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数列求和是数列部分的必考知识点之一,随着近几年数列题在高考试题中的地位逐步前移,考查的难度也逐步降低,以等差数列与等比数列这两个基本模型的综合运算为命题的重点,多与数列求和相结合。本文主要介绍裂项相消法求数列的前n项和。裂项相消法求和的关键一步是裂项,常用的裂项公式有:
(1)1n(n+1)=1n-1n+1;
(2)1n(n+2)=121n-1n+2;
(3)1(2n+1)(2n-1)=
1212n-1-12n+1;
(4)1n+n+1=n+1-n;
(5)1n(n+1)(n+2)=
121n(n+1)-1(n+1)(n+2)。
例1已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,数列{an}的前n项和为Sn。
(1)求an和Sn;
(2)令bn=1a2n+4n-1(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn。
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由a3=7,a5+a7=26,
得:
a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2。
所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1。
Sn=na1+n(n-1)2d=3n+n(n-1)2×2=n2+2n。
(2)由(1)知an=2n+1。
故bn=1a2n+4n-1=14(n2+2n)=181n-1n+2。
所以Tn=b1+b2+…+bn
=181-13+12-14+13-15+ …+1n-1-1n+1+1n-1n+2
=181+12-1n+1-1n+2
=3n2+5n16n2+48n+32。
点评:本题重点考查裂项相消法求数列的前n项和。裂项求和时若不能相邻项相消,则需在和式的首末多写几项,以便找出相消的规律。
例2已知数列{an}的通项公式为an=1cosn·cos(n+1)(n∈N+),求其前n项和Sn。
解:an=1cosn·cos(n+1)
=sin1sin1·cosn·cos(n+1)
=sin[(n+1)-n]sin1·cosn·cos(n+1)
=sin(n+1)·cosn-cos(n+1)·sinnsin1·cosn·cos(n+1)
=tan(n+1)-tannsin1。
所以Sn=1sin1[(tan2-tan1)+(tan3-tan2)+…+(tan(n+1)-tann)]
=tan(n+1)-tan1sin1。
點评:本题的难点在于裂项。本题中数列{an}的通项公式为an=1cosn·cos(n+1),其形式是裂项的形式,但其裂项的方法却要构造两角差的正弦,难度较大。
总之,裂项相消法求数列的前n项和是高考考查的重点知识,我们必须熟练掌握,而这类题解答的关键又在裂项,所以我们还应该熟悉常见的裂项公式及一些基本功的裂项技巧。
作者单位:安徽省萧县中学
(1)1n(n+1)=1n-1n+1;
(2)1n(n+2)=121n-1n+2;
(3)1(2n+1)(2n-1)=
1212n-1-12n+1;
(4)1n+n+1=n+1-n;
(5)1n(n+1)(n+2)=
121n(n+1)-1(n+1)(n+2)。
例1已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,数列{an}的前n项和为Sn。
(1)求an和Sn;
(2)令bn=1a2n+4n-1(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn。
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由a3=7,a5+a7=26,
得:
a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2。
所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1。
Sn=na1+n(n-1)2d=3n+n(n-1)2×2=n2+2n。
(2)由(1)知an=2n+1。
故bn=1a2n+4n-1=14(n2+2n)=181n-1n+2。
所以Tn=b1+b2+…+bn
=181-13+12-14+13-15+ …+1n-1-1n+1+1n-1n+2
=181+12-1n+1-1n+2
=3n2+5n16n2+48n+32。
点评:本题重点考查裂项相消法求数列的前n项和。裂项求和时若不能相邻项相消,则需在和式的首末多写几项,以便找出相消的规律。
例2已知数列{an}的通项公式为an=1cosn·cos(n+1)(n∈N+),求其前n项和Sn。
解:an=1cosn·cos(n+1)
=sin1sin1·cosn·cos(n+1)
=sin[(n+1)-n]sin1·cosn·cos(n+1)
=sin(n+1)·cosn-cos(n+1)·sinnsin1·cosn·cos(n+1)
=tan(n+1)-tannsin1。
所以Sn=1sin1[(tan2-tan1)+(tan3-tan2)+…+(tan(n+1)-tann)]
=tan(n+1)-tan1sin1。
點评:本题的难点在于裂项。本题中数列{an}的通项公式为an=1cosn·cos(n+1),其形式是裂项的形式,但其裂项的方法却要构造两角差的正弦,难度较大。
总之,裂项相消法求数列的前n项和是高考考查的重点知识,我们必须熟练掌握,而这类题解答的关键又在裂项,所以我们还应该熟悉常见的裂项公式及一些基本功的裂项技巧。
作者单位:安徽省萧县中学