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摘 要：任何一种测量结果的测量值与客观存在的真值之间总会或多或少地存在一定的差值，这种差值称为该测量值的测量误差（又称为测量值的真误差），简称“误差”。误差存在于一切测量之中，一个优秀的测量工作者，应该是在一定的要求下，以最低的代价来取得最佳的结果，要做到既保证必要的测量精度又合理地节省人力与物力。
关键词：测量误差；测量精度
一、测量误差的概念
任何一种测量结果的测量值与客观存在的真值之间总会或多或少地存在一定的差值，这种差值称为该测量值的测量误差（又称为测量值的真误差），简称“误差”。
我们可以这样定义误差：设某量的真值为x，对其进行n次观测，得到n个观测值：L1，L2，L3，…，Ln，则第i个观测值的真误差为：[Δi=Li-Xi=1，2，3，…，n。]
误差存在于一切测量之中，一个优秀的测量工作者，应该是在一定的要求下，以最低的代价来取得最佳的结果，要做到既保证必要的测量精度又合理地节省人力与物力。
二、测量误差产生的原因
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。具体来说，测量误差主要来自以下四个方面：①外界条件。主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差；②仪器条件。仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差；③方法。理论公式的近似限制或测量方法的不完善；④观测者的自身条件。由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。研究测量误差的目的，是为了尽可能减少测量误差，提高测量的精确度。
三、测量误差的表示方法
误差常用的表示方法有两种：绝对误差（真误差、中误差等）和相对误差。
1.真误差。真误差Δ的定义为测量值L与真值X之差，即Δ=L-X。
采用真误差来表示测量误差往往不能很确切地表明测量质量地好坏。例如，用钢卷尺量200m和40m两段距离，它们的真误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的，显然前者的相对精度比后者要高。
2.中误差。中误差又称标准差，或称均方差、方根差。在相同的观测条件下，对真值为X的一个未知量L进行了n次观测，观测值分别为L1，L2，L3，…，Ln，每个观测值相应的真误差（观测值与真值之差。）分别为：Δ1，Δ2，Δ3，Δn，则以各个真误差之平方和的平均数的平方根作为精度评定的标准称为观测值的中误差，简称为“中误差”，用符号m表示，即[m=±Δ21+Δ22+Δ23+…+Δ2nn]。 （公式一）
一组观测值的测量误差愈大，中误差也就愈大，其精度就愈低；反之，一组观测值的测量误差愈小，中误差也就愈小，其精度就愈高。
练习1：甲、乙两个小组，各自在相同的观测条件下，对某三角形内角和分别进行了8次观测，求得每次三角形内角和的真误差分别为：
甲组：-3″，+3″，-1″，-3″，+4″，+2″，-1″，-4″；
乙组：+1″，-5″，-1″，+6″，-4″，0″，+3″，-1″。
求两组观测值的中误差，并分析两组观测值的精度。
解：由中误差公式一可得：
[m甲=±-32+32+-12+-32+42+22+-12+-428][=±2.9″]，
[m乙=±12+-52+-12+62+-42+02+32+-128][=±3.3″]。
由此可知，甲组观测精度高于乙组。同时通过乙组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可以判断出乙组的观测值的稳定性较差，则精度较低。
3.相对误差。对于衡量精度来说，在很多情况下，仅仅知道观测中的绝对误差大小还不能完全表达观测精度的好坏，为此必须再引入相对误差。
相对误差δ的定义为绝对误差的绝对值与真值x的比值，用百分数表示，即：[δ=∣Δ∣X×100%]。
[9.65=3.10644≈3.11]（保留3位有效数字）。
实际测量过程中，相对误差一般用于长度、面积、体积、流量等物理量测量中。由于角度误差的大小主要是观测两个方向引起的，并不依赖角度大小的变化，因此角度测量不采用相对误差。
练习2：观测两段距离，分别为1000m±2cm和500±2cm，问这两段距离的真误差是否相等？它们的相对精度是否相同？
解：这两段距离的真误差相等，均为±2cm。它们的相对误差分别为：[δ1=∣±0.02∣1000×100%=0.02%]，[δ2=∣±0.02∣500×100%=0.04%]，则[δ1﹤δ2]，所以前一段距离的观测精度要高于后一段距离。
真值是一个变量本身所具有的真实值，它是一个理想的概念，一般是无法得到的，是不能被准确测量的，计算时一般用观测值的算术平均值（即最或然值）来代替真值。
观测值L与观测值的算术平均值[x]之差，称为观测值的改正数，一般用V表示，则[V1=L1-XV2=L2-XV3=L3-X…Vn=Ln-X]式中Vi为第i次观测值的改正数，可代替真误差，Li为第i次观测的观测值（i=1，2，3，…，n）。
利用观测值的改正数代替真误差，计算观测值的中误差公式为：
[m=±V21+V22+V23+…+V2nn-1]。 （公式二）
计算算术平均值中误差公式为：
[mx=±V21+V22+V23+…+V2nn（n-1）]。 （公式三）
