论文部分内容阅读
进行高效率、高质量的几何教学始终是我们几何教学的内在诉求．然而，我们对几何知识所具有的特性并没有给予应有的重视，这就造成了我们几何教学中的一些困难．因而，从多样性与统一性的融合、直观形象与严谨抽象的辩证统一、经验性与超验性的共存、串联式的逻辑结构等四个方面较深入的论述几何知识的特性及其教学，就具有极其的现实意义．
几何知识在世界各国的中小学数学教学内容体系中有着举足轻重的作用，它也是历次数学课程改革的重点和难点．多年来，有众多的学者、专家从课程、教学等不同方面对其进行了深入、广泛地研究．然而，在硕果累累的研究中，从几何知识的特性这一角度所获得的研究成果却很缺乏．笔者认为，正是对其特性的肤浅认识甚至忽略，才导致了对几何教育价值的片面认识，从而给我们的几何教学带来重重困难．其实，从历史来看，我们的几何课程、教学往往强调几何所具有的教育价值的某个方面，甚至走向某个极端，这一方面是由于我们对几何教育价值的认识是逐步的，另一方面就在于几何知识本身所具有的一些特性往往都是两个“极端”或者“相互矛盾”．比如，多样与统一、直观形象与严谨抽象、经验与超验．加深对这些特性的认识，有助于通过“教学” 这一创造性工作将它们有机的结合起来，以达到我们所追求的“高质量、高效率的几何教学”．
1多样性与统一性的融合
如果回到两千多年以前，人们要系统学习几何知识，恐怕就只有欧几里德的《几何原本》．但是，现在可供人们选择的途径就多多了．可以学习欧几里德的《几何原本》或者希尔伯特的《几何基础》，也可以学习笛卡尔的《解析几何》，还可以学习《向量几何》、《质点几何》以及《微分几何》等等．如果把几何学科比作“花坛”，那么根植其中的“花朵”就只能用“万紫千红”、“美不胜收”来形容了．正如国际数学教育委员会（ICMI）的专题讨论文件上所说，“几何包含了如此众多不同的方面，以至于试图完整地将它们罗列出来已是不可能的”②．几何学科发展到今天，门类众多，几何知识的多样性就不言而喻了．除此之外，蕴涵于几何知识之中的多种数学思想、方法，比如数形结合、归纳类比、割补、变换等等，也体现了几何知识的多样性，只不过难以“察觉”罢了．然而，几何学科的每一个门类、每一种思想、方法都只是反映了几何知识的某一方面，却不能反映几何知识的整体．这就如同观察一头大象一样，从不同角度只能够得到十分不一样的观感．并且，对于同一部分几何知识，欧氏几何、解析几何、向量几何以及微分几何等有不同的反映方式，有的反映方式生动、直观；有的反映方式抽象、简洁；有的反映方式迂回、繁琐；有的反映方式利于教学；有的反映方式只是纯粹的学术追求．由此看来，涉及几何教学，我们不仅要关注几何知识的多样性，同样也要关注几何知识的统一性．
关注几何知识的统一性有何意义呢？其主要意义就在于强调几何教学，特别是义务教育阶段的几何教学，应该抓住几何知识的“核心”，不要被门类众多、“万紫千红”的几何知识“晃”花了眼，而无所适从．那么，几何知识的统一性又体现在何处呢？笔者认为这应是几何的基础知识．基本几何图形的认识，常见几何图形的基本性质的了解，常用几何思想方法的掌握等，这些都是进一步学习其他几何知识所必不可少的．比如，对点、线、面的基本性质、它们之间的基本关系的掌握对学习其他几何知识就是必需的．尤其对广大的中小学生而言，要想“攀登”几何科学这座雄伟的山峰，不论“攀登”多高，都必须 “扎扎实实”地从山脚出发，一步一个脚印地努力向前，那种“高起点”的想法是不切实际的．20世纪60年代，国外一批热衷于数学教育改革的数学家和数学教育家发起了轰轰烈烈的“新数学”运动，其基本想法就是，让中小学生从上一代人的终点开始，“起点尽量高一点”，以便尽快地吸取近代甚至现代数学的成就，比如用向量几何来代替欧氏几何，甚至提出“欧几里德滚蛋”的口号，结果是以失败而告终．究其原因，是由于忽略了基础知识的奠基作用．没有基础，中小学生所学习的任何知识，哪怕有多么的“现代”，恐怕都是“空中楼阁”，随时都会倒塌；没有了基础，就很难有理解，那么中小学生所接受的任何知识，都只能是囫囵吞枣，“知其然，而不知其所以然”．那种违背简单到复杂、直观到抽象的人的客观认识规律的“想法”，都只能是一厢情愿的良好愿望．因而,“新数学”运动失败后，“回到基础”的口号就自然被提了出来．
