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我们知道,函数图像能直观反映出函数的所有性质.抓住了函数的图像,也就抓住了函数的“命脉”.那么,在高考一轮复习中,我们应如何复习函数的图像呢?请看“函数图像复习三步曲”.
第一步、学会作图
例1分别画出下列函数的图像:
(1)y=|lg(x-1)|;(2)y=2x+1-1;(3)y=x2-|x|-2.
解析:(1)首先作出y=lgx的图像C1,然后将C1向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图像C2,再把C2在x轴下方的图像作关于x轴对称的图像,即为所求图像C3:y=|lg(x-1)|.如图(1)所示(实线部分).
(2)y=2x+1-1的图像可由y=2x的图像向左平移1个单位,得y=2x+1的图像,再向下平移一个单位得到,如图(2)所示.
(3)y=x2-|x|-2=x2-x-2(x≥0)
x2+x-2(x<0),其图像如图(3)所示.
小结:画函数图像的一般方法:
(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时,可根据这些函数或曲线的特征直接作出.
(2)图像变换法:若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利用图像变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
(3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到比较准确的图像,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.
第二步、学会识图
例2(1)(2014·浙江改编)如下图,在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图像可能是(填序号)
解析:只有④符合,此时0 (2)(2014·山东改编)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则a的取值范围是,c的取值范围是.
解析:由该函数的图像通过第一、二、四象限,得该函数是减函数,
∴0 ∵图像与x轴的交点在区间(0,1)之间,
∴该函数的图像是由函数y=logax的图像向左平移不到1个单位后得到的,∴0 (3)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图像如图所示,则在下面四个图中,y=-f(2-x)的图像为.
解析:法一:由y=f(x)的图像知
f(x)=x(0≤x≤1),
1(1 当x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],
所以f(2-x)=1(0≤x≤1),
2-x(1 故y=-f(2-x)=-1(0≤x≤1),
x-2(1 法二:当x=0时,-f(2-x)=-f(2)=-1;
当x=1时,-f(2-x)=-f(1)=-1.观察各选项,可知应选B.
小结:对于给定函数的图像,要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息,解决这类问题的常用方法有:(1)定性分析法,也就是通过对问题进行定性的分析,从而得出图像的上升(或下降)的趋势,利用这一特征来分析解决问题;(2)定量计算法,也就是通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法,也就是由所提供的图像特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.
第三步、学会用图
例3(1)(2014·江苏)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.
解析:画出二次函数的分析简图(如图):
分析图像知:开口向上的二次函数f(x)在[m,n]上恒小于0的充要条件为f(m)<0,
f(n)<0.开口向下的二次函数f(x)在[m,n]上恒大于0的充要条件为f(m)>0,
f(n)>0.
∴f(m)<0,
f(m+1)<0.-22 -32 (2)(2014·江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2-2x+12|.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.
解析:作出函数f(x)=|x2-2x+12|,x∈[0,3)的图像(如图),可知f(0)=12,当x=1时,f(x)极大=12,f(3)=72,方程f(x)-a=0在x∈[-3,4]上有10个零点,即函数y=f(x)的图像与直线y=a在[-3,4]上有10个交点,由于函数f(x)的周期为3,因此直线y=a与函数f(x)=|x2-2x+12|,x∈[0,3)的图像有4个交点,则a∈(0,12).
(3)(2009·盐城模拟)若关于x的不等式2-x2>|x-a|至少有一个负数解,则实数a的取值范围是.
解析:在同一坐标系中画出函数f(x)=2-x2,g(x)=|x-a|的图像,如图所示.
若a≤0,则其临界情况为折线g(x)=|x-a|与抛物线f(x)=2-x2相切,由2-x2=x-a可得x2+x-a-2=0,由Δ=1+4·(a+2)=0,解得a=-94;
若a>0,则其临界情况为两函数图像的交点为(0,2),此时a=2.结合图像可知,实数a的取值范围是(-94,2).
