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【摘要】利用数字的故事化,可增强学生对数学课的兴趣,在潜移默化中提高数学课对学生的吸引力,如“0”的故事、“9”的故事、“π”的故事、“进制”的故事等。
【关键词】数学课 数字故事 化进制
兴趣是最好的老师。培养学生对数学的兴趣,是搞好数学课教学的重要一环。而数字的故事化又是增强学生数学兴趣的直接而重要的途径。在十几年的教学实践中,我特别注意用讲故事的形式,使枯燥的数字“生动”起来,在潜移默化中提高数学课对学生的吸引力。现将一些做法贡献出来,请专家批评指正。
一、“0”的故事
“0”是数学家族中的极其重要的一员。它比它的哥哥姐姐们,即1、2、3、4……出生的年龄要小得多。
“0”的诞生比较晚,由“没有”至“零”的认识有一个漫长的过程。在“0”被发明之前,古人的记数方法是繁琐而又残缺,想记一个大数时就得把某些符号重复写好多次。例如把一百零三万零四百零五即1030405,写成一个表示“一百万”的图、三个表示“一万”的图、四个表示“一百”的图及五个表示“一”的图的组和,就像一幅画一样,记起来很麻烦。在印度-阿拉伯数字被采用后,在没有“0”这一数字符号时,古人就把1030405这个数表示为:1 3 4 5,这种表示法容易产生误解,因为两数之间的距离并无具体规定,很像1345。于是后来发明打格的方法来区别:(□),其中空的地方代表空位。可如此做法又将运算变得很麻烦。“0”被采用后,就可以将上数很简洁明了地写成:1030405。故在“0”被采用之前,记数法可说是残缺的。
“0”在数学中的地位如此重要,而这个符号被采用却是来之不易,历经周折。发明了奇特深奥的楔形文字的古巴比伦人不会使用0;能建造宏伟金字塔的古埃及人也不会。中国古代利用算筹进行运算时,怕出现定位错误,开始用“□”代表空位,为书写方便逐渐写成3个比现在椭圆形“O”要圆鼓的一个圆圈。公元前2世纪,希腊人在天文学上用“□”表示空位,可应用并不普遍。印度人在公元6世纪最早用个小黑点“.”表示零,后来逐渐变成了0。正是印度人在公元9世纪真正把0当作一个独立的数来使用。
0的用途很多,除了在诞生历史中所讲的位值制记数法中表示“空位”的用法外,还有多种用途。0可以表示“一无所有”的概念。比如:5-5=0;4个苹果,吃掉4个后,剩0个,表示没苹果了;树上有0只鸟,表示树上没有鸟。
0本身是一个数,它可与其他数一起参加运算。0属于实数之一,又是正数与负数间的唯一中性数,具有以下一些运算性质:
a 0=0 a=a
a-0=a, 0-a=-a
0×a =a×0=0,
0÷a =0,(a≠0)
0不能做除数,也可由此推出分母不能为0;0也没有倒数。
任意多个0相加或相乘,其结果均为0。
0的绝对值为0。
0的相反数是0。
0在复数中,是唯一幅角没有定义的复数。
0没有对数。
现代电脑用的二进制中,0是一个基本的数码。
0还是标度的起点或分界线。例如,每日以0时为起点;数轴上0是正负数的分界线;温度计中0℃不表示没有温度,而是通常情况下水结成冰的温度,相当于华氏表的32度。0在导弹发射时的口令是表示起点:“9,8,7……1,0——发射”。
0还可以表示精确度。如在近似计算中,7.5与7.50表示精确程度不同。
而0在数学史中又被称作“哥伦布鸡蛋”。在庆祝哥伦布发现新大陆的宫廷宴会上,有人嫉妒地说:“其实,谁开船去不了那儿,这事谁都能办到。”哥伦布不露声色地拿起一只煮熟的鸡蛋问:“诸位,谁能把这只鸡蛋立在桌上。”很多人都试着做了,可鸡蛋就是立不起来。哥伦布拿过鸡蛋,在桌上轻轻一碰,就立在了桌子上。于是一些人又说:“这谁不会呀,壳一破就立住了。”哥伦布满含深意地说:“对呀,有些事看起来很简单,可很多人就是想不到,不去做,别人做到了,他又说简单。0就是这样,发明它之前,没有人想到,有了它之后,人们又认为很简单。”故0又被称作“哥伦布鸡蛋”。