由此看来，我们的几何教学也必须遵循人的客观认识规律，扎扎实实地从“基础”做起．值得欣慰的是，我国的中小学几何教学历来重视基础，“双基”教学也是我国数学教育的主要特色．在新一轮几何课程改革中，重视基础的传统仍需进一步的发扬，我们的几何教学要妥善处理基础与现代之间的关系，而不要为了“基础”而“基础”，为了“现代”而“现代”，事事都流于表面．
2直观形象与严谨抽象的辩证统一
“几何，一方面作为对我们所生活的空间进行了解、描述和与之相互影响的一种工具，也许是数学中最为直观、具体并与实际关系最密切的部分；另一方面作为一门学科，几何又建立在已经沿袭了两千多年，其严格性、抽象性和一般性的水平都在逐渐提高的、广泛的形式化过程上．”③几何知识来源于人们对现实世界的“活动”，来源于人们对现实世界的“认识”，因而具有直观形象的特点就是必然的，在人们刀耕火种的经验传递过程中，主要体现的就是其直观形象的特点．然而，几何知识能成为一门学科，并得以世世代代的传授，应归功于欧几里德的工作．欧几里德把当时人类所掌握的相当丰富但却凌乱无章的几何知识（经验）熔于一炉，整理、归纳成为空前严谨的逻辑体系，此时，几何知识体现的就是其严谨抽象的一面了．尽管几何知识作为我们对现实空间的理解与描述，本身已是对现实事物的一种抽象，是建立自然界和其他现实世界各种现象的理想化模型，是严谨抽象的．如直线，现实生活中本没有直线，只有“绷紧的绳索”、“笔直的马路”，直线只是对这些现象的共同属性“形”的抽象．然而，几何知识又是其他数学和科学领域中概念、定理、法则以及过程直观表示的一种方法，如代数知识本身很难直观形象，只有借助于几何知识才能有直观形象的体现，又如在化学中，我们习惯用几何图形来表示物质的分子结构、元素之间的联系（元素周期表），再如我们常用框图来表示计算机程序、工程等的流程，因此几何知识又是直观形象的．
在古希腊时期，由于“学院教育”主要针对统治阶级，因而对于劳动者而言，他们传承着与生活、劳动息息相关的几何知识；但对于统治阶级而言，学习几何已不仅仅局限于这一面的意义，更多的是一种心智活动——严谨抽象的意义．此时，几何知识的两个方面通过两个不同阶层对其不同使用表现得淋漓尽致．当教育成为全民的教育，我们又不得不将两者“整合在一起”，尽管此时几何知识的直观性与抽象性已越走越远了．然而，纵观不同时期、世界各国的几何文本，不论是希尔伯特的《几何基础》，还是笛卡尔的《解析几何》；不论是前苏联的、我国的，还是美国的、日本的，都很难同时兼顾直观形象与严谨抽象，而只能侧重于其中的一面．就是世界公认的将生动直观的图形与严密的论证紧密结合的《几何原本》也仅仅是利用直观形象来达到严谨抽象的目的，然而形象直观不仅仅是一种工具、手段，它更应是一个目的、目标．这就是说，至今为止，还没有出现两者都兼顾得很出色的几何文本，当然这也包括中小学几何教材．由此看来，既要关照几何知识的直观形象，又要顾及几何知识的严谨抽象，这就必须依靠教学这一具有创造性的工作．这即是说，对于突出直观形象的几何文本，教学就要适当的体现几何的严谨抽象，不要始终停留在直观形象这一面，要在此基础上有所发展，达到一定的严谨抽象；而对于强调严谨抽象的几何文本，教学就要恰当利用几何的直观形象，将严谨抽象的几何知识进行一定程度地“还原”，达到与学生认知水平相符合的直观形象．其实，从学生认知水平不断发展的角度来看，“怎样做到形象与抽象的有效整合？”是几何教学面对的一个永恒的话题．
