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【摘要】数学模型思想是数学思想中较高层次的思想之一，也是儿童学习数学的必备品质.2011版课标更是将数学模型思想作为10个核心概念中唯一一个以“思想”指称的概念，模型思想的建立是帮助儿童联系和理解数学与外部世界的基本途径，让儿童理解抽象的数学的魔法，更能让儿童体验学习数学的乐趣.
【关键词】建模思想;数学教学;培育
一、数学建模思想在教学中存在的问题及成因剖析
当前的小学数学教学存在着“重”方法、技能的训练，“轻”数学思想的渗透的现象，我们分析课程内容，发现数学概念、法则、公式、数量关系、规律等大部分课程都可以理解为数学模型，但实际教学中教师们建模意识淡薄，建模过程走马观花，建模思想流于空洞化、形式化、表面化.
1.建模意识过于淡薄，只注重传授结论
【案例】苏教版一年级上册第100页“20以内进位加法表”（如图1）
图1
教师引导学生发现规律时，一年级学生看到的规律只是表面现象，或者发现规律却不能清晰地表达，最终还是教师总结规律，学生听.
【成因剖析】教师的想法过于简单，认为总结规律就是教学目标，没有引导学生建立函数模型的意识，更加觉得渗透函数建模对于低年级儿童太抽象，从而更注重传授结论.
2.建模过程流于形式，只注重模型结果
【案例】苏教版五年级下册第92页“圆的周长”
教学中教师指导学生初步感知圆周长大约是直径的3倍，教师再让学生动手测量大小不同的圆的周长，并进行计算，学生会发现周长除以直径的商总是3多一些.个别学生提早预习了内容，知道该值在3.14左右，于是在操作过程中直接运用这一结果计算周长，假装自己量过周长.在全班交流时，教师也会偏重3.1-3.2的结论的回答，对于部分孩子算出2.9或其他离谱答案的直接无视.
【成因剖析】教师忽视了一些学生的答案，主要是过于关注完成教学任务，担心会浪费课堂时间，只要能建立圆周长计算公式的模型即可.儿童的探索过程流于形式，甚至存在没有动手测量圆周长的现象，没有真正经历建模过程.
3.建模过程基本忽视，只注重强化练习
【案例】教学苏教版六年级下册第76页“整理与复习简便计算”
本节课由教师带领学生复习学过的运算律.经过三年的简便计算练习，学生已经能娴熟地运用运算定律模型解决各种简便计算问题，但是学生对于运算律模型中只有加法和乘法，没有减法和除法心中还是存在一定疑虑的.
【成因剖析】教师过于关注技能训练，认为学生只要能利用模型解决问题即可，但是这些模型是较单一、线性的知识结构，无法最大限度地让儿童整合多类问题，导致模型网状结构的缺失.
二、培育儿童数学建模品质的策略
数学学习的过程也是一个探索的过程，是为了让儿童经历类似于数学家建模再创造的过程，但是很多模型已经是数学家和物理学家们的成果，它们已经被“浓缩”了，隐去了曲折、复杂的思维过程，呈现出经过整理加工的严密、抽象、精炼的结论，而使其诞生的那些思想方法往往隐为内在形式，成为数学结构系统的具有潜在价值的“内河流”.数学教学工作的一项重要任务，就是揭开数学这种严谨、抽象的面纱.在探究过程中将思维过程和思维方法全部教给学生，教师就需要挖掘出具有建模思想的教学内容，经过精心设计在课堂上有意识地渗透，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程并进行解释与应用，从而培育儿童数学建模的思想.
（一）催生建模意识，启发儿童探索模型
创设问题情境实际上就是将数学模型“还原”的过程，也是儿童主动学习的前提.在儿童建模的原点创设情境，将现實生活中与数学学习有关的素材及时引入课堂，寻找生活原型和数学对象之间的思维对应点，在课堂上以问题情境的方式展示给学生.这样既能激发学生探索模型的兴趣，又能使学生用经验解决数学问题，培养儿童将生活问题抽象成数学问题的意识.
例如，教学苏教版三年级上册第41页“长方形、正方形周长的计算”时，适当改变例3和“试一试”的问题形式，“篮球场长28米，宽15米.小明围着篮球场跑一圈大约跑了多少米？”“一块正方形手帕的边长是25厘米，给它缝一圈花边，花边大约要多长？”这些提问将生活问题直接指向“长方形或正方形的周长是多少？”这一数学问题.在解答过程中进一步明确了周长的概念，又自然地引入了长方形、正方形周长计算公式的模型.