二、“9”的故事
“9”是一位数中最大的数,这个数有很多有趣的故事,同时也是个奇妙的数字。
9成了作除数的“红人儿”:在辽阔的华夏大地上,如今出现了许多“神算子”,他们大都工作在基层,例如银行收储员、商店营业员、教师、小贩等等,他们每天与数字打交道,积累了很多宝贵的心得与数字经验,有的甚至已闻名东亚,受聘出国讲学,为他国培训人才。
四则运算中,当然是除法最麻烦,可其中也有好多小窍门。比如:有两数相除,若被除数为整数,可除数为9,或99、999……、10n-1。而且被除数与除数互相不能整除,又比除数小时,则商一定是循环小数。这个循环数字就是被除数原数,而循环节的位数,就是除数中所含“9”的个数,当被除数的位数小于除数中所含“9”的个数时,就加“0”予以补足。
同理,当除数11、111、1111等作除数时,亦可用类似的“配九法”来做。
假如想求出近似的商数,由于已对全部环节了如指掌,因此,随便由哪一位截取或“四舍五入”的求近似值方法得出,都是很容易得出来的。
假若由3个“9”,怎样运算能得到最大结果呢?答案是(929)29。
9的乘法循环:一个数的个位都是数字9,则平方会出现一种循环:
92=81,8 1=9,
992=9801,98 01=99,
9992=998001,998 001=999,
99992=99980001,9998 0001=9999……
上面这些等式中,将平方结果分成左右两半,再将这两部分还原相加的和正好是原数。
若把平方换成立方:
93=729,7 2=9,
993=970299,97 02=99,
9993=997002999,997 002=999,
99993=999700029999,9997 0002=9999……
上式对吗,可以证一个:
99993=99992×9999=99980001×9999=(99980000 1)×9999=(99980000 1)×9999=9998×10000 9999=999929999×10000 9999=(999800019999)×10000 9999=99970002×9999=999700029999依此法可证出其他式子也成立。
三、“π”的故事
“π”是圆周率的符号,是一个常数,表示圆的周长与直径的比值,这个值是定值。有关“π”的故事很多,关于其值的马拉松式的计算和背诵,便是其中之一。
从公元前2世纪开始,直至今日,π的值尽管已被算出数亿位,可印成厚达百万页的书,却仍然是一个近似值。所以人们把关于π值的计算,称为科学史上的“马拉松”。
计算π值的较早计载,可见于公元前2世纪中国的《周髀算经》,其上载有“周三径一”之说。第一个用正确方法计算π值的,是中国魏晋时期的刘徽,他于公元前263年,首创利用圆的内接正多边形面积来逼近圆的面积之法,得出π值约为3.14。中国称这种方法为割圆术。而西方人迟至1200年后,才开始利用类似的方法。后人为纪念刘徽的这个数学贡献,称3.14为徽率。
公元460年,中国南朝数学家、天文学家祖冲之仍然采用刘徽割圆术,算得π值为3.1415926和3.1415927之间,这是世界上首次将圆周率推算到小数点后第7位。祖冲之还找到了两个近似等于π值的分数值:355÷113和22÷7。将这两个分数化成小数,得到的值虽然没有他推算出来的小数值准确,但可采用分数代替π来计算,使其运算更简便。西方迟至1000多年以后,才想到这种办法。
π值被精确到小数点后第7位的记录,被祖冲之保持了1000多年。到了1596年,荷兰数学家卢道夫历经艰苦计算,把π精确到小数点后第15位,后来,他又把π值推进到小数点后第35位。为了纪念他的贡献,人们把他推出来的π值称为“卢道夫数”,1610年他逝世时,人们为他立一墓碑,上刻此数:3.14159265358979323846264338327950288。
