数列求和是数列部分的必考知识点之一，随着近几年数列题在高考试题中的地位逐步前移，考查的难度也逐步降低，以等差数列与等比数列这两个基本模型的综合运算为命题的重点，多与数列求和相结合。本文主要介绍裂项相消法求数列的前n项和。裂项相消法求和的关键一步是裂项，常用的裂项公式有：
　　（1）1n（n+1）=1n-1n+1；
　　（2）1n（n+2）=121n-1n+2；
　　（3）1（2n+1）（2n-1）=
　　1212n-1-12n+1；
　　（4）1n+n+1=n+1-n；
　　（5）1n（n+1）（n+2）=
　　121n（n+1）-1（n+1）（n+2）。
　　例1已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和为Sn。
　　（1）求an和Sn；
　　（2）令bn=1a2n+4n-1（n∈N+），求数列{bn}的前n项和Tn。
　　解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
　　由a3=7，a5+a7=26，
　　得：
　　a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2。
　　所以an=a1+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1。
　　Sn=na1+n（n-1）2d=3n+n（n-1）2×2=n2+2n。
　　（2）由（1）知an=2n+1。
　　故bn=1a2n+4n-1=14（n2+2n）=181n-1n+2。
　　所以Tn=b1+b2+…+bn
　　=181-13+12-14+13-15+ …+1n-1-1n+1+1n-1n+2
　　=181+12-1n+1-1n+2
　　=3n2+5n16n2+48n+32。
　　点评：本题重点考查裂项相消法求数列的前n项和。裂项求和时若不能相邻项相消，则需在和式的首末多写几项，以便找出相消的规律。
　　例2已知数列{an}的通项公式为an=1cosn·cos（n+1）（n∈N+），求其前n项和Sn。
　　解：an=1cosn·cos（n+1）
　　=sin1sin1·cosn·cos（n+1）
　　=sin[（n+1）-n]sin1·cosn·cos（n+1）
　　=sin（n+1）·cosn-cos（n+1）·sinnsin1·cosn·cos（n+1）
　　=tan（n+1）-tannsin1。
　　所以Sn=1sin1[（tan2-tan1）+（tan3-tan2）+…+（tan（n+1）-tann）]
　　=tan（n+1）-tan1sin1。
　　點评：本题的难点在于裂项。本题中数列{an}的通项公式为an=1cosn·cos（n+1），其形式是裂项的形式，但其裂项的方法却要构造两角差的正弦，难度较大。
　　总之，裂项相消法求数列的前n项和是高考考查的重点知识，我们必须熟练掌握，而这类题解答的关键又在裂项，所以我们还应该熟悉常见的裂项公式及一些基本功的裂项技巧。
　　作者单位：安徽省萧县中学