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【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2019）22-0246-02
数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系、图形、图表、程序等都是数学模型。如自然数“1”是“1个人”、“一件玩具”等抽象的结果，是反映这些事物共性的一个数学模型;方程是刻画现实世界数量关系的数学模型等。
数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式、图形和图表，因而它与符号化思想有很多相同之处，同样具有普通的意义。如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达，那么模型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问题;当然，把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象的過程。
《标准（2011版）》在课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”并在教材编写建议中提出了“教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活动体现‘问题情境——建立模型——求解验证’的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、积累活动经验;要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识”。
由此可见，在小学阶段，从课程标准的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明确了模型思想的重要意义。这不仅表明了数学的应用价值，同时明确了建立模型是数学应用和解决问题的核心。
一、小学数学中的常见模型
1.总量模型。
这种模型讲述的是总量与部分量之间的关系，其中部分量之间的地位是平等的，是并列的关系，因此在这种模型中，部分量之间的运算要用加法。这种模型具体表现为：总量=部分量+部分量。
显然，模型中的部分量不局限于两个。可以用这个模型来解决现实生活中一类涉及总量的问题，这样的问题在小学低年级的数学教学中是屡见不鲜的。比如，计算图书室中各类图书的总和是多少，计算在商店中买几种商品的总花费是多少等。也可以在总量那里讲一些故事，把加法运算变为减法运算：部分量=总量-部分量。
2.路程模型。
这种模型讲述的是距离、速度、时间之间的关系，如果假设速度是均匀的（或者平均速度），可以得到模型的形式：路程=速度×时间。
虽然所说的是路程问题，但这个模型可以适用于一类现实中的问题，比如，解决“总价=单价×数量”的问题，解决“总数=行数×列数”的问题等。因为这种模型强调的是乘法，因此单纯从数学计算的角度考虑，还可以称这种模型为乘法模型。在具体使用这类模型的时候，可以用距离讲一些故事，把乘法变为除法：时间=路程/速度;速度=路程/时间。
3.植树模型。
植树问题是现实生活中一类相似问题的总结，并非仅仅适用于植树一种情况。在建立“棵数=间隔数+1”的模型后，可让学生完成类似练习，达到举一反三的效果。还可适当的拓展延伸，建立起“两端都不栽”的模型“植树棵数=间隔数-1”和“只栽一端”的模型“植树棵数=间隔数”。
4.工程模型。
这类模型的问题背景是：有一个工程，甲工程队和乙工程队单独完成分别需要A天和B天，两个工程队合作需要多少天。解决这样的问题，一个简便的方法就是设工程为1，那么甲队和乙队一天分别完成工程的1/A和1/B。这样的问题也成为归一问题。这种模型还包括传统的注水问题。
二、模型思想的教学策略
数学在各个领域有着广泛的应用，不但促进了科学和人类的进步，也使得人们对数学有了新的认识：数学不仅仅是数学家的乐园，它也不应是抽象和枯燥的代名词，它是全人类的朋友，也是广大中小学生的朋友。因此，广大教师在教学中结合数学的应用和解决问题的教学，要注意贯彻课程标准的理念：一方面要注重渗透模型思想，另一方面要教会学生如何建立模型，并喜欢数学。
学生学习数学模型大概有两种情况：第一种是基本模型的学习，第二种是利用基本模型去解决各种问题。数学建模也是一个比较复杂和富有挑战性的过程，这个过程大致有以下几个步骤：（1）理解问题的实际背景，明确要解决什么问题，属于什么模型系统;（2）把复杂的情景经过分析和简化，确定必要的数据;（3）建立模型，可以是数量关系式，也可以是图形;（4）解答问题。下面将结合实例作简要分析。
1.学习的过程可以经历数学模型的再创造过程。
现实生活中已有的数学模型基本上是数学家们研究创造出来的，使得我们能够享受现有的成果。而根据课程标准的理念，学生的学习过程有时是一个探索的过程，也是一个再创造的过程。例如利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体，探索长方体中含有小正方体的个数与长方体的长、宽、高的关系，进而归纳出长方体的体积公式，建立模型V=abc，这就是一个模型化的过程，也是一个再创造的过程。
2.学习的过程可以改编教材习题，加强建模教学。
构建数学模型的目的是让学生运用数学模型思想解决实际问题，让学生体会到数学模型的应用价值，体会数学的实际应用带来的乐趣。因此教材中有些问题需要改编，使其成为建模的有效素材。如：“图中正方形面积是8平方厘米，求圆的面积。”可以利用它开展以下的建模活动：设圆的半径是r，探讨出圆的面积与正方形面积之间的关系后，建立起关系模型，进而解决问题。也可以另辟蹊径，先通过“正方形面积是6平方厘米，求圆的面积”这一问题的解决，建立关系模型“圆的面积是正方形面积的π倍”，从而使原问题获得解决。
3.应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立模型，进而解决各种问题。
传统上应用题的编排结构是与四则混合运算、混合运算相匹配，包括有连续两问的应用题、相似应用题的比较、多个问题构成的问题串，这些都是很好的传统做法和经验，是知识结构的基础。但是这种结构往往是线性的。如果以数学模型为核心进行问题解决的教学，构建问题链，可构成网状结构，从而最大限度的整合丰富多彩的问题。例如上面提到的植树问题、路程问题等。
总之，在教学中渗透数学模型思想是一个长期的过程，我们要从低年级抓起，常抓不懈。这就需要老师们在教学中提供大量的感性素材，创设生活情境，并在探究学习中积累经验，并运用模型思想解决问题，提高学生学习数学的兴趣。