教师应积极创设问题情境，让儿童在观察和比较中初步感受模型系统的特征，理解问题的实际背景，为数学模型的建构奠定扎实的基础.
（二）助推建模能力，磨砺儿童建立模型
1.建模结构丰满化，寻找新知与旧知的连接点
数学知识之间都是互相串联的，所以新模型构建可以有效利用之前旧模型建立的经验.教师可引导学生找到新旧模型之间的连接点，不断丰富建模经验.
例如，教学苏教版六年级上册第15页“圆柱的体积”时，教师可以引导学生回忆圆面积公式模型的建立过程，启发学生想办法将圆柱体积转化成已知几何体的体积.在探究过程中，引导学生去发现不同模型的共同点，回忆建模过程，将有联系的模型构建成网状结构，从而不断丰满模型结构.
2.建模过程多元化，寻找数与形的融合点
建模过程是一个抽象的过程，儿童如果只是学习知识的表象，没有理解抽象后的数学模型是不能真正吸收知识的.教师可以利用代数与图形的完美结合帮助学生理解原本抽象的模型.
例如，教学苏教版四年级下册第62页的“乘法分配律”时，学生经历归纳推理的过程，建立乘法分配律的定律模型后，教师还可以引导学生将其与学过的图形面积计算融合起来，（如图2）帮助学生进一步理解分配定律模型.
提问：在图中，你找到乘法分配律了吗？谁相当于a？谁相当于b？（a b）×c表示什么？a×c b×c表示什么？ 建模的过程不应该是单一的，应该运用不同的思想与方法呈现多元化的模型，辅助几何直观、推理能力等深刻理解模型，慢慢积累建模经验，从而更好地应用模型.
3.建模经验类比化，寻找知识与体系的结合点
数学的知识是一个大型的体系网，教师在平时教学时要根据学生的不同特点和学习内容的不同要求，善于将模型结构中的单一模型的建构经验进行类比，增加学生自主迁移建模经验，进行类比，从而建立新模型.
例如，教学苏教版六年级上册第55页的“比的基本性质”时，教师可以带领学生先复习一下以前学过的除法商不变的规律和分数的基本性质，然后提问：既然除法有商不变规律，分数有分数的基本性质，那么与除法、分数密切相关的比会有什么性质呢？如果有，可能是什么呢？
建模经验是不断累积的，要引导学生关注前后知识的联系，将新学知识与已有知识体系有效结合，让学生在建模过程中学会举一反三，在类比中进行正迁移，积累建模类比经验.
（三）延展建模应用，激活儿童完善模型
模型不应该仅仅是简单的套用，这可能导致学生形成思维定式或产生惰性，无法完善建构模型之间的联系，从而导致不能灵活运用模型解决实际问题.因此，運用模型解决实际问题，除了设置不同情境但同一本质的数学问题外，还要进行延展，将所学模型与不同模型或模型相同但形式不同的实际问题进行对比，提升学生灵活运用模型解决问题的能力.
1.转换视角，拓展运用模型
根据模型解决问题是一种能力，但是根据模型创编习题组就是高于解决问题的另一种能力，说明儿童真正掌握了模型的本质.
例如，教学苏教版六年级上册第106页的第10题（如图4），第（1）、（2）问是书上呈现的，在比较（1）和（2）的异同后，学生明确了倍数模型和分数模型的联系，教师再次提问：你还能提出什么条件让解题方法不变？
学生有补充百分数的，有改编成比的.从编出的习题可以看出学生掌握了倍、分数、比和百分数的模型结构，四者之间既有联系又有区别，学生通过自主拓展完善了模型结构.
2.灵活变式，形成模型链
很多数学问题都有一个核心模型，再演变出其他模型.如果教师没有对核心模型进行变式，就难以引领学生纵向深入思维，所探究新模型就难以纳入已有或后续所学的模型体系，更无法灵活运用模型解决实际问题.
例如，上面提到的乘法分配律（a b）×c=a×c b×c这个基本模型，可以将面积图灵活变化（如图5），进一步拓展乘法分配律的变式模型，比如（a b c …）×d=a×d b×d c×d …或（a-b）×c=a×c-b×c等.
因此，在核心模型建立后，深入挖掘模型的变式，可以激发学生思维，让学习能力强的学生思维得到更好的发展，从而形成模型链.
3.整合统一，整体感知模型体系
如果以前学习的知识相当于一棵棵的树，那么当儿童进入复习阶段时，就应该看见一片森林、一片美丽的风景.学生对学习过的数学知识进行系统的、结构化的梳理整合后，能够在思想方法上进行提升，感知整体模型体系，有助于模型的整合统一.