卢道夫之后,西方数学家对π的计算进展迅速。1853年,英国数学家威廉·向克斯(William Shanks)以毕生精力从事π的计算,工作非常艰辛,因为那时没有计算机,全都用手算,最后他宣布算出了707位小数。但九十二年以后,也就是第二次世界大战刚刚结束的1945年,人们发现他在第528位时出现了一个小错误,于是528位之后的部分都错了,这之后的180位小数全白算了。1948年1月,弗格雷与雷斯奇合作,算出正确的808位小数的π值。可这种没有计算机的计算仍然艰辛而又费力。而且手算还容易马虎出错。
电子计算机问世以后,1949年人们首次用计算机将π算到了2037位,突破1000位大关,之后,π的计算迅速加码,纪录一再刷新。20世纪50年代,人们用计算机算出10万位小数的π值,70年代又刷新至150万位。后来又相继突破1000万位大关。这不能不引起人们关注。
对π值的计算,出现了竞争局面,尤为显著的是美、日两国,你追我赶,互不相让。1989年7月,日本东京大学计算机专家金田康正利用日立超级计算机,将π值算到536870000位。消息传到美国,引起极其强烈反应,仅隔3个月,也就是同年10月份,纽约哥伦比亚大学的戴维和格雷高利·丘德诺夫斯基就将π值算到小数点后面的第1011196691位(10亿多位),把日本人的数据又翻了一番。这一工作是在两台计算机上进行的:一台IBM30%主机,另一台是CRAY-2超级计算机,两台同时工作的计算机运算结果一致。
此外还有有关π在十进位小数表示中,出现的各种奇异现象及人们的探求,和对其中数字现象的各式各样的相互矛盾的报道。近来,对π值继续推算方面的报道比较沉寂,既然早就证明π是个超越数,打算在其小数部分展开或发现什么规律性,是必然要落空的。背诵π的小数值是锻炼记忆力的极好练习。中国桥梁专家茅以升老先生能轻而易举地背出200位。日本友寄英哲能一口气背出4万位,而现在的记录又远远超过了他。这充分表明,人类的大脑是一种多么奇妙的有机体。
π的故事很多,π既古老,又常常改变新貌。π很奇妙,又很有用,生活中的许多地方离不开π,π为人类生活增添了很多方便、追求和乐趣。
四、“进制”的故事
当数学史上有了数字与数码后,就有了一套记数方法。刻痕记数,有多少数,就刻多少道痕,这是最原始的办法,当然还有用手指、脚趾或小石子、小木棍等记数的方法。可数目大时,就有了困难,于是人们想到了进位。以X个数组成一个新单位,这叫X进制,X叫做进位的基。现今使用最广泛的是十进制与二进制。
由于人在劳动中使用双手,所以常以手指计数。手指的数目“十”就成了通用的进位的基数。中国是四大文明古国之一,中国数学在人类文化发展初期,遥遥领先于巴比伦和埃及。中国早在五六千年前,就有了数学符号,到3000多年前的商朝,刻在甲骨或陶器上的数字,已十分常见。那时,自然数计数都采用了十进位制。甲骨文中就有从一到百、千、万的13个记数单位。运算过程中用的是算筹。算筹就是一些用木、竹制作的匀称的小棍,算筹纵横布置就可以表示任何一个自然数。据考证,至少在春秋时期(公元前8世纪—前5世纪),中国的算筹记法就已经很完善,而印度只在表示0的方法使用后,十进制才算完备,其正式使用0这一符号是在公元876年之后了。可以说中国是当之无愧的十进制的故乡。
二进制是基数最小的一种记数法,十进制中要用10个数码:0、1、2、3……9,而二进制只用0和1两个符号,0仍表示零,1仍代表“一”。但是“二”以后就没有单独数码代表,所以要“逢二进一”,每满足“二”就进上一位,由此类推,就可以表示所有自然数了。例如下表:
不过二进制记起数来很冗长,比如87要写成二进制形式是1010111,日常生活中用十进制较多,用二进制较少。可对电子计算机而言,却是另一番情况,二进制有无可比拟的优越性,所以被广泛采用。首先是容易实现。在电子计算机中,若使用P进制,就要求元件具有P种稳定的物理状态来表示P个数码。若P>2,困难程度是很大的。而二进制只要求元件有两种不同的稳定状态,这不仅容易办到,而且可靠性高。例如:穿孔带的“有孔”、“无孔”,开关的“通”、“断”,晶体管的“通导”、“截止”等都可以实现。另一优点是运算简单。加法和乘法都是最简单的运算方法。再有一个优点就是二进制比其他进制更节省元件。二进制还便于使用数理逻辑来进行分析与总体设计。因此,二进制在计算机日益广泛应用的今天,显得尤为重要,二进制也就成了主要进制之一。
