函数的最大值。
解：
=
即 。
当且仅当 时（即）取等号。
因此，，故 。
五、 利用换元法
sin x cos x （或sin x-cos x）與sin xcos x同时出现，令sin x cos x=t（sin x-cos x=t），则（或），原式可化为只含t的有理式。
例7.求函数y=sin xcos x-sin x-cos x的最值。
解：令t=sin x cos x，则，
t2=（sin x cos x）2=1 2sin xcos x。
。
函数
=。
因此 当t=1时 ymin=-1；
当时 。
六、数形结合法
由于sin2 x cos2 x=1，所以从图形考虑，点（cos x，sin x）在单位圆上，这样对这一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。
例8.求函数的最小值。
分析：将表达式改写成的形式，可使我们联想到斜率公式，因而函数可看成连接点A（2，0）与点B（cos x，sin x）的直线的斜率。由于点 的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求 的最小值就是在这个上半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。因此，过点A与点B的直线与单位圆相切（如图所示）时，y取得最小值。
（此时）。
三解函数的最值问题，涉及的数学知识也比较广，有一定的综合性和灵活性，解答方法颇多，以上介绍若干方法仅供参考。解题时应该采用哪种方法，则须根据题目所给出的具体条件而定，灵活变通，灵活运用。
参考文献：
[1]白宇.谈求解三角函数的最值的策略[J].学苑教育，2013（04）.
[2]杨杙.两类三角函数的最值问题[J].数学之友，2012（02）.
【关键词】最值；有界性；二次函数；判别式 ；换元法
函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质和约束关系的一种描述。最值是一个整体概念，三角函数的最值问题是把角的变化与函数值的变化紧密联系起来，我们知道由于角的变化与相应函数值的相依关系，可以利用函数思想来解决三角函数的最值问题。其方法与求三角函数值域的方法类似。一般先通过三角恒等变换，使目标函数变量相同，函数名称相同，然后利用基本函数的值域，求得原函数的最大值与最小值。在实际操作过程中，要注意换元法的应用并注意函数定义域的限制。解三角函数最值问题要用到许多数学方法，下面介绍一些常见的解法。
一、利用三角的有界性
对可化为形如y=asin x b或y=acos x b，y=Asin（ωx θ） K或y=Acos（ωx θ） K，
等基本三角函数形式的三角函数，可根据sin x，cos x的有界性，求得函数的最值。
例1.求函数y=2cos2x 2sinxcos x的最值。
解：y=2cos2x 2sin xcos x
=2cos2x-1 1 sin 2x
=cos 2x 1 sin 2x
当时 ， ；
当时， 。
二、利用二次函数的性质
化为y=a sin2x b sin x c或y=a cos2 x
bcos x c后，看成是关于sin x或cos x的二次函数，配方变为y=a（sin x m）2 K或y=a（cos x m）2 K，运用二次函数的性质求得最值，但必须要注意和。
例2.求的最值。
解：
要使函数有意义，必须
，
即。
于是，当时，；
当cos x=1时，ymin=0。
例3.求函数y=cos22x-3cos2x 1的最值。
解：y=cos2 2x-3cos2x 1
当cos 2x=-1时，；
当cos 2x=1时，。
三、利用判别式
对于所要解决的问题，如果能经过适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值。
例4.求函数的最值。
解：
即y（cot x-cot2 x-2）=cot x-2
ycot2 x （1-y）cot x 2（y-1）=0
当y≠0时，cot x∈R，由判别式Δ≥0得
（1-y）2-8y（y-1） ≥0，
即7y2-6y-1≤0。
解得 。
因此ymax=1， 。
例5.求函数的最值。
解：
即y（cot2 x-cot x 2）=cot x 1
ycot2 x-（y 1）cot x 2y-1=0。
当y≠0时，由判别式Δ≥0得
（y 1）2-4y（2y-1）≥0，
即7y2-6y-1≤0，
解得.
（Ⅰ）当y=1时，cos 1=cos2 x-cos x 2
即cos2 x-2cos x 1=0 ，求得cos x=1 。
（Ⅱ）当时
即cos2 x 6cos x 9=0 求得cos x=-3（不合题意）
因此，重新考虑y的最小值。
在中，
分母
因此 分子cos x 1=0 时 ymin=0；
而ymax=1。
注意：在例5中利用判别式Δ≥0，求出y的范围后，由于，须将y代入原来的函数进行检验，才能判定它的最值的合理性。这与例4不一样，由于cot x∈R，无须检验。
四、利用基本不等式
利用基本不等式（当且仅当a=b=c时取等号，其中a，b，c∈R ），求最值，要考虑三个条件：（1）各项都是正值；（2）各项之和（或积）为定值，（3）等号能够成立。此方法是将所求函数转化为利用基本不等式来求解的结构式.主要是运用均值定理来求解最值，需要注意的是取“=”的条件能否满足.因此，转化时可能会需要进行合理的拆、添项、凑常数等操作，有时还会用到sin2 x cos2 x=1和等tan xcot s=1恒等关系式，一般视情况而定。
例6.若，求函数的最大值。
解：
=
即 。
当且仅当 时（即）取等号。
因此，，故 。
五、 利用换元法
sin x cos x （或sin x-cos x）與sin xcos x同时出现，令sin x cos x=t（sin x-cos x=t），则（或），原式可化为只含t的有理式。
例7.求函数y=sin xcos x-sin x-cos x的最值。
解：令t=sin x cos x，则，
t2=（sin x cos x）2=1 2sin xcos x。
。
函数
=。
因此 当t=1时 ymin=-1；
当时 。
六、数形结合法
由于sin2 x cos2 x=1，所以从图形考虑，点（cos x，sin x）在单位圆上，这样对这一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。
例8.求函数的最小值。
分析：将表达式改写成的形式，可使我们联想到斜率公式，因而函数可看成连接点A（2，0）与点B（cos x，sin x）的直线的斜率。由于点 的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求 的最小值就是在这个上半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。因此，过点A与点B的直线与单位圆相切（如图所示）时，y取得最小值。
（此时）。
三解函数的最值问题，涉及的数学知识也比较广，有一定的综合性和灵活性，解答方法颇多，以上介绍若干方法仅供参考。解题时应该采用哪种方法，则须根据题目所给出的具体条件而定，灵活变通，灵活运用。
参考文献：
[1]白宇.谈求解三角函数的最值的策略[J].学苑教育，2013（04）.
[2]杨杙.两类三角函数的最值问题[J].数学之友，2012（02）.