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转化与化归思想是人类认识客观世界最重要的思想方法，也是高中数学学习中最核心的思想方法之一。化归思想一般是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种方法。实际上，在我们学习生涯的一开始每天都在有意无意的运用它。如多元方程要转化成一元方程；分式方程、无理方程要转化为整式方程；空间问题转化为平面问题；任意角三角函数转化成锐角三角函数……正是它应用的广泛性，才体现了它在高中解题教学中的核心地位，也因为它的灵活与多样的特点，使得学生在运用中产生一定的困难。所以在高三的复习中，更要培养学生的化归与转化意识，使它能更加有效地、灵活地指导解题，化复杂为简单、化陌生为熟悉、化抽象为直观、归特殊为一般，提升学生的思维品质。下面我们将通过几个具体的例子谈谈如何在高三复习中运用化归与转化的思想解题。
例1、设关于x的一无二次方程 .
（1）若 从0、1、2、3四个数中任取一个，b从0、1、2三个数中任取一个，求上述方程有实根的概率。
（2）若 从区间[0，3]中任取一个，b从区间[0，2]中任取一个，求上述方程有实根的概率。
这两个小题的共同点是要使方程有实根，即 ，它的充要重要条件是 （这本身就是一种转化）。对（1）小题，我们只要数一数基本事件就可求出其概率为 ，但对第（2）小题，显然是数不出来的。对两个在不同区间的实数 、 ，要使 的概率是多少呢？两个看似不关联的量怎样联系起来呢？这使我们想到线性规划的知识。事件的区域为 ，
用图中阴影部分的面积比上长方形的面积就是
我们的求的概率。经过这样的转化，问题迎
刃而解。
例2 设 为锐角，若 ，则 的值为 。
这是一道常见的三角函数填空题，但从学生的做题反馈来看很不理想。究其原因是没有能将 进行恰当转化，使之与已知角 建立联系。有的学生将 写为 显然与条件相距甚远；有的将 展开，再结合恒等式 求解，此思路虽然简单，但计算冗长，也只好做罢。
这时我们可以换一个思路， ，这样一来问题便得以解决。由 ，得 ，
还可以这样思考：令 为锐角。于是，原问题就转化为：设 为锐角，若 的值，成了学生最熟悉不过的问题。
通常遇到问题我们也会想到转化，但怎么转化就有一个合理性的总原则。在教学中，教师要引导学生认真观察与分析，不断总结，能合情合理得将要解决的问题转化为能够解决的问题，这也是我们在解决问题时的一个方向性原则。
此题的常规解法是：由题意得 ，又 ， ， ，
有没有更好的方法呢？实际上c的大小与m的大小是无关的，只与区间 的宽度有关。如图2，把抛物线左右平移，只要区间 的宽度不变，c的大小就不会改变。那我们只要把抛物线移到一个最特殊的位置上，如图3，此时 ，结果便一目了然了。
此种解法中，我们进行了由一般到特殊的转化，化归到最简单的、最特殊的情况。但是在转化中一定要注意等价性的原则，一但不等价了，就失去了转化的基础。本题在转化中，有好多是变的，m在变，图像在变，图像的方程也在变；但图像的形状不变，区间的宽度不变，最终导致c不变。所以我们要在转化时要辩证的去看变与不变，哪些变是不影响本质的。
例4（12`浙江17题）设 ，若 时均有 则 .
本题的条件是不等式，但要求的是一个确定的值，若直接解不等式，是很难奏效的。换一个角度，我们发现不等式的左边由关于x的一次式和二次式组成，能否通过构造转化成函数来解呢？构造函数 和 ，进一步分析，发现两个函数有一个公共点 。要使它们在x>0时同号，由图分析（如图4），只需它们有公共零点，于是把 代入函数
解得 。
此解法的心路历程是把不等式问题转
化为函数问题，数形结合，找零点，最后用
方程解决。
这是一个很有趣的立体几何题。虽然BC、AD是定长，但其它四条线段的长是变化的，B、C在什么位置的时候四面体的体积会最大呢？直接计算恐怕是不容易得到结果的。我们就从最不易利用的条件AB+BD=AC+CD=2 入手，寻找突破口。展开充分的联想，AB+BD、AC+CD是定值2 ，AD是定值2c……B、C不是在以A、D为焦点有公共长轴的两个椭圆上吗？当 面积最大时四面体的体积会最大，而什么时候 面积最大呢？由椭圆的知识可知，当AB=BD=DC=CA= 时最大.取A、D的中点M，有 且MB=MC= ，于是MN= ， ，四面体的体积 。
对问题的合理转化的前题是能那建立知识间的内在联系。只有通过认真的观察和充分的联想，才能建立起知识间的桥梁。本例中能把立几问题转化为解析几何的有关问题，就是通过这样的观察与联想来实现的。
小结
转化与化归思想有着灵活性、多样性和应用广泛性等特点，没有统一的模式可遵循。因此，我们必须根据问题本身所提供的信息，利用动态的思维，做到具体问题具体分析，从而寻求到有得于问题解决的化归途径和方法。
例1、设关于x的一无二次方程 .