二进制的历史常与计算机创始人莱布尼兹(G.W.Leibnitz,1646年-1716年)的名字联系在一起。他虽然不是二进制的最早发明者,可在他的大力阐述及提倡下,二进制确实引起了人们的关注。在他以前,已有好几个人使用了二进制,例如:英国的代数学家哈里奥特(1560年-1620年),在未发表的手稿中便已用二进制记数法,不过不为人知罢了。莱布尼兹也许没见过前人的有关二进制的论述,因而一直认为二进制是自己的创造。当他得知中国的八卦排列与二进制一致时,更是欣喜若狂,以为自己揭开了数千年前中国的一个不可解之谜——《易经》。因为《易经》有了太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦……这同二进制是一致的。
布莱尼兹相信,他在二进制中看到了创造万物的图象,在那里只有两个数0和1。上帝可用“1”表示,虚无用“0”表示。他想象造物主从虚无中创造了一切,正如在二进制中算术用了“1”和“0”表示出所有数一样,这种想法使莱布尼兹太高兴了,以致希望这种创造世界的象征能使当时的中国皇帝(康熙大帝)也皈依基督教。1697年12月,莱布尼兹写信给当时在北京为康熙帝讲授数学的法国传教士白晋,阐述自己的观点,白晋将二进制与《易经》的六爻排列对照,认为二者是一致的。《易经》八卦中的一列六十四卦可以写成000000、000001、000010、000011……111111,正好是二进制中由0到63这64个数的排列。白晋由此认为早在2000多年前中国古代圣人就已发明二进制记数法。可实际上,《易经》中的六十四卦排列并不与二进制中的前64个数一致。
总之,现在似乎还没有足够的理由来肯定《易经》的作者已建立起二进制记数法,虽然《易经》同二进制记数法的原理有些类似。当年,白晋给莱布尼兹的《易经》六十四卦图解是按二进制记数法中前64个数的顺序排列的,所以莱布尼兹对白晋的说法没有丝毫怀疑。他认为几年前中国圣人的创造竟与自己的发明完全一致,这使他十分高兴,从而对中国文化更加神往。
在进制中,除了现在应用最广的十进制与二进制外,还有五进制、二十进制、六十进制,甚至还有七进制、八进制、十二进制、十六进制。五进制是由每只手有5个手指而来的;二十进制是由手指与脚趾加在一起共20个而来的;而六十进制很有科学性,60是能够被1、2、3、4、5、6这几个数同时整除的最小的自然数,因此在以60进位时,计算起来可免去很多麻烦。六十进制在生活中应用也很广泛,如时间中的秒、分钟、小时,圆周为360度,而其中的60秒等于1分,60分等于1度,列式子为60″=1′,60′=1°。
这些进位制记数法分别来自古代的一些文明古国,如中国、古巴比伦、古印度,还有古代美洲的玛雅人、古非洲国家等。其中有些记数法为多国所用,如十进制记数法,也有一个国家采用多种记数法者,如古巴比伦就有五进制、十进制、二十进制、六十进制等多种记数法。后来又由于《圣经》“创世纪”中的说法,世界是上帝7天造出来的,因而每周又称每星期的进制为七进制,每7天为一周。中国古代的一斤等于16两,俗语中的“半斤八两”意为势利均衡,旗鼓相当,因为古代的半斤等于八两。可见在进位记数法中还蕴含了很多知识。
在人类长期的实际应用中,十进制逐渐占了上风,应用最为广泛;二进制也随着科技的发展,计算机的应用,在人们心目中的地位不断升高。可知一些科学工具的发展与应用都是人类长期实践活动选择的结果。
参考文献:
[1]M.克莱因著,张理京、张锦炎译:《古今数学思想》第一册.上海科学技术出版社,1999.
[2]华罗庚等:《中国大百科全书·数学》,北京:中国大百科全书出版社,2004.