3经验性与超验性的共存
古代埃及由于尼罗河泛滥，淹没了耕地，水退后需要重新丈量，于是从土地丈量积累起来的测地知识逐渐发展成为几何学．从《九章算术》所涉及的几何知识可以看出，古代中国的几何知识也是以解决生产、生活中的实际问题为主．所以说，几何知识来源于现实生活，一点也不为过．另一方面，几何知识又是人们对现实世界抽象的结果，几何知识往往被“剥去”了“现实”的外衣而存在，比如欧氏几何，它是建立在一组公理体系基础上的，而公理是人们经过千百年的经验积累总结出的，是人们对现实世界的抽象“表述”．而且，随着几何学科的不断发展，几何知识甚至来源于对抽象的对象的进一步抽象．张奠宙先生就曾说过，“数学对象的特点”是“思想材料的形式化抽象”④，当然，几何的对象也是如此．此处的“思想材料”就是“抽象的对象”．非欧几何得以建立，要归功于对欧氏几何“平行公理”的批判性思维，而这种“批判性思维”的特点也是对抽象的对象的进一步抽象．由此看来，几何知识与人们的生活实际的联系存在着紧疏之差异，也就是说，有的几何知识与人们的生活实际、生活经验联系紧密，人们对此有切身的感受和经验，可以通过实践活动来获得，这些是经验性几何知识；有的几何知识与人们的生活实际、生活经验相距甚远，是人类理性思维的结晶，人们对此不可能有亲身的体验、经历，这些是超验性几何知识．
经验性几何知识和超验性几何知识共存于整个几何知识体系之中，并且“犬牙交错”，显然，我们的几何教学不仅应该清晰地“区分”它们，而且还应该对它们区别“对待”．对于那些学生能够通过自主活动、积极思考、主动探究的经验性几何知识，教师要大胆放“权”予学生，毕竟，通过亲身尝试、体验、经历而获得的知识会记忆得更牢固、持久，理解得也会更深刻，应用的也会更自如、得心应手．而对于那些远离学生的生活经历和知识经验，学生很难通过自己的经验探究、发现的超验性几何知识，一味地追求“探究”，却往往适得其反．毕竟，我们不是生活在“尼罗河时代”，我们可以站在前人的肩膀上获取知识．因而，教师可以把这些几何知识直接告诉学生，让他们先接受下来，然后通过相应的训练以及他们理性思维水平不断地提高而逐步地加深理解．由此看来，在几何教学的过程中，探究式教学并不是包治万病的“良药”，传授式教学也不是一无是处的“病疾”，它们各有千秋．
4串联式的逻辑结构
自从欧几里德的《几何原本》产生以来，它就替代了其他几何文本，“统治”了中学几何课堂两千多年．就是现在，在许多国家的中小学几何教材中，仍留有它的“痕迹”．然而就欧几里德几何整个知识体系而言，它呈现着典型的串联式逻辑结构．其特点就是以公理、公设为起始，知识点与知识点一环扣一环、步步为营，没有一个突出的中心，每一个概念、定理都是那么重要．就如同一个串联电路，每个知识点就如同一个电路元件，一个元件出问题，整个电路就会受到影响．张景中先生甚至这样形容，“欧几里德把我们引进一个精致瑰丽的古代园林，这儿有目不暇接的美景，却没有方便的交通设施．你不知道哪里才是四通八达的中心车站，只有小心翼翼的跟在这位老向导的后面，沿着一条曲曲折折的小径饱览胜景．稍不留心，就会迷路！”①在这一点上，希尔伯特的《几何基础》更是有过之而无不及，它完善了《几何原本》不那么严密的地方，使得几何知识体系更加严谨，串联式逻辑结构更趋牢固．就是打破欧几里德几何“统治”地位的“非欧几何”也几乎沿用了欧几里德几何的串联式逻辑结构，尽管“非欧几何”的内容已不同于欧几里德几何．
