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设△ABC的外接圆半径与内切圆半径及半周长分别为R,r,s,则有不等式:
s4-2(2R2+10Rr-r2)s2+r(4R+r)3≤0,(1)
等号当且仅当△ABC为等腰三角形时成立.
不等式(1)被称为三角形的基本不等式[1], 大量的涉及三角形常见几何元素的不等式可以用不等式(1)与它的一些推论以及Euler不等式R≥2r来证明, 这种方法称为“R-r-s方法”. 对于非钝角三角形,我们还有以下重要的Ciamberlini不等式[2]:
s≥2R+r,(2)
(等号当且仅当△ABC为等腰直角三角形时成立)以及Walker不等式[1]:
s2≥2R2+8Rr+3r2,(3)
等号当且仅当△ABC为正三角形或等腰直角三角形时成立.
基本不等式(1)与Ciamberlini不等式(2)的证明都不困难, 可分别由下面的恒等式得出(设三角形的三个边长为a,b,c,下同此):
(b-c)2(c-a)2(a-b)2
=-4r2[s4-2(2R2+10Rr-r2)s2+r(4R+r)3], (4)
4R2cosAcosBcosC=s2-(2R+r)2.(5)
1996年, 杨学枝[3]获得了一个含参数的非钝角三角形不等式(它显然推广了Walker不等式):
s2≥2(1+μ)R2+2[4-(3+μ)]Rr
+[3+4(1+)μ]r2,(6)
其中-1≤μ≤1. 陈胜利[4]在差不多相同的时间内得出了类似的结果. 本文中, 我们给出一个新的有关非钝角三角形几何元素R,r,s的不等式:
定理 在非钝角△ABC中有
s2≥16Rr-3r2-.(7)
等号当且仅当△ABC为正三角形或等腰直角三角形时成立.
不等式(7)与Walker不等式(3)是不分强弱的. 事实上,容易证明它与不等式(6)中的任意一个都不分强弱. 下面, 我们给出定理两种不同的证明.
证法一 将R,r之间出现的两种情形进行讨论.
情形一:R与r满足R≥(+1)r.
根据Ciamberlini不等式只要证:
(2R+r)2≥16Rr-3r2-,(8)
即 [R+(-1)r][R-(+1)r]≥0.
由假设条件即知上式成立(其中等号仅当R=(+1)r时成立), 于是此时不等式(7)获证. 显然(8)式中等号显然仅当R=(+1)r时成立, 据此及(2)式等号成立的条件,同时注意到△ABC为等腰直角三角形时有R=(+1)r, 就知在情形一下(7)式中等号仅当△ABC为等腰直角三角形时成立.
情形二:R与r满足R<(+1)r,.
根据基本不等式(1)易得有关任意三角形的不等式:
s2≥2R2+10Rr-r2-2(R-2r),(9)
因此, 要证不等式(7)只要证:
2R2+10Rr-r2-2(R-2r)
-(16Rr-3r2-)≥0,
这等价于
(R-2r)(R2-Rr-r2)-R(R-2r)≥0.
由任意三角形的Euler不等式R≥2r,易知R2-Rr-r2>0, 因此, 要证上式只要证:
(R-2r)2[(R2-Rr-r2)2-R2(R2-2Rr)]≥0,
即r2(r2+2Rr-R2)(R-2r)2≥0. (10)
由假设条件有
r2+2Rr-R2=[(+1)r-R][(-1)r+R]>0, 于是知上式成立. 因此在情形二下不等式(7)得证.由(10)以及(1)式等号成立的条件知(7)式在情形二下等号当且仅当R=2r且△ABC为等腰三角形时成立, 即△ABC为正三角形时成立.
综合以上两种情形的讨论, 即知不等式(7)对任意非钝角三角形成立, 且其等号成立条件如定理中所述. 定理证毕.
下面, 我们用“差分代换”的方法[5]给出第二种证明.