(作者单位:湖南省石门县易家渡镇中学)
【关键词】数学课 数字故事 化进制
兴趣是最好的老师。培养学生对数学的兴趣,是搞好数学课教学的重要一环。而数字的故事化又是增强学生数学兴趣的直接而重要的途径。在十几年的教学实践中,我特别注意用讲故事的形式,使枯燥的数字“生动”起来,在潜移默化中提高数学课对学生的吸引力。现将一些做法贡献出来,请专家批评指正。
一、“0”的故事
“0”是数学家族中的极其重要的一员。它比它的哥哥姐姐们,即1、2、3、4……出生的年龄要小得多。
“0”的诞生比较晚,由“没有”至“零”的认识有一个漫长的过程。在“0”被发明之前,古人的记数方法是繁琐而又残缺,想记一个大数时就得把某些符号重复写好多次。例如把一百零三万零四百零五即1030405,写成一个表示“一百万”的图、三个表示“一万”的图、四个表示“一百”的图及五个表示“一”的图的组和,就像一幅画一样,记起来很麻烦。在印度-阿拉伯数字被采用后,在没有“0”这一数字符号时,古人就把1030405这个数表示为:1 3 4 5,这种表示法容易产生误解,因为两数之间的距离并无具体规定,很像1345。于是后来发明打格的方法来区别:(□),其中空的地方代表空位。可如此做法又将运算变得很麻烦。“0”被采用后,就可以将上数很简洁明了地写成:1030405。故在“0”被采用之前,记数法可说是残缺的。
“0”在数学中的地位如此重要,而这个符号被采用却是来之不易,历经周折。发明了奇特深奥的楔形文字的古巴比伦人不会使用0;能建造宏伟金字塔的古埃及人也不会。中国古代利用算筹进行运算时,怕出现定位错误,开始用“□”代表空位,为书写方便逐渐写成3个比现在椭圆形“O”要圆鼓的一个圆圈。公元前2世纪,希腊人在天文学上用“□”表示空位,可应用并不普遍。印度人在公元6世纪最早用个小黑点“.”表示零,后来逐渐变成了0。正是印度人在公元9世纪真正把0当作一个独立的数来使用。
0的用途很多,除了在诞生历史中所讲的位值制记数法中表示“空位”的用法外,还有多种用途。0可以表示“一无所有”的概念。比如:5-5=0;4个苹果,吃掉4个后,剩0个,表示没苹果了;树上有0只鸟,表示树上没有鸟。
0本身是一个数,它可与其他数一起参加运算。0属于实数之一,又是正数与负数间的唯一中性数,具有以下一些运算性质:
a 0=0 a=a
a-0=a, 0-a=-a
0×a =a×0=0,
0÷a =0,(a≠0)
0不能做除数,也可由此推出分母不能为0;0也没有倒数。
任意多个0相加或相乘,其结果均为0。
0的绝对值为0。
0的相反数是0。
0在复数中,是唯一幅角没有定义的复数。
0没有对数。
现代电脑用的二进制中,0是一个基本的数码。
0还是标度的起点或分界线。例如,每日以0时为起点;数轴上0是正负数的分界线;温度计中0℃不表示没有温度,而是通常情况下水结成冰的温度,相当于华氏表的32度。0在导弹发射时的口令是表示起点:“9,8,7……1,0——发射”。
0还可以表示精确度。如在近似计算中,7.5与7.50表示精确程度不同。
而0在数学史中又被称作“哥伦布鸡蛋”。在庆祝哥伦布发现新大陆的宫廷宴会上,有人嫉妒地说:“其实,谁开船去不了那儿,这事谁都能办到。”哥伦布不露声色地拿起一只煮熟的鸡蛋问:“诸位,谁能把这只鸡蛋立在桌上。”很多人都试着做了,可鸡蛋就是立不起来。哥伦布拿过鸡蛋,在桌上轻轻一碰,就立在了桌子上。于是一些人又说:“这谁不会呀,壳一破就立住了。”哥伦布满含深意地说:“对呀,有些事看起来很简单,可很多人就是想不到,不去做,别人做到了,他又说简单。0就是这样,发明它之前,没有人想到,有了它之后,人们又认为很简单。”故0又被称作“哥伦布鸡蛋”。
二、“9”的故事
“9”是一位数中最大的数,这个数有很多有趣的故事,同时也是个奇妙的数字。