（1）若 从0、1、2、3四个数中任取一个，b从0、1、2三个数中任取一个，求上述方程有实根的概率。
（2）若 从区间[0，3]中任取一个，b从区间[0，2]中任取一个，求上述方程有实根的概率。
这两个小题的共同点是要使方程有实根，即 ，它的充要重要条件是 （这本身就是一种转化）。对（1）小题，我们只要数一数基本事件就可求出其概率为 ，但对第（2）小题，显然是数不出来的。对两个在不同区间的实数 、 ，要使 的概率是多少呢？两个看似不关联的量怎样联系起来呢？这使我们想到线性规划的知识。事件的区域为 ，
用图中阴影部分的面积比上长方形的面积就是
我们的求的概率。经过这样的转化，问题迎
刃而解。
例2 设 为锐角，若 ，则 的值为 。
这是一道常见的三角函数填空题，但从学生的做题反馈来看很不理想。究其原因是没有能将 进行恰当转化，使之与已知角 建立联系。有的学生将 写为 显然与条件相距甚远；有的将 展开，再结合恒等式 求解，此思路虽然简单，但计算冗长，也只好做罢。
这时我们可以换一个思路， ，这样一来问题便得以解决。由 ，得 ，
还可以这样思考：令 为锐角。于是，原问题就转化为：设 为锐角，若 的值，成了学生最熟悉不过的问题。
通常遇到问题我们也会想到转化，但怎么转化就有一个合理性的总原则。在教学中，教师要引导学生认真观察与分析，不断总结，能合情合理得将要解决的问题转化为能够解决的问题，这也是我们在解决问题时的一个方向性原则。
此题的常规解法是：由题意得 ，又 ， ， ，
有没有更好的方法呢？实际上c的大小与m的大小是无关的，只与区间 的宽度有关。如图2，把抛物线左右平移，只要区间 的宽度不变，c的大小就不会改变。那我们只要把抛物线移到一个最特殊的位置上，如图3，此时 ，结果便一目了然了。
此种解法中，我们进行了由一般到特殊的转化，化归到最简单的、最特殊的情况。但是在转化中一定要注意等价性的原则，一但不等价了，就失去了转化的基础。本题在转化中，有好多是变的，m在变，图像在变，图像的方程也在变；但图像的形状不变，区间的宽度不变，最终导致c不变。所以我们要在转化时要辩证的去看变与不变，哪些变是不影响本质的。
例4（12`浙江17题）设 ，若 时均有 则 .
本题的条件是不等式，但要求的是一个确定的值，若直接解不等式，是很难奏效的。换一个角度，我们发现不等式的左边由关于x的一次式和二次式组成，能否通过构造转化成函数来解呢？构造函数 和 ，进一步分析，发现两个函数有一个公共点 。要使它们在x>0时同号，由图分析（如图4），只需它们有公共零点，于是把 代入函数
解得 。
此解法的心路历程是把不等式问题转
化为函数问题，数形结合，找零点，最后用
方程解决。
这是一个很有趣的立体几何题。虽然BC、AD是定长，但其它四条线段的长是变化的，B、C在什么位置的时候四面体的体积会最大呢？直接计算恐怕是不容易得到结果的。我们就从最不易利用的条件AB+BD=AC+CD=2 入手，寻找突破口。展开充分的联想，AB+BD、AC+CD是定值2 ，AD是定值2c……B、C不是在以A、D为焦点有公共长轴的两个椭圆上吗？当 面积最大时四面体的体积会最大，而什么时候 面积最大呢？由椭圆的知识可知，当AB=BD=DC=CA= 时最大.取A、D的中点M，有 且MB=MC= ，于是MN= ， ，四面体的体积 。
对问题的合理转化的前题是能那建立知识间的内在联系。只有通过认真的观察和充分的联想，才能建立起知识间的桥梁。本例中能把立几问题转化为解析几何的有关问题，就是通过这样的观察与联想来实现的。
小结
转化与化归思想有着灵活性、多样性和应用广泛性等特点，没有统一的模式可遵循。因此，我们必须根据问题本身所提供的信息，利用动态的思维，做到具体问题具体分析，从而寻求到有得于问题解决的化归途径和方法。