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【摘要】数与形是数学中两个最古老的，也是最基本的对象，也是数学中两个最古老、最基本的问题，二者之间是密不可分的。数形结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题的方法，而应作为一种基本的，重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从数与形的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。
【关键词】数形结合 单位圆 导数 函数 方程 复数
每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。著名数学家华罗庚曾说过：“形缺数时难入微，数少形时难直观。”就准确而生动的说明了这一点。因此在解题时有意识的将二者结合起来，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义，而形的问题借助数去思考，分析其代数含义，使数量关系和空间形式巧妙机智地结合越来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决。
在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。它的本质是“以形助数，以数定形”，数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”高考试题常以下列方式出现：①研究方程根的情况；②讨论函数的值域；③求变量的取值范围；④解不等式。
1.韦恩图
韦恩图是解决集合运算问题常用的工具，还可证明一些常用的恒等式，如A∩B=A∪B A=B，A=A∩B A BB=A∪B，C∪ （A∩B）= C∪A∪C∪B， C∪（A∪B）= C∪A∩C∪B等。
例1.某班50人中，参见数学竞赛的25人，参加化学竞赛的32人，求既参加数学竞赛又参加化学竞赛的人数的最大值和最小值。
解：设两科都参加的人数是x人，则参加化学竞赛和参加数学竞赛的人数分别是32-x，25-x
根据题意的实际意义得：32-x≥025-x≥025-x+32-x+x≥0，解不等式可得 7≤x≤25
例2：有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？
分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如右图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.用n表示集合的元素，则有：
n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C）=48
即：28+25+15-8-6-7+n（A∩B∩C）=48
∴n（A∩B∩C）=1 ，即同时参加数理化小组的有1人
2.数轴
利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题
例3：（1）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是.
解析：（1）a≤-2；
∵A={x|-2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又A B，利用数轴上覆盖关系，因此有a≤-2.
点评：利用韦恩图和数轴可以直观地解决集合问题利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题.
例4：设A={x|x2-16<0}，B={x|x2-4x+3≥0}，I=R.
求A∩B，A∪B， A∩B，A∪B.
分析：分别先确定集合A，B的元素，
A={x|-4 A∩B={x|-4 A∪B=I （整个数轴都被覆盖）
A∩B={x|x≤-4或1 A∪B=φ （除去覆盖部分剩下的区域）
3.方程、函数中数形结合问题
作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题，分析其几何意义，借助形的直观来解。
（1）“数”中思“形”。
例5：如果实数x，y 满足等式（x-2）2+y2=3 ，那么yx 的最大值是什么？
解：设点A（x，y） 在圆（x-2）2+y2=3 上，圆心为C（2，0） ，半径等于3 。如图，则yx 是点A 与原点连线的斜率。当OA 与⊙ 相切，且切点A 落在第一象限时，KOA 有最大值，即yx 有最大值。因为CA=3，OC=2，所以OA=22-32 =1 ，所以（yx）max=tan∠AOC=3 。
例6：求函数f（x）=x2+4+x2+2x+1 的最小值。
分析：f（x）=（x-0）2+（0-2）2+（x+1）2+（0-0）2
∴f（x）的值是动点P（x，0） 到两个定点A（0，2）与B（-1，0）的距离之和。由图知（图略），当且仅当P与B重合（即x=-1）时，
f（x）max=（f-1）=5
（2）“形”中觅“数”。
例7：求方程lgx-sinx=0 的解的个数。
分析：此方程解的个数为y=lgx 的图象与y=sinx 的图象的交点个数。 因为sinx≤1 ，lgx≤1 所以0 在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。
例8：设复数z满足arg（z+i） =23π ，求1|z+6|+|z-3i| 的最大值。