9成了作除数的“红人儿”:在辽阔的华夏大地上,如今出现了许多“神算子”,他们大都工作在基层,例如银行收储员、商店营业员、教师、小贩等等,他们每天与数字打交道,积累了很多宝贵的心得与数字经验,有的甚至已闻名东亚,受聘出国讲学,为他国培训人才。
四则运算中,当然是除法最麻烦,可其中也有好多小窍门。比如:有两数相除,若被除数为整数,可除数为9,或99、999……、10n-1。而且被除数与除数互相不能整除,又比除数小时,则商一定是循环小数。这个循环数字就是被除数原数,而循环节的位数,就是除数中所含“9”的个数,当被除数的位数小于除数中所含“9”的个数时,就加“0”予以补足。
同理,当除数11、111、1111等作除数时,亦可用类似的“配九法”来做。
假如想求出近似的商数,由于已对全部环节了如指掌,因此,随便由哪一位截取或“四舍五入”的求近似值方法得出,都是很容易得出来的。
假若由3个“9”,怎样运算能得到最大结果呢?答案是(929)29。
9的乘法循环:一个数的个位都是数字9,则平方会出现一种循环:
92=81,8 1=9,
992=9801,98 01=99,
9992=998001,998 001=999,
99992=99980001,9998 0001=9999……
上面这些等式中,将平方结果分成左右两半,再将这两部分还原相加的和正好是原数。
若把平方换成立方:
93=729,7 2=9,
993=970299,97 02=99,
9993=997002999,997 002=999,
99993=999700029999,9997 0002=9999……
上式对吗,可以证一个:
99993=99992×9999=99980001×9999=(99980000 1)×9999=(99980000 1)×9999=9998×10000 9999=999929999×10000 9999=(999800019999)×10000 9999=99970002×9999=999700029999依此法可证出其他式子也成立。
三、“π”的故事
“π”是圆周率的符号,是一个常数,表示圆的周长与直径的比值,这个值是定值。有关“π”的故事很多,关于其值的马拉松式的计算和背诵,便是其中之一。
从公元前2世纪开始,直至今日,π的值尽管已被算出数亿位,可印成厚达百万页的书,却仍然是一个近似值。所以人们把关于π值的计算,称为科学史上的“马拉松”。
计算π值的较早计载,可见于公元前2世纪中国的《周髀算经》,其上载有“周三径一”之说。第一个用正确方法计算π值的,是中国魏晋时期的刘徽,他于公元前263年,首创利用圆的内接正多边形面积来逼近圆的面积之法,得出π值约为3.14。中国称这种方法为割圆术。而西方人迟至1200年后,才开始利用类似的方法。后人为纪念刘徽的这个数学贡献,称3.14为徽率。
公元460年,中国南朝数学家、天文学家祖冲之仍然采用刘徽割圆术,算得π值为3.1415926和3.1415927之间,这是世界上首次将圆周率推算到小数点后第7位。祖冲之还找到了两个近似等于π值的分数值:355÷113和22÷7。将这两个分数化成小数,得到的值虽然没有他推算出来的小数值准确,但可采用分数代替π来计算,使其运算更简便。西方迟至1000多年以后,才想到这种办法。
π值被精确到小数点后第7位的记录,被祖冲之保持了1000多年。到了1596年,荷兰数学家卢道夫历经艰苦计算,把π精确到小数点后第15位,后来,他又把π值推进到小数点后第35位。为了纪念他的贡献,人们把他推出来的π值称为“卢道夫数”,1610年他逝世时,人们为他立一墓碑,上刻此数:3.14159265358979323846264338327950288。
卢道夫之后,西方数学家对π的计算进展迅速。1853年,英国数学家威廉·向克斯(William Shanks)以毕生精力从事π的计算,工作非常艰辛,因为那时没有计算机,全都用手算,最后他宣布算出了707位小数。但九十二年以后,也就是第二次世界大战刚刚结束的1945年,人们发现他在第528位时出现了一个小错误,于是528位之后的部分都错了,这之后的180位小数全白算了。1948年1月,弗格雷与雷斯奇合作,算出正确的808位小数的π值。可这种没有计算机的计算仍然艰辛而又费力。而且手算还容易马虎出错。