其实，早有学者在关注几何知识的这种串联式逻辑结构，也在探索对其进行改进，以便改变“几何难学、难教”的状况．在20世纪80年代末期，张景中教授就进行了“以面积为中心建立平面几何的推理体系与公理系统”的探索工作，取得了丰硕的成果．一些成果已广泛地应用于中小学几何教学，在一定程度上改善了“几何难教、难学”的状况．但是，这些研究成果很难被中小学几何教材整体接受，如今的中小学几何教材所呈现的几何知识体系在整体上仍旧没有摆脱串联式逻辑结构，因此，笔者认为一是需要教师和学生凭借在日常教学活动中的创造性“工作”，对其加以改进．比如，教师可以尽量为每章、每节找出一个“中心”概念（定理），教学时就应围绕着这个“中心”进行，将概念（定理）之间的串联式联系（图1），改进为辐射式联系（图2），以降低教与学的难度．二是教师应充分重视“过程”的教学．只有让学生经历了质疑、判断、比较、选择的过程，学会了分析、综合、概括等方法，他们才能自主地改变自身认知结构中几何“图式”的串联式逻辑结构，使其具有弹性而富有活力．
（说明：A、B、C、D为四个概念或定理，表示推导、推理）
在新一轮数学课程改革中，我们惊喜地看到了几种版本的初中数学教材对几何知识串联式逻辑结构的关注．在“综合”的大背景下，在尽量保持几何知识原有逻辑结构的基础上，它们的编写都考虑了突出章节“中心”，以求教师教学重、难点的把握和突破．
当然，几何教学只考虑几何知识所具有的这些独特性质是不够的，学生的认知水平和情感态度、教师的教学风格和教学能力等,学生因素、教师因素以及环境因素也应被纳入考虑之列，也只有综合考虑了它们，教师进行高效率的、高质量的几何教学才有可能．
注释：
①张景中等著．《从数学教育到教育数学》．四川教育出版社，第10页
②、③吴开琪译．《21世纪几何教学的展望——国际数学教育委员会（ICMI）1995专题研究讨论文件》．《数学通报》．1995年第5期，第1页
④张奠宙著．《数学教育学》．江西教育出版社，第11页
参考文献
1 张奠宙著.数学教育学导论［M］.北京：高等教育出版社，2003
2［英］C﹒贝利著，沈剑平译．什么是知识．教育学文集
几何知识在世界各国的中小学数学教学内容体系中有着举足轻重的作用，它也是历次数学课程改革的重点和难点．多年来，有众多的学者、专家从课程、教学等不同方面对其进行了深入、广泛地研究．然而，在硕果累累的研究中，从几何知识的特性这一角度所获得的研究成果却很缺乏．笔者认为，正是对其特性的肤浅认识甚至忽略，才导致了对几何教育价值的片面认识，从而给我们的几何教学带来重重困难．其实，从历史来看，我们的几何课程、教学往往强调几何所具有的教育价值的某个方面，甚至走向某个极端，这一方面是由于我们对几何教育价值的认识是逐步的，另一方面就在于几何知识本身所具有的一些特性往往都是两个“极端”或者“相互矛盾”．比如，多样与统一、直观形象与严谨抽象、经验与超验．加深对这些特性的认识，有助于通过“教学” 这一创造性工作将它们有机的结合起来，以达到我们所追求的“高质量、高效率的几何教学”．
1多样性与统一性的融合
如果回到两千多年以前，人们要系统学习几何知识，恐怕就只有欧几里德的《几何原本》．但是，现在可供人们选择的途径就多多了．可以学习欧几里德的《几何原本》或者希尔伯特的《几何基础》，也可以学习笛卡尔的《解析几何》，还可以学习《向量几何》、《质点几何》以及《微分几何》等等．如果把几何学科比作“花坛”，那么根植其中的“花朵”就只能用“万紫千红”、“美不胜收”来形容了．正如国际数学教育委员会（ICMI）的专题讨论文件上所说，“几何包含了如此众多不同的方面，以至于试图完整地将它们罗列出来已是不可能的”②．几何学科发展到今天，门类众多，几何知识的多样性就不言而喻了．