解：要求1|z+6|+|z-3i| 的最大值，即求|z+6|+|z-3i| 的最小值，由复数模的几何意义知即求复数z 对应的点到点A（-6，0） 和点B（0，3） 的距离和的最小值。如图
∵ z满足arg（z+i） = 23π
∴复数z 对应的复平面上的点z的轨迹是以（0，-1） 为端点，倾斜角为23π 的射线。由图可知，|ZA+ZB| 最小值为|AB|=62+32 =35 ，故1|z+6|+|z-3i| 的最大值是135 =515 。
注：在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。
4.直线方程y=kx+b （k≠0）
求含有两个变量的线性式子的最值，可以构造直线方程，利用截距的意义解决问题。这一应用在线性规划中体现的很充分——求线性目标函数的最值。
例9：已知x，y满足条件x216+y225 =1，求y-3x的最小值和最大值
解：令y-3x=b， 即y=3x+b
由y=3x+bx225+y216=1 联立可得： 169x2 +966y2 +16b2 -400=0，令⊿≥0得：
-13≤b≤13
∴y-3x的最小值和最大值分别是-13和13。
5.圆或半圆（单位圆）
例10：已知sinα +sinβ =14 ， cosα +cosβ =13 ， 求tan（α+β ）的值
解：点A（cosα ，sinα ）B（cosβ ，sinβ） 都在单位圆上，由已知可知A和B的中点C坐标 （18，16 ），则直线AB过定点C
∠xOC=α+β-α2 = α+β2
∴tan∠xOC= tanα+β2 = 34
∴tan（α+β）=2×341-916 = 247
6.利用数形结合法解不等式问题说明
近年的高考强调不等式基础知识考查的同时也很注重数学能力的考查和数学思想方法的应用，其中数形结合思想方法的应用不可忽视。下面列举六例说明。
6.1 数形对照，相互渗透。
例11：已知x，y满足x2+y2-2y=0欲使不等式x+y+c≥0 恒成立，求实数c的取值范围。
分析：欲使x+y+c≥0 恒成立，
即-c≤x+y恒成立，
故-c≤（x+y）min。
于是问题转化为求x2+y2-2y=0上一点，使x+y有最小值问题。由图2可知：
当直线l1平行于x+y=0且与圆x2+y2-2y=0相切于下方时，x+y取最小值
1-2 故-c≤1- 2，从而c≥2-1。
6.2 由数想形，直观显现。
例12： 已知a，b∈R+ 且x2+ax+2b=0，x2+2bx+a=0都有实根，求a+b 的取值范围。
解：依题意得a2-8b≥0，b2-a≥0
即a2≥8b，b2≥a （*）
则满足（*）的点（a，b）在图3所示的阴影区域内。
设z=a+b ，则z=a+b 所表示的直线系中，过点A（4，2）的直线在b轴上的截距即为满足（*）的z的最小值。
所以（a+b）min =4+2=6
故a+b ≥6
6.3 由数构形，抽象变形象。
例12： 设f（x）、g（x） 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0 时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）>0 且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是（ ）
A.（-3，0）∪（3，+∞）
B.（-3，0）∪（0，3）
C.（-∞，-3）∪（3，+∞）
D.（-∞，-3）∪（0，3）
解：设 F（x）=f（x）g（x），因为 当x<0时，
f'（x）g（x）+f（x）g'（x）=[f（x）g（x）]'=F'（x）>0
所以F（x）在（-∞，0）上是增函数
因为f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以F（x）为奇函数
又g（-3）=0
所以F（-3）=f（-3）g（-3）=0
又f（x） 是奇函数，所以f（0）=0
故F（0）=0
根据以上特点，不妨构造如图4所示的符合题意的函数F（x）的图象，由图直接观察出所求解集是 （-∞，-3）∪（0，3）
故选D。
由上几例可知，在不等式的教学或复习中要有意识注意数形结合思想方法的渗透。
7.利用单位圆中的有线段解决三角不等式问题
在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像。如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题，简便易行。
例14：解不等式sinx>-12 .
分析：因为正弦线在单位圆中是用方向平行于y 轴的有向线段来表示.我们先在y 轴上取一点P，使OP=-12 ，恰好表示角x 的正弦线sinx=-12 ，过点P作 轴的平行线交单位圆于点P1 ，P2，在[-π2，3π2] 内，OP1，OP2 分别对应于角7π6 ，-π6（这时所对应的正弦值恰好为-12 ）.
而要求sinx>-12 的解集，只需将弦P1P2 向上平移，使OP1，OP2 重合（也即点P向上平移至与单位圆交点处）.这样OP1，OP2 所扫过的范围即为所求的角.原不等式的解集为：{x|2kπ-π6 例15：解不等式cosx≥12
分析：根据余弦线在单位圆中是方向平行于x 轴的有向线段.先在x轴上取点P，使OP=12 ，恰好表示角x 的余弦线cosx=12 ，过点P作y 轴的平行线交单位圆于点P1，P2 ，在[-π2，3π2] 内， OP1，OP2分别对应于角π3，-π3 ， （这时所对应的余弦值恰好为12）.而要求cosx≥12 的解集，只需将弦P1P2 向右平移，使OP1，OP2 重合（也即点P向右平移至与单位圆交点处）.这样OP1，OP2 所扫过的范围即为所求的角.原不等式的解集为：{x|2kπ-π3≤x≤2kπ+π3，k∈Z} .
