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从算术数发展到有理数,又从有理数发展到用字母表示的代数式,是初中代数从简单到复杂、从具体到抽象的两次质的飞跃,也是初中学生学习代数的两大难关。教学时,老师怎样引导学生突破这两大难关呢?
1 突破由算术数到有理数的难关
初一学生接触负数,就产生有理数玄妙、易混、难算的感觉。这些感觉,是代数入门的障碍,教学时,教师应采用以下有效措施消除这些障碍。
1.1 用事实消除玄妙之感。只知道算术的学生一听到负数,就觉得神秘莫测,抽象玄妙,进而会想什么是负数?有没有负数?为什么要学习负数?教师应充分利用学生这种强烈求知欲,引导他们从一些既具体又熟悉的具有相反意义的量去找答案。通过收入与支出,前进与后退,零上温度与零下温度等事实,来说明正数与负数的意义、存在性、必要性,进而说明有理数与算术数具有整体与部分的包含关系。温度计的研究,不但形象直观地说明了正负的意义,还为进一步的学习数轴打好了基础。
1.2 用对比消除易混之感。学习有理数,最容易混淆的是符号“+”“-”的意义和用法。教师应通过恰当的例子,采用对比的方法,讲清两个符号在什么情况下是性质符号,在什么情况下是运算符号,在什么情况下既可视为性质符号又可视为运算符号,在什么情况下“+”号可以省略。两个符号的意义、作用、用法、存在条件都讲清以后,就加强综合对比训练。比如叫学生回答:-2、-4、-(+3)+(-4)、-3-(+4)、3-4、-3+4、-3(4-5)中的“+”号与“-”号,哪些只是性质符号?哪些只是运算符号?哪些既可视为性质符号又可视为运算符号?什么地方省略了“+”号?3-4与-3+4在算术中成立吗?为什么?经过多次对比讲解和对比训练,混淆之感就会消除。
1.3 用法则消除运算的困难感。有理数的运算,既要以算术数的运算为基础,又受算术数的运算的定势思维的干扰。只有紧扣有理数的运算法则,才能排除这定势思维的干扰。由于有理数由绝对值和性质符号构成,所以有理数的每种运算法则,都有两个不可或缺的要点:如何取正负号,怎样算绝对值。每做一次有理数的运算,都必须考虑相应法则中的这两个要点。尽管(-3)(-4)=l2之类的结果没有正负号,但还考虑了“两个要点”,得到+12后,才省略正号得到12的,绝非可以不考虑符号。
总之,以熟喻生,加强对比,讲清概念,紧扣法则,强化训练,是由算术数顺利过渡到有理数的根本途径。
2 突破由有理数到字母代数式的难关
要突破由有理数到用字母表示的代数式这一难关,需要注意的问题很多,这里不全面阐述,只着重谈几个很关键而又较难的问题。
2.1 正确掌握用字母表示的数:从已知事实出发,叫学生回顾用字母表示的运算定律、几何公式,从而提出用字母表示数这种数学手段,进而逐步引导学生总结用字母表示数的各种特性。
2.1.1 任意性。一个字母表示的数,往往不只一个,而是若干个任意的数。例如,乘积ab中的因式a与b,都分别表示任意的数。
2.1.2 局限性。一个字母表示的数,虽然具有任意性,但有时又要受到有关运算法则和问题的实际意义的限制。例如,分式4/x中的分母x,虽可任意取值却又不能为零。又如,用y表示人的个数时,虽可任意取值但又不能是小数和负数。
2.1.3 制约性。用几个字母分别表示同一个问题中几个不同对象时,有时不但具有任意性和局限性,而且它们表示的数还互相制约,不能“各自为政”。例如,圆面积公式S=πR2中的面积S和半径R表示的数,就具有任意性(可以任意取值)、局限性(不能取零和负数)、制约性(其中一个所表示的数随另一个所表示的数而定)。
2.1.4 存在性。用两个字母分别表示同一问题中的两个对象时,其制约性使它们所表示的数有几种不同的存在情况。存在情况不同,其表示方法就不同。如果两个对象同时(非一先一后)成立,就用“和”字(或“且”字)连接这两个对象。如果两个对象至少一个成立(仅任一成立或都同时成立),就用“或”字连接这两个对象。
2.1.5 完整性。一个字母能表示的一切数,构成一个整体。研究字母所表示的数的性质和算法时,必须从它所表示的数的整体去考虑。扩大或缩小这个整体的范围,都会造成概念和运算上的错误。例如,用A表示有理数时,学生之所以出现A>-A的错误,就是因为片面地认为A表示一切正数,-A表示一切负数,缩小了A与-A都表示一切有理数这个整体的范围。
2.1.6 优越性。用字母表示数,不但可以高度概括所示问题的一般规律,还可使叙述显得简明易记,比如,用A(B+C)=AB+AC表示乘法分配律,就体现了这样的优点。正是这种优点,人们才喜欢用字母表示数。