例如，教学苏教版六年级下册第74页“整理与复习——数的运算”（如表1）
加减法计算法则的模型的建立历经了小学五年的时间，在部分学生眼中，整数、小数、分数的计算法则的模型都不相同，但其实本质上是一个模型，即相同的计数单位才能相加减，如果将其纳入统一的模型体系，计算法则的本质就“显山显水”了.
三、总结
不管是数学概念的建立、数学规律的发现，还是数学问题的解决，核心问题在于数学思想方法的培养和建立.建模思想的培育不是短期训练便能见效的，需要经历一个从量变到质变的长期渗透的过程，是一个循序渐进、不断积累经验的过程.长此以往，学生在面对问题时，才会站得高，思路广，对数学的理解就会由量的积累发展到质的飞跃，从而促进学生的可持续发展.当然，建模思想在小学阶段只需要“渗透”，无须进一步“强调突出”.
【参考文献】
[1]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.
[2]史宁中.义务教育数学课程标准 （ 2011 年版） 解读 [M].北京： 北京师范大学出版，2012.
[3]张海燕.数学建模思想在小学数学教学中的应用[J].现代教育，2015（10）：88.
[4]左文艳.小学数学教学中渗透建模思想的意义和策略[J].江苏教育研究，2013（20）： 59-60.
【关键词】建模思想;数学教学;培育
一、数学建模思想在教学中存在的问题及成因剖析
当前的小学数学教学存在着“重”方法、技能的训练，“轻”数学思想的渗透的现象，我们分析课程内容，发现数学概念、法则、公式、数量关系、规律等大部分课程都可以理解为数学模型，但实际教学中教师们建模意识淡薄，建模过程走马观花，建模思想流于空洞化、形式化、表面化.
1.建模意识过于淡薄，只注重传授结论
【案例】苏教版一年级上册第100页“20以内进位加法表”（如图1）
图1
教师引导学生发现规律时，一年级学生看到的规律只是表面现象，或者发现规律却不能清晰地表达，最终还是教师总结规律，学生听.
【成因剖析】教师的想法过于简单，认为总结规律就是教学目标，没有引导学生建立函数模型的意识，更加觉得渗透函数建模对于低年级儿童太抽象，从而更注重传授结论.
2.建模过程流于形式，只注重模型结果
【案例】苏教版五年级下册第92页“圆的周长”
教学中教师指导学生初步感知圆周长大约是直径的3倍，教师再让学生动手测量大小不同的圆的周长，并进行计算，学生会发现周长除以直径的商总是3多一些.个别学生提早预习了内容，知道该值在3.14左右，于是在操作过程中直接运用这一结果计算周长，假装自己量过周长.在全班交流时，教师也会偏重3.1-3.2的结论的回答，对于部分孩子算出2.9或其他离谱答案的直接无视.
【成因剖析】教师忽视了一些学生的答案，主要是过于关注完成教学任务，担心会浪费课堂时间，只要能建立圆周长计算公式的模型即可.儿童的探索过程流于形式，甚至存在没有动手测量圆周长的现象，没有真正经历建模过程.
3.建模过程基本忽视，只注重强化练习
【案例】教学苏教版六年级下册第76页“整理与复习简便计算”
本节课由教师带领学生复习学过的运算律.经过三年的简便计算练习，学生已经能娴熟地运用运算定律模型解决各种简便计算问题，但是学生对于运算律模型中只有加法和乘法，没有减法和除法心中还是存在一定疑虑的.
【成因剖析】教师过于关注技能训练，认为学生只要能利用模型解决问题即可，但是这些模型是较单一、线性的知识结构，无法最大限度地让儿童整合多类问题，导致模型网状结构的缺失.
二、培育儿童数学建模品质的策略
数学学习的过程也是一个探索的过程，是为了让儿童经历类似于数学家建模再创造的过程，但是很多模型已经是数学家和物理学家们的成果，它们已经被“浓缩”了，隐去了曲折、复杂的思维过程，呈现出经过整理加工的严密、抽象、精炼的结论，而使其诞生的那些思想方法往往隐为内在形式，成为数学结构系统的具有潜在价值的“内河流”.数学教学工作的一项重要任务，就是揭开数学这种严谨、抽象的面纱.在探究过程中将思维过程和思维方法全部教给学生，教师就需要挖掘出具有建模思想的教学内容，经过精心设计在课堂上有意识地渗透，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程并进行解释与应用，从而培育儿童数学建模的思想.