证法二 在不等式(7)两边乘上s, 注意到恒等式:
abc=4Rrs,(11)
(s-a)(s-b)(s-c)=sr2, (12)
=, (13)
即知(7)式等价于有关边长的不等式:
abcs3+3abc(s-a)(s-b)(s-c)+
16(s-a)2(s-b)2(s-c)2-4(abc)2≥0.(14)
再令, s-a=x,s-b=y,s-c=z,从而
a=y+z,b=z+x,c=x+y,s=x+y+z(x,y,z>0),不等式(14)式化为
(y+z)(z+x)(x+y)(x+y+z)3+3(y+z)(z+x)(x+y)
xyz+16x2y2z2-4(y+z)2(z+x)2(x+y)2≥0.(15)
因△ABC为非钝角三角形, 所以(15)式中满足条件:
(z+x)2+(x+y)2≥(y+z)2,(x+y)2+(y+z)2≥(z+x)2(y+z)2+(z+x)2≥(x+y)2.,(16)
由于对称性, 为证不等式(15)不妨设x≥y≥z, 从而可令(进行差分代换):
y=z+m, (m≥0),x=z+m+n,(n≥0).(17)
代入不等式组(16)的最后一式, 简化后可得
2z2-m2-mn≥0.(18)
又以(17)代入(15), 我们只需证:
(2z+m)(2z+m+n)(2z+2m+n)(3z+2m+n)3
+3(2z+m)(2z+m+n)(2z+2m+n)(z+m+n)(z+m)z+
16(z+m+n)2(z+m)2z2-4(2z+m)2(2z+m+n)2(2z+2m+n)2≥0.(19)
记上式左边的值为Q, 则可验证恒等式:
Q=(2z2-m2-mn)[8(m2+mn+n2)z2+4(2m+n)·
(m2+mn+6n2)z+20n2(2m+n)2]+4n2(2m+n)(17m2+
17mn+2n2)z+24mn2(n+m)(2m+n)2.(20)
因m≥0,n≥0,2z2-m2-mn≥0,于是可见Q≥0, 从而不等式(7)获证.
由于n≥0, 由(20)式进而有
Q≥(2z2-m2-mn)(8m2z2+8m3z)≥0,
其中第一个等号仅当n=0时成立,第二个等号仅当m=0或2z2-m2-mn=0时成立. 因此不等式Q≥0中等号只在m=n=0与n=0,2z2-m2-mn=0时成立,进而易知(7)中等号仅当△ABC为正三角形或等腰直角三角形时成立. 定理证毕.
以上对定理给出的两种证法一般都适于证明型如:s≥f(R,r). (21)
的非钝角三角形不等式. 证法一需用到基本不等式(1)与Ciamberlini不等式(2), 计算量较小. 证法二较为直接了当,但计算量较大.
参考文献:
[1] D. S. Mitrinovi, J. E. Peari and V. Volenec, Recent Advances in Geometric Inequalities[M]. Dordrecht:Kluwer Academic Publishers, 1989.
[2] O.Bottema. 几何不等式 [M]. 单,译. 北京:北京大学出版社, 1991:123.
[3] 杨学枝. 一个非钝角三角形不等式[J]. 中学数学,1996(4).
[4] 单. 几何不等式在中国[M]. 南京:江苏教育出版社, 1996.
[5] Yu-Dong Wu, Zhi-Hua Zhang and Yu-RuiZhang, Proving inequalities in acute triangle with difference substitution, J.Ineq.Pure Appl.Math.,8(3)(2007),Art.81,10pp.
s4-2(2R2+10Rr-r2)s2+r(4R+r)3≤0,(1)
等号当且仅当△ABC为等腰三角形时成立.
不等式(1)被称为三角形的基本不等式[1], 大量的涉及三角形常见几何元素的不等式可以用不等式(1)与它的一些推论以及Euler不等式R≥2r来证明, 这种方法称为“R-r-s方法”. 对于非钝角三角形,我们还有以下重要的Ciamberlini不等式[2]:
s≥2R+r,(2)
(等号当且仅当△ABC为等腰直角三角形时成立)以及Walker不等式[1]:
s2≥2R2+8Rr+3r2,(3)
等号当且仅当△ABC为正三角形或等腰直角三角形时成立.
基本不等式(1)与Ciamberlini不等式(2)的证明都不困难, 可分别由下面的恒等式得出(设三角形的三个边长为a,b,c,下同此):
(b-c)2(c-a)2(a-b)2
=-4r2[s4-2(2R2+10Rr-r2)s2+r(4R+r)3], (4)
4R2cosAcosBcosC=s2-(2R+r)2.(5)
1996年, 杨学枝[3]获得了一个含参数的非钝角三角形不等式(它显然推广了Walker不等式):
s2≥2(1+μ)R2+2[4-(3+μ)]Rr
+[3+4(1+)μ]r2,(6)
其中-1≤μ≤1. 陈胜利[4]在差不多相同的时间内得出了类似的结果. 本文中, 我们给出一个新的有关非钝角三角形几何元素R,r,s的不等式:
定理 在非钝角△ABC中有
s2≥16Rr-3r2-.(7)
等号当且仅当△ABC为正三角形或等腰直角三角形时成立.
不等式(7)与Walker不等式(3)是不分强弱的. 事实上,容易证明它与不等式(6)中的任意一个都不分强弱. 下面, 我们给出定理两种不同的证明.
证法一 将R,r之间出现的两种情形进行讨论.
情形一:R与r满足R≥(+1)r.
根据Ciamberlini不等式只要证:
(2R+r)2≥16Rr-3r2-,(8)
即 [R+(-1)r][R-(+1)r]≥0.
由假设条件即知上式成立(其中等号仅当R=(+1)r时成立), 于是此时不等式(7)获证. 显然(8)式中等号显然仅当R=(+1)r时成立, 据此及(2)式等号成立的条件,同时注意到△ABC为等腰直角三角形时有R=(+1)r, 就知在情形一下(7)式中等号仅当△ABC为等腰直角三角形时成立.