电子计算机问世以后,1949年人们首次用计算机将π算到了2037位,突破1000位大关,之后,π的计算迅速加码,纪录一再刷新。20世纪50年代,人们用计算机算出10万位小数的π值,70年代又刷新至150万位。后来又相继突破1000万位大关。这不能不引起人们关注。
对π值的计算,出现了竞争局面,尤为显著的是美、日两国,你追我赶,互不相让。1989年7月,日本东京大学计算机专家金田康正利用日立超级计算机,将π值算到536870000位。消息传到美国,引起极其强烈反应,仅隔3个月,也就是同年10月份,纽约哥伦比亚大学的戴维和格雷高利·丘德诺夫斯基就将π值算到小数点后面的第1011196691位(10亿多位),把日本人的数据又翻了一番。这一工作是在两台计算机上进行的:一台IBM30%主机,另一台是CRAY-2超级计算机,两台同时工作的计算机运算结果一致。
此外还有有关π在十进位小数表示中,出现的各种奇异现象及人们的探求,和对其中数字现象的各式各样的相互矛盾的报道。近来,对π值继续推算方面的报道比较沉寂,既然早就证明π是个超越数,打算在其小数部分展开或发现什么规律性,是必然要落空的。背诵π的小数值是锻炼记忆力的极好练习。中国桥梁专家茅以升老先生能轻而易举地背出200位。日本友寄英哲能一口气背出4万位,而现在的记录又远远超过了他。这充分表明,人类的大脑是一种多么奇妙的有机体。
π的故事很多,π既古老,又常常改变新貌。π很奇妙,又很有用,生活中的许多地方离不开π,π为人类生活增添了很多方便、追求和乐趣。
四、“进制”的故事
当数学史上有了数字与数码后,就有了一套记数方法。刻痕记数,有多少数,就刻多少道痕,这是最原始的办法,当然还有用手指、脚趾或小石子、小木棍等记数的方法。可数目大时,就有了困难,于是人们想到了进位。以X个数组成一个新单位,这叫X进制,X叫做进位的基。现今使用最广泛的是十进制与二进制。
由于人在劳动中使用双手,所以常以手指计数。手指的数目“十”就成了通用的进位的基数。中国是四大文明古国之一,中国数学在人类文化发展初期,遥遥领先于巴比伦和埃及。中国早在五六千年前,就有了数学符号,到3000多年前的商朝,刻在甲骨或陶器上的数字,已十分常见。那时,自然数计数都采用了十进位制。甲骨文中就有从一到百、千、万的13个记数单位。运算过程中用的是算筹。算筹就是一些用木、竹制作的匀称的小棍,算筹纵横布置就可以表示任何一个自然数。据考证,至少在春秋时期(公元前8世纪—前5世纪),中国的算筹记法就已经很完善,而印度只在表示0的方法使用后,十进制才算完备,其正式使用0这一符号是在公元876年之后了。可以说中国是当之无愧的十进制的故乡。
二进制是基数最小的一种记数法,十进制中要用10个数码:0、1、2、3……9,而二进制只用0和1两个符号,0仍表示零,1仍代表“一”。但是“二”以后就没有单独数码代表,所以要“逢二进一”,每满足“二”就进上一位,由此类推,就可以表示所有自然数了。例如下表:
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不过二进制记起数来很冗长,比如87要写成二进制形式是1010111,日常生活中用十进制较多,用二进制较少。可对电子计算机而言,却是另一番情况,二进制有无可比拟的优越性,所以被广泛采用。首先是容易实现。在电子计算机中,若使用P进制,就要求元件具有P种稳定的物理状态来表示P个数码。若P>2,困难程度是很大的。而二进制只要求元件有两种不同的稳定状态,这不仅容易办到,而且可靠性高。例如:穿孔带的“有孔”、“无孔”,开关的“通”、“断”,晶体管的“通导”、“截止”等都可以实现。另一优点是运算简单。加法和乘法都是最简单的运算方法。再有一个优点就是二进制比其他进制更节省元件。二进制还便于使用数理逻辑来进行分析与总体设计。因此,二进制在计算机日益广泛应用的今天,显得尤为重要,二进制也就成了主要进制之一。