总之，数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；由于数形结合的思想在高考中考查的比重很大，因而要花大力气，循序渐进地使学生建立数形结合的对应转化和应用，既要借助形的直观性来阐明数之间的关系，也要借助于数的精确性来阐明形的某些属性，使学生抓住数形结合本质，在解题自觉地运用数形结合的思想，以提高解题的能力和速度.
【关键词】数形结合 单位圆 导数 函数 方程 复数
每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。著名数学家华罗庚曾说过：“形缺数时难入微，数少形时难直观。”就准确而生动的说明了这一点。因此在解题时有意识的将二者结合起来，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义，而形的问题借助数去思考，分析其代数含义，使数量关系和空间形式巧妙机智地结合越来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决。
在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。它的本质是“以形助数，以数定形”，数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”高考试题常以下列方式出现：①研究方程根的情况；②讨论函数的值域；③求变量的取值范围；④解不等式。
1.韦恩图
韦恩图是解决集合运算问题常用的工具，还可证明一些常用的恒等式，如A∩B=A∪B A=B，A=A∩B A BB=A∪B，C∪ （A∩B）= C∪A∪C∪B， C∪（A∪B）= C∪A∩C∪B等。
例1.某班50人中，参见数学竞赛的25人，参加化学竞赛的32人，求既参加数学竞赛又参加化学竞赛的人数的最大值和最小值。
解：设两科都参加的人数是x人，则参加化学竞赛和参加数学竞赛的人数分别是32-x，25-x
根据题意的实际意义得：32-x≥025-x≥025-x+32-x+x≥0，解不等式可得 7≤x≤25
例2：有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？
分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如右图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.用n表示集合的元素，则有：
n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C）=48
即：28+25+15-8-6-7+n（A∩B∩C）=48
∴n（A∩B∩C）=1 ，即同时参加数理化小组的有1人
2.数轴
利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题
例3：（1）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是.
解析：（1）a≤-2；
∵A={x|-2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又A B，利用数轴上覆盖关系，因此有a≤-2.
点评：利用韦恩图和数轴可以直观地解决集合问题利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题.
例4：设A={x|x2-16<0}，B={x|x2-4x+3≥0}，I=R.
求A∩B，A∪B， A∩B，A∪B.
分析：分别先确定集合A，B的元素，
A={x|-4
A∩B={x|x≤-4或1
3.方程、函数中数形结合问题
作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题，分析其几何意义，借助形的直观来解。
（1）“数”中思“形”。
例5：如果实数x，y 满足等式（x-2）2+y2=3 ，那么yx 的最大值是什么？
解：设点A（x，y） 在圆（x-2）2+y2=3 上，圆心为C（2，0） ，半径等于3 。如图，则yx 是点A 与原点连线的斜率。当OA 与⊙ 相切，且切点A 落在第一象限时，KOA 有最大值，即yx 有最大值。因为CA=3，OC=2，所以OA=22-32 =1 ，所以（yx）max=tan∠AOC=3 。
例6：求函数f（x）=x2+4+x2+2x+1 的最小值。
分析：f（x）=（x-0）2+（0-2）2+（x+1）2+（0-0）2
∴f（x）的值是动点P（x，0） 到两个定点A（0，2）与B（-1，0）的距离之和。由图知（图略），当且仅当P与B重合（即x=-1）时，
f（x）max=（f-1）=5
（2）“形”中觅“数”。
例7：求方程lgx-sinx=0 的解的个数。
分析：此方程解的个数为y=lgx 的图象与y=sinx 的图象的交点个数。 因为sinx≤1 ，lgx≤1 所以0
例8：设复数z满足arg（z+i） =23π ，求1|z+6|+|z-3i| 的最大值。
解：要求1|z+6|+|z-3i| 的最大值，即求|z+6|+|z-3i| 的最小值，由复数模的几何意义知即求复数z 对应的点到点A（-6，0） 和点B（0，3） 的距离和的最小值。如图
∵ z满足arg（z+i） = 23π
∴复数z 对应的复平面上的点z的轨迹是以（0，-1） 为端点，倾斜角为23π 的射线。由图可知，|ZA+ZB| 最小值为|AB|=62+32 =35 ，故1|z+6|+|z-3i| 的最大值是135 =515 。