情形二:R与r满足R<(+1)r,.
根据基本不等式(1)易得有关任意三角形的不等式:
s2≥2R2+10Rr-r2-2(R-2r),(9)
因此, 要证不等式(7)只要证:
2R2+10Rr-r2-2(R-2r)
-(16Rr-3r2-)≥0,
这等价于
(R-2r)(R2-Rr-r2)-R(R-2r)≥0.
由任意三角形的Euler不等式R≥2r,易知R2-Rr-r2>0, 因此, 要证上式只要证:
(R-2r)2[(R2-Rr-r2)2-R2(R2-2Rr)]≥0,
即r2(r2+2Rr-R2)(R-2r)2≥0. (10)
由假设条件有
r2+2Rr-R2=[(+1)r-R][(-1)r+R]>0, 于是知上式成立. 因此在情形二下不等式(7)得证.由(10)以及(1)式等号成立的条件知(7)式在情形二下等号当且仅当R=2r且△ABC为等腰三角形时成立, 即△ABC为正三角形时成立.
综合以上两种情形的讨论, 即知不等式(7)对任意非钝角三角形成立, 且其等号成立条件如定理中所述. 定理证毕.
下面, 我们用“差分代换”的方法[5]给出第二种证明.
证法二 在不等式(7)两边乘上s, 注意到恒等式:
abc=4Rrs,(11)
(s-a)(s-b)(s-c)=sr2, (12)
=, (13)
即知(7)式等价于有关边长的不等式:
abcs3+3abc(s-a)(s-b)(s-c)+
16(s-a)2(s-b)2(s-c)2-4(abc)2≥0.(14)
再令, s-a=x,s-b=y,s-c=z,从而
a=y+z,b=z+x,c=x+y,s=x+y+z(x,y,z>0),不等式(14)式化为
(y+z)(z+x)(x+y)(x+y+z)3+3(y+z)(z+x)(x+y)
xyz+16x2y2z2-4(y+z)2(z+x)2(x+y)2≥0.(15)
因△ABC为非钝角三角形, 所以(15)式中满足条件:
(z+x)2+(x+y)2≥(y+z)2,(x+y)2+(y+z)2≥(z+x)2(y+z)2+(z+x)2≥(x+y)2.,(16)
由于对称性, 为证不等式(15)不妨设x≥y≥z, 从而可令(进行差分代换):
y=z+m, (m≥0),x=z+m+n,(n≥0).(17)
代入不等式组(16)的最后一式, 简化后可得
2z2-m2-mn≥0.(18)
又以(17)代入(15), 我们只需证:
(2z+m)(2z+m+n)(2z+2m+n)(3z+2m+n)3
+3(2z+m)(2z+m+n)(2z+2m+n)(z+m+n)(z+m)z+
16(z+m+n)2(z+m)2z2-4(2z+m)2(2z+m+n)2(2z+2m+n)2≥0.(19)
记上式左边的值为Q, 则可验证恒等式:
Q=(2z2-m2-mn)[8(m2+mn+n2)z2+4(2m+n)·
(m2+mn+6n2)z+20n2(2m+n)2]+4n2(2m+n)(17m2+
17mn+2n2)z+24mn2(n+m)(2m+n)2.(20)
因m≥0,n≥0,2z2-m2-mn≥0,于是可见Q≥0, 从而不等式(7)获证.
由于n≥0, 由(20)式进而有
Q≥(2z2-m2-mn)(8m2z2+8m3z)≥0,
其中第一个等号仅当n=0时成立,第二个等号仅当m=0或2z2-m2-mn=0时成立. 因此不等式Q≥0中等号只在m=n=0与n=0,2z2-m2-mn=0时成立,进而易知(7)中等号仅当△ABC为正三角形或等腰直角三角形时成立. 定理证毕.
以上对定理给出的两种证法一般都适于证明型如:s≥f(R,r). (21)
的非钝角三角形不等式. 证法一需用到基本不等式(1)与Ciamberlini不等式(2), 计算量较小. 证法二较为直接了当,但计算量较大.
参考文献:
[1] D. S. Mitrinovi, J. E. Peari and V. Volenec, Recent Advances in Geometric Inequalities[M]. Dordrecht:Kluwer Academic Publishers, 1989.
[2] O.Bottema. 几何不等式 [M]. 单,译. 北京:北京大学出版社, 1991:123.
[3] 杨学枝. 一个非钝角三角形不等式[J]. 中学数学,1996(4).
[4] 单. 几何不等式在中国[M]. 南京:江苏教育出版社, 1996.
[5] Yu-Dong Wu, Zhi-Hua Zhang and Yu-RuiZhang, Proving inequalities in acute triangle with difference substitution, J.Ineq.Pure Appl.Math.,8(3)(2007),Art.81,10pp.