由公式二和公式三可知，算术平均值（最或然值）中误差是观测值中误差的[1n]倍，这说明最或然值的精度比观测值的精度要高。所以多次觀测取其平均值，是减少偶然误差影响、提高成果精度的有效方法。
此时计算相对误差公式为：[δ=∣mx∣X×100%]。 （公式四）
关键词：测量误差；测量精度
一、测量误差的概念
任何一种测量结果的测量值与客观存在的真值之间总会或多或少地存在一定的差值，这种差值称为该测量值的测量误差（又称为测量值的真误差），简称“误差”。
我们可以这样定义误差：设某量的真值为x，对其进行n次观测，得到n个观测值：L1，L2，L3，…，Ln，则第i个观测值的真误差为：[Δi=Li-Xi=1，2，3，…，n。]
误差存在于一切测量之中，一个优秀的测量工作者，应该是在一定的要求下，以最低的代价来取得最佳的结果，要做到既保证必要的测量精度又合理地节省人力与物力。
二、测量误差产生的原因
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。具体来说，测量误差主要来自以下四个方面：①外界条件。主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差；②仪器条件。仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差；③方法。理论公式的近似限制或测量方法的不完善；④观测者的自身条件。由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。研究测量误差的目的，是为了尽可能减少测量误差，提高测量的精确度。
三、测量误差的表示方法
误差常用的表示方法有两种：绝对误差（真误差、中误差等）和相对误差。
1.真误差。真误差Δ的定义为测量值L与真值X之差，即Δ=L-X。
采用真误差来表示测量误差往往不能很确切地表明测量质量地好坏。例如，用钢卷尺量200m和40m两段距离，它们的真误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的，显然前者的相对精度比后者要高。
2.中误差。中误差又称标准差，或称均方差、方根差。在相同的观测条件下，对真值为X的一个未知量L进行了n次观测，观测值分别为L1，L2，L3，…，Ln，每个观测值相应的真误差（观测值与真值之差。）分别为：Δ1，Δ2，Δ3，Δn，则以各个真误差之平方和的平均数的平方根作为精度评定的标准称为观测值的中误差，简称为“中误差”，用符号m表示，即[m=±Δ21+Δ22+Δ23+…+Δ2nn]。 （公式一）
一组观测值的测量误差愈大，中误差也就愈大，其精度就愈低；反之，一组观测值的测量误差愈小，中误差也就愈小，其精度就愈高。
练习1：甲、乙两个小组，各自在相同的观测条件下，对某三角形内角和分别进行了8次观测，求得每次三角形内角和的真误差分别为：
甲组：-3″，+3″，-1″，-3″，+4″，+2″，-1″，-4″；
乙组：+1″，-5″，-1″，+6″，-4″，0″，+3″，-1″。
求两组观测值的中误差，并分析两组观测值的精度。
解：由中误差公式一可得：
[m甲=±-32+32+-12+-32+42+22+-12+-428][=±2.9″]，
[m乙=±12+-52+-12+62+-42+02+32+-128][=±3.3″]。
由此可知，甲组观测精度高于乙组。同时通过乙组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可以判断出乙组的观测值的稳定性较差，则精度较低。
3.相对误差。对于衡量精度来说，在很多情况下，仅仅知道观测中的绝对误差大小还不能完全表达观测精度的好坏，为此必须再引入相对误差。
相对误差δ的定义为绝对误差的绝对值与真值x的比值，用百分数表示，即：[δ=∣Δ∣X×100%]。
[9.65=3.10644≈3.11]（保留3位有效数字）。
实际测量过程中，相对误差一般用于长度、面积、体积、流量等物理量测量中。由于角度误差的大小主要是观测两个方向引起的，并不依赖角度大小的变化，因此角度测量不采用相对误差。
练习2：观测两段距离，分别为1000m±2cm和500±2cm，问这两段距离的真误差是否相等？它们的相对精度是否相同？
解：这两段距离的真误差相等，均为±2cm。它们的相对误差分别为：[δ1=∣±0.02∣1000×100%=0.02%]，[δ2=∣±0.02∣500×100%=0.04%]，则[δ1﹤δ2]，所以前一段距离的观测精度要高于后一段距离。
真值是一个变量本身所具有的真实值，它是一个理想的概念，一般是无法得到的，是不能被准确测量的，计算时一般用观测值的算术平均值（即最或然值）来代替真值。
观测值L与观测值的算术平均值[x]之差，称为观测值的改正数，一般用V表示，则[V1=L1-XV2=L2-XV3=L3-X…Vn=Ln-X]式中Vi为第i次观测值的改正数，可代替真误差，Li为第i次观测的观测值（i=1，2，3，…，n）。
利用观测值的改正数代替真误差，计算观测值的中误差公式为：
[m=±V21+V22+V23+…+V2nn-1]。 （公式二）
计算算术平均值中误差公式为：
[mx=±V21+V22+V23+…+V2nn（n-1）]。 （公式三）
由公式二和公式三可知，算术平均值（最或然值）中误差是观测值中误差的[1n]倍，这说明最或然值的精度比观测值的精度要高。所以多次觀测取其平均值，是减少偶然误差影响、提高成果精度的有效方法。
此时计算相对误差公式为：[δ=∣mx∣X×100%]。 （公式四）