注：在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。
4.直线方程y=kx+b （k≠0）
求含有两个变量的线性式子的最值，可以构造直线方程，利用截距的意义解决问题。这一应用在线性规划中体现的很充分——求线性目标函数的最值。
例9：已知x，y满足条件x216+y225 =1，求y-3x的最小值和最大值
解：令y-3x=b， 即y=3x+b
由y=3x+bx225+y216=1 联立可得： 169x2 +966y2 +16b2 -400=0，令⊿≥0得：
-13≤b≤13
∴y-3x的最小值和最大值分别是-13和13。
5.圆或半圆（单位圆）
例10：已知sinα +sinβ =14 ， cosα +cosβ =13 ， 求tan（α+β ）的值
解：点A（cosα ，sinα ）B（cosβ ，sinβ） 都在单位圆上，由已知可知A和B的中点C坐标 （18，16 ），则直线AB过定点C
∠xOC=α+β-α2 = α+β2
∴tan∠xOC= tanα+β2 = 34
∴tan（α+β）=2×341-916 = 247
6.利用数形结合法解不等式问题说明
近年的高考强调不等式基础知识考查的同时也很注重数学能力的考查和数学思想方法的应用，其中数形结合思想方法的应用不可忽视。下面列举六例说明。
6.1 数形对照，相互渗透。
例11：已知x，y满足x2+y2-2y=0欲使不等式x+y+c≥0 恒成立，求实数c的取值范围。
分析：欲使x+y+c≥0 恒成立，
即-c≤x+y恒成立，
故-c≤（x+y）min。
于是问题转化为求x2+y2-2y=0上一点，使x+y有最小值问题。由图2可知：
当直线l1平行于x+y=0且与圆x2+y2-2y=0相切于下方时，x+y取最小值
1-2 故-c≤1- 2，从而c≥2-1。
6.2 由数想形，直观显现。
例12： 已知a，b∈R+ 且x2+ax+2b=0，x2+2bx+a=0都有实根，求a+b 的取值范围。
解：依题意得a2-8b≥0，b2-a≥0
即a2≥8b，b2≥a （*）
则满足（*）的点（a，b）在图3所示的阴影区域内。
设z=a+b ，则z=a+b 所表示的直线系中，过点A（4，2）的直线在b轴上的截距即为满足（*）的z的最小值。
所以（a+b）min =4+2=6
故a+b ≥6
6.3 由数构形，抽象变形象。
例12： 设f（x）、g（x） 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0 时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）>0 且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是（ ）
A.（-3，0）∪（3，+∞）
B.（-3，0）∪（0，3）
C.（-∞，-3）∪（3，+∞）
D.（-∞，-3）∪（0，3）
解：设 F（x）=f（x）g（x），因为 当x<0时，
f'（x）g（x）+f（x）g'（x）=[f（x）g（x）]'=F'（x）>0
所以F（x）在（-∞，0）上是增函数
因为f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以F（x）为奇函数
又g（-3）=0
所以F（-3）=f（-3）g（-3）=0
又f（x） 是奇函数，所以f（0）=0
故F（0）=0
根据以上特点，不妨构造如图4所示的符合题意的函数F（x）的图象，由图直接观察出所求解集是 （-∞，-3）∪（0，3）
故选D。
由上几例可知，在不等式的教学或复习中要有意识注意数形结合思想方法的渗透。
7.利用单位圆中的有线段解决三角不等式问题
在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像。如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题，简便易行。
例14：解不等式sinx>-12 .
分析：因为正弦线在单位圆中是用方向平行于y 轴的有向线段来表示.我们先在y 轴上取一点P，使OP=-12 ，恰好表示角x 的正弦线sinx=-12 ，过点P作 轴的平行线交单位圆于点P1 ，P2，在[-π2，3π2] 内，OP1，OP2 分别对应于角7π6 ，-π6（这时所对应的正弦值恰好为-12 ）.
而要求sinx>-12 的解集，只需将弦P1P2 向上平移，使OP1，OP2 重合（也即点P向上平移至与单位圆交点处）.这样OP1，OP2 所扫过的范围即为所求的角.原不等式的解集为：{x|2kπ-π6
分析：根据余弦线在单位圆中是方向平行于x 轴的有向线段.先在x轴上取点P，使OP=12 ，恰好表示角x 的余弦线cosx=12 ，过点P作y 轴的平行线交单位圆于点P1，P2 ，在[-π2，3π2] 内， OP1，OP2分别对应于角π3，-π3 ， （这时所对应的余弦值恰好为12）.而要求cosx≥12 的解集，只需将弦P1P2 向右平移，使OP1，OP2 重合（也即点P向右平移至与单位圆交点处）.这样OP1，OP2 所扫过的范围即为所求的角.原不等式的解集为：{x|2kπ-π3≤x≤2kπ+π3，k∈Z} .
总之，数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；由于数形结合的思想在高考中考查的比重很大，因而要花大力气，循序渐进地使学生建立数形结合的对应转化和应用，既要借助形的直观性来阐明数之间的关系，也要借助于数的精确性来阐明形的某些属性，使学生抓住数形结合本质，在解题自觉地运用数形结合的思想，以提高解题的能力和速度.