除此之外，蕴涵于几何知识之中的多种数学思想、方法，比如数形结合、归纳类比、割补、变换等等，也体现了几何知识的多样性，只不过难以“察觉”罢了．然而，几何学科的每一个门类、每一种思想、方法都只是反映了几何知识的某一方面，却不能反映几何知识的整体．这就如同观察一头大象一样，从不同角度只能够得到十分不一样的观感．并且，对于同一部分几何知识，欧氏几何、解析几何、向量几何以及微分几何等有不同的反映方式，有的反映方式生动、直观；有的反映方式抽象、简洁；有的反映方式迂回、繁琐；有的反映方式利于教学；有的反映方式只是纯粹的学术追求．由此看来，涉及几何教学，我们不仅要关注几何知识的多样性，同样也要关注几何知识的统一性．
关注几何知识的统一性有何意义呢？其主要意义就在于强调几何教学，特别是义务教育阶段的几何教学，应该抓住几何知识的“核心”，不要被门类众多、“万紫千红”的几何知识“晃”花了眼，而无所适从．那么，几何知识的统一性又体现在何处呢？笔者认为这应是几何的基础知识．基本几何图形的认识，常见几何图形的基本性质的了解，常用几何思想方法的掌握等，这些都是进一步学习其他几何知识所必不可少的．比如，对点、线、面的基本性质、它们之间的基本关系的掌握对学习其他几何知识就是必需的．尤其对广大的中小学生而言，要想“攀登”几何科学这座雄伟的山峰，不论“攀登”多高，都必须 “扎扎实实”地从山脚出发，一步一个脚印地努力向前，那种“高起点”的想法是不切实际的．20世纪60年代，国外一批热衷于数学教育改革的数学家和数学教育家发起了轰轰烈烈的“新数学”运动，其基本想法就是，让中小学生从上一代人的终点开始，“起点尽量高一点”，以便尽快地吸取近代甚至现代数学的成就，比如用向量几何来代替欧氏几何，甚至提出“欧几里德滚蛋”的口号，结果是以失败而告终．究其原因，是由于忽略了基础知识的奠基作用．没有基础，中小学生所学习的任何知识，哪怕有多么的“现代”，恐怕都是“空中楼阁”，随时都会倒塌；没有了基础，就很难有理解，那么中小学生所接受的任何知识，都只能是囫囵吞枣，“知其然，而不知其所以然”．那种违背简单到复杂、直观到抽象的人的客观认识规律的“想法”，都只能是一厢情愿的良好愿望．因而,“新数学”运动失败后，“回到基础”的口号就自然被提了出来．
由此看来，我们的几何教学也必须遵循人的客观认识规律，扎扎实实地从“基础”做起．值得欣慰的是，我国的中小学几何教学历来重视基础，“双基”教学也是我国数学教育的主要特色．在新一轮几何课程改革中，重视基础的传统仍需进一步的发扬，我们的几何教学要妥善处理基础与现代之间的关系，而不要为了“基础”而“基础”，为了“现代”而“现代”，事事都流于表面．
2直观形象与严谨抽象的辩证统一
“几何，一方面作为对我们所生活的空间进行了解、描述和与之相互影响的一种工具，也许是数学中最为直观、具体并与实际关系最密切的部分；另一方面作为一门学科，几何又建立在已经沿袭了两千多年，其严格性、抽象性和一般性的水平都在逐渐提高的、广泛的形式化过程上．”③几何知识来源于人们对现实世界的“活动”，来源于人们对现实世界的“认识”，因而具有直观形象的特点就是必然的，在人们刀耕火种的经验传递过程中，主要体现的就是其直观形象的特点．然而，几何知识能成为一门学科，并得以世世代代的传授，应归功于欧几里德的工作．欧几里德把当时人类所掌握的相当丰富但却凌乱无章的几何知识（经验）熔于一炉，整理、归纳成为空前严谨的逻辑体系，此时，几何知识体现的就是其严谨抽象的一面了．尽管几何知识作为我们对现实空间的理解与描述，本身已是对现实事物的一种抽象，是建立自然界和其他现实世界各种现象的理想化模型，是严谨抽象的．如直线，现实生活中本没有直线，只有“绷紧的绳索”、“笔直的马路”，直线只是对这些现象的共同属性“形”的抽象．然而，几何知识又是其他数学和科学领域中概念、定理、法则以及过程直观表示的一种方法，如代数知识本身很难直观形象，只有借助于几何知识才能有直观形象的体现，又如在化学中，我们习惯用几何图形来表示物质的分子结构、元素之间的联系（元素周期表），再如我们常用框图来表示计算机程序、工程等的流程，因此几何知识又是直观形象的．