【文章编号】2095-3089（2019）22-0246-02
数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系、图形、图表、程序等都是数学模型。如自然数“1”是“1个人”、“一件玩具”等抽象的结果，是反映这些事物共性的一个数学模型;方程是刻画现实世界数量关系的数学模型等。
数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式、图形和图表，因而它与符号化思想有很多相同之处，同样具有普通的意义。如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达，那么模型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问题;当然，把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象的過程。
《标准（2011版）》在课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”并在教材编写建议中提出了“教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活动体现‘问题情境——建立模型——求解验证’的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、积累活动经验;要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识”。
由此可见，在小学阶段，从课程标准的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明确了模型思想的重要意义。这不仅表明了数学的应用价值，同时明确了建立模型是数学应用和解决问题的核心。
一、小学数学中的常见模型
1.总量模型。
这种模型讲述的是总量与部分量之间的关系，其中部分量之间的地位是平等的，是并列的关系，因此在这种模型中，部分量之间的运算要用加法。这种模型具体表现为：总量=部分量+部分量。
显然，模型中的部分量不局限于两个。可以用这个模型来解决现实生活中一类涉及总量的问题，这样的问题在小学低年级的数学教学中是屡见不鲜的。比如，计算图书室中各类图书的总和是多少，计算在商店中买几种商品的总花费是多少等。也可以在总量那里讲一些故事，把加法运算变为减法运算：部分量=总量-部分量。
2.路程模型。
这种模型讲述的是距离、速度、时间之间的关系，如果假设速度是均匀的（或者平均速度），可以得到模型的形式：路程=速度×时间。
虽然所说的是路程问题，但这个模型可以适用于一类现实中的问题，比如，解决“总价=单价×数量”的问题，解决“总数=行数×列数”的问题等。因为这种模型强调的是乘法，因此单纯从数学计算的角度考虑，还可以称这种模型为乘法模型。在具体使用这类模型的时候，可以用距离讲一些故事，把乘法变为除法：时间=路程/速度;速度=路程/时间。
3.植树模型。
植树问题是现实生活中一类相似问题的总结，并非仅仅适用于植树一种情况。在建立“棵数=间隔数+1”的模型后，可让学生完成类似练习，达到举一反三的效果。还可适当的拓展延伸，建立起“两端都不栽”的模型“植树棵数=间隔数-1”和“只栽一端”的模型“植树棵数=间隔数”。
4.工程模型。
这类模型的问题背景是：有一个工程，甲工程队和乙工程队单独完成分别需要A天和B天，两个工程队合作需要多少天。解决这样的问题，一个简便的方法就是设工程为1，那么甲队和乙队一天分别完成工程的1/A和1/B。这样的问题也成为归一问题。这种模型还包括传统的注水问题。
二、模型思想的教学策略
数学在各个领域有着广泛的应用，不但促进了科学和人类的进步，也使得人们对数学有了新的认识：数学不仅仅是数学家的乐园，它也不应是抽象和枯燥的代名词，它是全人类的朋友，也是广大中小学生的朋友。因此，广大教师在教学中结合数学的应用和解决问题的教学，要注意贯彻课程标准的理念：一方面要注重渗透模型思想，另一方面要教会学生如何建立模型，并喜欢数学。
学生学习数学模型大概有两种情况：第一种是基本模型的学习，第二种是利用基本模型去解决各种问题。数学建模也是一个比较复杂和富有挑战性的过程，这个过程大致有以下几个步骤：（1）理解问题的实际背景，明确要解决什么问题，属于什么模型系统;（2）把复杂的情景经过分析和简化，确定必要的数据;（3）建立模型，可以是数量关系式，也可以是图形;（4）解答问题。下面将结合实例作简要分析。
1.学习的过程可以经历数学模型的再创造过程。
现实生活中已有的数学模型基本上是数学家们研究创造出来的，使得我们能够享受现有的成果。而根据课程标准的理念，学生的学习过程有时是一个探索的过程，也是一个再创造的过程。例如利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体，探索长方体中含有小正方体的个数与长方体的长、宽、高的关系，进而归纳出长方体的体积公式，建立模型V=abc，这就是一个模型化的过程，也是一个再创造的过程。
2.学习的过程可以改编教材习题，加强建模教学。
构建数学模型的目的是让学生运用数学模型思想解决实际问题，让学生体会到数学模型的应用价值，体会数学的实际应用带来的乐趣。因此教材中有些问题需要改编，使其成为建模的有效素材。如：“图中正方形面积是8平方厘米，求圆的面积。”可以利用它开展以下的建模活动：设圆的半径是r，探讨出圆的面积与正方形面积之间的关系后，建立起关系模型，进而解决问题。也可以另辟蹊径，先通过“正方形面积是6平方厘米，求圆的面积”这一问题的解决，建立关系模型“圆的面积是正方形面积的π倍”，从而使原问题获得解决。
3.应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立模型，进而解决各种问题。
传统上应用题的编排结构是与四则混合运算、混合运算相匹配，包括有连续两问的应用题、相似应用题的比较、多个问题构成的问题串，这些都是很好的传统做法和经验，是知识结构的基础。但是这种结构往往是线性的。如果以数学模型为核心进行问题解决的教学，构建问题链，可构成网状结构，从而最大限度的整合丰富多彩的问题。例如上面提到的植树问题、路程问题等。
总之，在教学中渗透数学模型思想是一个长期的过程，我们要从低年级抓起，常抓不懈。这就需要老师们在教学中提供大量的感性素材，创设生活情境，并在探究学习中积累经验，并运用模型思想解决问题，提高学生学习数学的兴趣。