学生掌握以上特性后,不但能正确掌握用字母表示数的方法,还为进一步学习代数式和函数打下了坚实的基础。
1 突破由算术数到有理数的难关
初一学生接触负数,就产生有理数玄妙、易混、难算的感觉。这些感觉,是代数入门的障碍,教学时,教师应采用以下有效措施消除这些障碍。
1.1 用事实消除玄妙之感。只知道算术的学生一听到负数,就觉得神秘莫测,抽象玄妙,进而会想什么是负数?有没有负数?为什么要学习负数?教师应充分利用学生这种强烈求知欲,引导他们从一些既具体又熟悉的具有相反意义的量去找答案。通过收入与支出,前进与后退,零上温度与零下温度等事实,来说明正数与负数的意义、存在性、必要性,进而说明有理数与算术数具有整体与部分的包含关系。温度计的研究,不但形象直观地说明了正负的意义,还为进一步的学习数轴打好了基础。
1.2 用对比消除易混之感。学习有理数,最容易混淆的是符号“+”“-”的意义和用法。教师应通过恰当的例子,采用对比的方法,讲清两个符号在什么情况下是性质符号,在什么情况下是运算符号,在什么情况下既可视为性质符号又可视为运算符号,在什么情况下“+”号可以省略。两个符号的意义、作用、用法、存在条件都讲清以后,就加强综合对比训练。比如叫学生回答:-2、-4、-(+3)+(-4)、-3-(+4)、3-4、-3+4、-3(4-5)中的“+”号与“-”号,哪些只是性质符号?哪些只是运算符号?哪些既可视为性质符号又可视为运算符号?什么地方省略了“+”号?3-4与-3+4在算术中成立吗?为什么?经过多次对比讲解和对比训练,混淆之感就会消除。
1.3 用法则消除运算的困难感。有理数的运算,既要以算术数的运算为基础,又受算术数的运算的定势思维的干扰。只有紧扣有理数的运算法则,才能排除这定势思维的干扰。由于有理数由绝对值和性质符号构成,所以有理数的每种运算法则,都有两个不可或缺的要点:如何取正负号,怎样算绝对值。每做一次有理数的运算,都必须考虑相应法则中的这两个要点。尽管(-3)(-4)=l2之类的结果没有正负号,但还考虑了“两个要点”,得到+12后,才省略正号得到12的,绝非可以不考虑符号。
总之,以熟喻生,加强对比,讲清概念,紧扣法则,强化训练,是由算术数顺利过渡到有理数的根本途径。
2 突破由有理数到字母代数式的难关
要突破由有理数到用字母表示的代数式这一难关,需要注意的问题很多,这里不全面阐述,只着重谈几个很关键而又较难的问题。
2.1 正确掌握用字母表示的数:从已知事实出发,叫学生回顾用字母表示的运算定律、几何公式,从而提出用字母表示数这种数学手段,进而逐步引导学生总结用字母表示数的各种特性。
2.1.1 任意性。一个字母表示的数,往往不只一个,而是若干个任意的数。例如,乘积ab中的因式a与b,都分别表示任意的数。
2.1.2 局限性。一个字母表示的数,虽然具有任意性,但有时又要受到有关运算法则和问题的实际意义的限制。例如,分式4/x中的分母x,虽可任意取值却又不能为零。又如,用y表示人的个数时,虽可任意取值但又不能是小数和负数。
2.1.3 制约性。用几个字母分别表示同一个问题中几个不同对象时,有时不但具有任意性和局限性,而且它们表示的数还互相制约,不能“各自为政”。例如,圆面积公式S=πR2中的面积S和半径R表示的数,就具有任意性(可以任意取值)、局限性(不能取零和负数)、制约性(其中一个所表示的数随另一个所表示的数而定)。
2.1.4 存在性。用两个字母分别表示同一问题中的两个对象时,其制约性使它们所表示的数有几种不同的存在情况。存在情况不同,其表示方法就不同。如果两个对象同时(非一先一后)成立,就用“和”字(或“且”字)连接这两个对象。如果两个对象至少一个成立(仅任一成立或都同时成立),就用“或”字连接这两个对象。
2.1.5 完整性。一个字母能表示的一切数,构成一个整体。研究字母所表示的数的性质和算法时,必须从它所表示的数的整体去考虑。扩大或缩小这个整体的范围,都会造成概念和运算上的错误。例如,用A表示有理数时,学生之所以出现A>-A的错误,就是因为片面地认为A表示一切正数,-A表示一切负数,缩小了A与-A都表示一切有理数这个整体的范围。
2.1.6 优越性。用字母表示数,不但可以高度概括所示问题的一般规律,还可使叙述显得简明易记,比如,用A(B+C)=AB+AC表示乘法分配律,就体现了这样的优点。正是这种优点,人们才喜欢用字母表示数。
学生掌握以上特性后,不但能正确掌握用字母表示数的方法,还为进一步学习代数式和函数打下了坚实的基础。