在古希腊时期，由于“学院教育”主要针对统治阶级，因而对于劳动者而言，他们传承着与生活、劳动息息相关的几何知识；但对于统治阶级而言，学习几何已不仅仅局限于这一面的意义，更多的是一种心智活动——严谨抽象的意义．此时，几何知识的两个方面通过两个不同阶层对其不同使用表现得淋漓尽致．当教育成为全民的教育，我们又不得不将两者“整合在一起”，尽管此时几何知识的直观性与抽象性已越走越远了．然而，纵观不同时期、世界各国的几何文本，不论是希尔伯特的《几何基础》，还是笛卡尔的《解析几何》；不论是前苏联的、我国的，还是美国的、日本的，都很难同时兼顾直观形象与严谨抽象，而只能侧重于其中的一面．就是世界公认的将生动直观的图形与严密的论证紧密结合的《几何原本》也仅仅是利用直观形象来达到严谨抽象的目的，然而形象直观不仅仅是一种工具、手段，它更应是一个目的、目标．这就是说，至今为止，还没有出现两者都兼顾得很出色的几何文本，当然这也包括中小学几何教材．由此看来，既要关照几何知识的直观形象，又要顾及几何知识的严谨抽象，这就必须依靠教学这一具有创造性的工作．这即是说，对于突出直观形象的几何文本，教学就要适当的体现几何的严谨抽象，不要始终停留在直观形象这一面，要在此基础上有所发展，达到一定的严谨抽象；而对于强调严谨抽象的几何文本，教学就要恰当利用几何的直观形象，将严谨抽象的几何知识进行一定程度地“还原”，达到与学生认知水平相符合的直观形象．其实，从学生认知水平不断发展的角度来看，“怎样做到形象与抽象的有效整合？”是几何教学面对的一个永恒的话题．
3经验性与超验性的共存
古代埃及由于尼罗河泛滥，淹没了耕地，水退后需要重新丈量，于是从土地丈量积累起来的测地知识逐渐发展成为几何学．从《九章算术》所涉及的几何知识可以看出，古代中国的几何知识也是以解决生产、生活中的实际问题为主．所以说，几何知识来源于现实生活，一点也不为过．另一方面，几何知识又是人们对现实世界抽象的结果，几何知识往往被“剥去”了“现实”的外衣而存在，比如欧氏几何，它是建立在一组公理体系基础上的，而公理是人们经过千百年的经验积累总结出的，是人们对现实世界的抽象“表述”．而且，随着几何学科的不断发展，几何知识甚至来源于对抽象的对象的进一步抽象．张奠宙先生就曾说过，“数学对象的特点”是“思想材料的形式化抽象”④，当然，几何的对象也是如此．此处的“思想材料”就是“抽象的对象”．非欧几何得以建立，要归功于对欧氏几何“平行公理”的批判性思维，而这种“批判性思维”的特点也是对抽象的对象的进一步抽象．由此看来，几何知识与人们的生活实际的联系存在着紧疏之差异，也就是说，有的几何知识与人们的生活实际、生活经验联系紧密，人们对此有切身的感受和经验，可以通过实践活动来获得，这些是经验性几何知识；有的几何知识与人们的生活实际、生活经验相距甚远，是人类理性思维的结晶，人们对此不可能有亲身的体验、经历，这些是超验性几何知识．
经验性几何知识和超验性几何知识共存于整个几何知识体系之中，并且“犬牙交错”，显然，我们的几何教学不仅应该清晰地“区分”它们，而且还应该对它们区别“对待”．对于那些学生能够通过自主活动、积极思考、主动探究的经验性几何知识，教师要大胆放“权”予学生，毕竟，通过亲身尝试、体验、经历而获得的知识会记忆得更牢固、持久，理解得也会更深刻，应用的也会更自如、得心应手．而对于那些远离学生的生活经历和知识经验，学生很难通过自己的经验探究、发现的超验性几何知识，一味地追求“探究”，却往往适得其反．毕竟，我们不是生活在“尼罗河时代”，我们可以站在前人的肩膀上获取知识．因而，教师可以把这些几何知识直接告诉学生，让他们先接受下来，然后通过相应的训练以及他们理性思维水平不断地提高而逐步地加深理解．由此看来，在几何教学的过程中，探究式教学并不是包治万病的“良药”，传授式教学也不是一无是处的“病疾”，它们各有千秋．