小结:函数图像的应用主要涉及两类问题:一类是利用函数的图像研究函数的性质.从图像的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图像的对称性,分析函数的奇偶性;从图像的走向趋势,分析函数的单调性、周期性和函数值的正负等,如本例中的第(1)题;另一类是利用函数的图像研究方程根的个数.有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数;利用此法也可由解的个数求参数值,如本例中的第(2)、(3)题.
(作者:王佩其,江苏省太仓高级中学)
第一步、学会作图
例1分别画出下列函数的图像:
(1)y=|lg(x-1)|;(2)y=2x+1-1;(3)y=x2-|x|-2.
解析:(1)首先作出y=lgx的图像C1,然后将C1向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图像C2,再把C2在x轴下方的图像作关于x轴对称的图像,即为所求图像C3:y=|lg(x-1)|.如图(1)所示(实线部分).
(2)y=2x+1-1的图像可由y=2x的图像向左平移1个单位,得y=2x+1的图像,再向下平移一个单位得到,如图(2)所示.
(3)y=x2-|x|-2=x2-x-2(x≥0)
x2+x-2(x<0),其图像如图(3)所示.
小结:画函数图像的一般方法:
(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时,可根据这些函数或曲线的特征直接作出.
(2)图像变换法:若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利用图像变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
(3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到比较准确的图像,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.
第二步、学会识图
例2(1)(2014·浙江改编)如下图,在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图像可能是(填序号)
解析:只有④符合,此时0 (2)(2014·山东改编)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则a的取值范围是,c的取值范围是.
解析:由该函数的图像通过第一、二、四象限,得该函数是减函数,
∴0 ∵图像与x轴的交点在区间(0,1)之间,
∴该函数的图像是由函数y=logax的图像向左平移不到1个单位后得到的,∴0
解析:法一:由y=f(x)的图像知
f(x)=x(0≤x≤1),
1(1
所以f(2-x)=1(0≤x≤1),
2-x(1
x-2(1
当x=1时,-f(2-x)=-f(1)=-1.观察各选项,可知应选B.
小结:对于给定函数的图像,要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息,解决这类问题的常用方法有:(1)定性分析法,也就是通过对问题进行定性的分析,从而得出图像的上升(或下降)的趋势,利用这一特征来分析解决问题;(2)定量计算法,也就是通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法,也就是由所提供的图像特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.
第三步、学会用图
例3(1)(2014·江苏)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.
解析:画出二次函数的分析简图(如图):
分析图像知:开口向上的二次函数f(x)在[m,n]上恒小于0的充要条件为f(m)<0,
f(n)<0.开口向下的二次函数f(x)在[m,n]上恒大于0的充要条件为f(m)>0,
f(n)>0.
∴f(m)<0,
f(m+1)<0.-22
解析:作出函数f(x)=|x2-2x+12|,x∈[0,3)的图像(如图),可知f(0)=12,当x=1时,f(x)极大=12,f(3)=72,方程f(x)-a=0在x∈[-3,4]上有10个零点,即函数y=f(x)的图像与直线y=a在[-3,4]上有10个交点,由于函数f(x)的周期为3,因此直线y=a与函数f(x)=|x2-2x+12|,x∈[0,3)的图像有4个交点,则a∈(0,12).
(3)(2009·盐城模拟)若关于x的不等式2-x2>|x-a|至少有一个负数解,则实数a的取值范围是.
解析:在同一坐标系中画出函数f(x)=2-x2,g(x)=|x-a|的图像,如图所示.
若a≤0,则其临界情况为折线g(x)=|x-a|与抛物线f(x)=2-x2相切,由2-x2=x-a可得x2+x-a-2=0,由Δ=1+4·(a+2)=0,解得a=-94;
若a>0,则其临界情况为两函数图像的交点为(0,2),此时a=2.结合图像可知,实数a的取值范围是(-94,2).
小结:函数图像的应用主要涉及两类问题:一类是利用函数的图像研究函数的性质.从图像的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图像的对称性,分析函数的奇偶性;从图像的走向趋势,分析函数的单调性、周期性和函数值的正负等,如本例中的第(1)题;另一类是利用函数的图像研究方程根的个数.有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数;利用此法也可由解的个数求参数值,如本例中的第(2)、(3)题.
(作者:王佩其,江苏省太仓高级中学)