二进制的历史常与计算机创始人莱布尼兹(G.W.Leibnitz,1646年-1716年)的名字联系在一起。他虽然不是二进制的最早发明者,可在他的大力阐述及提倡下,二进制确实引起了人们的关注。在他以前,已有好几个人使用了二进制,例如:英国的代数学家哈里奥特(1560年-1620年),在未发表的手稿中便已用二进制记数法,不过不为人知罢了。莱布尼兹也许没见过前人的有关二进制的论述,因而一直认为二进制是自己的创造。当他得知中国的八卦排列与二进制一致时,更是欣喜若狂,以为自己揭开了数千年前中国的一个不可解之谜——《易经》。因为《易经》有了太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦……这同二进制是一致的。
布莱尼兹相信,他在二进制中看到了创造万物的图象,在那里只有两个数0和1。上帝可用“1”表示,虚无用“0”表示。他想象造物主从虚无中创造了一切,正如在二进制中算术用了“1”和“0”表示出所有数一样,这种想法使莱布尼兹太高兴了,以致希望这种创造世界的象征能使当时的中国皇帝(康熙大帝)也皈依基督教。1697年12月,莱布尼兹写信给当时在北京为康熙帝讲授数学的法国传教士白晋,阐述自己的观点,白晋将二进制与《易经》的六爻排列对照,认为二者是一致的。《易经》八卦中的一列六十四卦可以写成000000、000001、000010、000011……111111,正好是二进制中由0到63这64个数的排列。白晋由此认为早在2000多年前中国古代圣人就已发明二进制记数法。可实际上,《易经》中的六十四卦排列并不与二进制中的前64个数一致。
总之,现在似乎还没有足够的理由来肯定《易经》的作者已建立起二进制记数法,虽然《易经》同二进制记数法的原理有些类似。当年,白晋给莱布尼兹的《易经》六十四卦图解是按二进制记数法中前64个数的顺序排列的,所以莱布尼兹对白晋的说法没有丝毫怀疑。他认为几年前中国圣人的创造竟与自己的发明完全一致,这使他十分高兴,从而对中国文化更加神往。
在进制中,除了现在应用最广的十进制与二进制外,还有五进制、二十进制、六十进制,甚至还有七进制、八进制、十二进制、十六进制。五进制是由每只手有5个手指而来的;二十进制是由手指与脚趾加在一起共20个而来的;而六十进制很有科学性,60是能够被1、2、3、4、5、6这几个数同时整除的最小的自然数,因此在以60进位时,计算起来可免去很多麻烦。六十进制在生活中应用也很广泛,如时间中的秒、分钟、小时,圆周为360度,而其中的60秒等于1分,60分等于1度,列式子为60″=1′,60′=1°。
这些进位制记数法分别来自古代的一些文明古国,如中国、古巴比伦、古印度,还有古代美洲的玛雅人、古非洲国家等。其中有些记数法为多国所用,如十进制记数法,也有一个国家采用多种记数法者,如古巴比伦就有五进制、十进制、二十进制、六十进制等多种记数法。后来又由于《圣经》“创世纪”中的说法,世界是上帝7天造出来的,因而每周又称每星期的进制为七进制,每7天为一周。中国古代的一斤等于16两,俗语中的“半斤八两”意为势利均衡,旗鼓相当,因为古代的半斤等于八两。可见在进位记数法中还蕴含了很多知识。
在人类长期的实际应用中,十进制逐渐占了上风,应用最为广泛;二进制也随着科技的发展,计算机的应用,在人们心目中的地位不断升高。可知一些科学工具的发展与应用都是人类长期实践活动选择的结果。
参考文献:
[1]M.克莱因著,张理京、张锦炎译:《古今数学思想》第一册.上海科学技术出版社,1999.
[2]华罗庚等:《中国大百科全书·数学》,北京:中国大百科全书出版社,2004.
(作者单位:湖南省石门县易家渡镇中学)