4串联式的逻辑结构
自从欧几里德的《几何原本》产生以来，它就替代了其他几何文本，“统治”了中学几何课堂两千多年．就是现在，在许多国家的中小学几何教材中，仍留有它的“痕迹”．然而就欧几里德几何整个知识体系而言，它呈现着典型的串联式逻辑结构．其特点就是以公理、公设为起始，知识点与知识点一环扣一环、步步为营，没有一个突出的中心，每一个概念、定理都是那么重要．就如同一个串联电路，每个知识点就如同一个电路元件，一个元件出问题，整个电路就会受到影响．张景中先生甚至这样形容，“欧几里德把我们引进一个精致瑰丽的古代园林，这儿有目不暇接的美景，却没有方便的交通设施．你不知道哪里才是四通八达的中心车站，只有小心翼翼的跟在这位老向导的后面，沿着一条曲曲折折的小径饱览胜景．稍不留心，就会迷路！”①在这一点上，希尔伯特的《几何基础》更是有过之而无不及，它完善了《几何原本》不那么严密的地方，使得几何知识体系更加严谨，串联式逻辑结构更趋牢固．就是打破欧几里德几何“统治”地位的“非欧几何”也几乎沿用了欧几里德几何的串联式逻辑结构，尽管“非欧几何”的内容已不同于欧几里德几何．
其实，早有学者在关注几何知识的这种串联式逻辑结构，也在探索对其进行改进，以便改变“几何难学、难教”的状况．在20世纪80年代末期，张景中教授就进行了“以面积为中心建立平面几何的推理体系与公理系统”的探索工作，取得了丰硕的成果．一些成果已广泛地应用于中小学几何教学，在一定程度上改善了“几何难教、难学”的状况．但是，这些研究成果很难被中小学几何教材整体接受，如今的中小学几何教材所呈现的几何知识体系在整体上仍旧没有摆脱串联式逻辑结构，因此，笔者认为一是需要教师和学生凭借在日常教学活动中的创造性“工作”，对其加以改进．比如，教师可以尽量为每章、每节找出一个“中心”概念（定理），教学时就应围绕着这个“中心”进行，将概念（定理）之间的串联式联系（图1），改进为辐射式联系（图2），以降低教与学的难度．二是教师应充分重视“过程”的教学．只有让学生经历了质疑、判断、比较、选择的过程，学会了分析、综合、概括等方法，他们才能自主地改变自身认知结构中几何“图式”的串联式逻辑结构，使其具有弹性而富有活力．
（说明：A、B、C、D为四个概念或定理，表示推导、推理）
在新一轮数学课程改革中，我们惊喜地看到了几种版本的初中数学教材对几何知识串联式逻辑结构的关注．在“综合”的大背景下，在尽量保持几何知识原有逻辑结构的基础上，它们的编写都考虑了突出章节“中心”，以求教师教学重、难点的把握和突破．
当然，几何教学只考虑几何知识所具有的这些独特性质是不够的，学生的认知水平和情感态度、教师的教学风格和教学能力等,学生因素、教师因素以及环境因素也应被纳入考虑之列，也只有综合考虑了它们，教师进行高效率的、高质量的几何教学才有可能．
注释：
①张景中等著．《从数学教育到教育数学》．四川教育出版社，第10页
②、③吴开琪译．《21世纪几何教学的展望——国际数学教育委员会（ICMI）1995专题研究讨论文件》．《数学通报》．1995年第5期，第1页
④张奠宙著．《数学教育学》．江西教育出版社，第11页
参考文献
1 张奠宙著.数学教育学导论［M］.北京：高等教育出版社，2003
2［英］C﹒贝利著，沈剑平译．什么是知识．教育学文集