（一）催生建模意识，启发儿童探索模型
创设问题情境实际上就是将数学模型“还原”的过程，也是儿童主动学习的前提.在儿童建模的原点创设情境，将现實生活中与数学学习有关的素材及时引入课堂，寻找生活原型和数学对象之间的思维对应点，在课堂上以问题情境的方式展示给学生.这样既能激发学生探索模型的兴趣，又能使学生用经验解决数学问题，培养儿童将生活问题抽象成数学问题的意识.
例如，教学苏教版三年级上册第41页“长方形、正方形周长的计算”时，适当改变例3和“试一试”的问题形式，“篮球场长28米，宽15米.小明围着篮球场跑一圈大约跑了多少米？”“一块正方形手帕的边长是25厘米，给它缝一圈花边，花边大约要多长？”这些提问将生活问题直接指向“长方形或正方形的周长是多少？”这一数学问题.在解答过程中进一步明确了周长的概念，又自然地引入了长方形、正方形周长计算公式的模型.
教师应积极创设问题情境，让儿童在观察和比较中初步感受模型系统的特征，理解问题的实际背景，为数学模型的建构奠定扎实的基础.
（二）助推建模能力，磨砺儿童建立模型
1.建模结构丰满化，寻找新知与旧知的连接点
数学知识之间都是互相串联的，所以新模型构建可以有效利用之前旧模型建立的经验.教师可引导学生找到新旧模型之间的连接点，不断丰富建模经验.
例如，教学苏教版六年级上册第15页“圆柱的体积”时，教师可以引导学生回忆圆面积公式模型的建立过程，启发学生想办法将圆柱体积转化成已知几何体的体积.在探究过程中，引导学生去发现不同模型的共同点，回忆建模过程，将有联系的模型构建成网状结构，从而不断丰满模型结构.
2.建模过程多元化，寻找数与形的融合点
建模过程是一个抽象的过程，儿童如果只是学习知识的表象，没有理解抽象后的数学模型是不能真正吸收知识的.教师可以利用代数与图形的完美结合帮助学生理解原本抽象的模型.
例如，教学苏教版四年级下册第62页的“乘法分配律”时，学生经历归纳推理的过程，建立乘法分配律的定律模型后，教师还可以引导学生将其与学过的图形面积计算融合起来，（如图2）帮助学生进一步理解分配定律模型.
提问：在图中，你找到乘法分配律了吗？谁相当于a？谁相当于b？（a b）×c表示什么？a×c b×c表示什么？ 建模的过程不应该是单一的，应该运用不同的思想与方法呈现多元化的模型，辅助几何直观、推理能力等深刻理解模型，慢慢积累建模经验，从而更好地应用模型.
3.建模经验类比化，寻找知识与体系的结合点
数学的知识是一个大型的体系网，教师在平时教学时要根据学生的不同特点和学习内容的不同要求，善于将模型结构中的单一模型的建构经验进行类比，增加学生自主迁移建模经验，进行类比，从而建立新模型.
例如，教学苏教版六年级上册第55页的“比的基本性质”时，教师可以带领学生先复习一下以前学过的除法商不变的规律和分数的基本性质，然后提问：既然除法有商不变规律，分数有分数的基本性质，那么与除法、分数密切相关的比会有什么性质呢？如果有，可能是什么呢？
建模经验是不断累积的，要引导学生关注前后知识的联系，将新学知识与已有知识体系有效结合，让学生在建模过程中学会举一反三，在类比中进行正迁移，积累建模类比经验.
（三）延展建模应用，激活儿童完善模型
模型不应该仅仅是简单的套用，这可能导致学生形成思维定式或产生惰性，无法完善建构模型之间的联系，从而导致不能灵活运用模型解决实际问题.因此，運用模型解决实际问题，除了设置不同情境但同一本质的数学问题外，还要进行延展，将所学模型与不同模型或模型相同但形式不同的实际问题进行对比，提升学生灵活运用模型解决问题的能力.
1.转换视角，拓展运用模型
根据模型解决问题是一种能力，但是根据模型创编习题组就是高于解决问题的另一种能力，说明儿童真正掌握了模型的本质.
例如，教学苏教版六年级上册第106页的第10题（如图4），第（1）、（2）问是书上呈现的，在比较（1）和（2）的异同后，学生明确了倍数模型和分数模型的联系，教师再次提问：你还能提出什么条件让解题方法不变？
学生有补充百分数的，有改编成比的.从编出的习题可以看出学生掌握了倍、分数、比和百分数的模型结构，四者之间既有联系又有区别，学生通过自主拓展完善了模型结构.
2.灵活变式，形成模型链
很多数学问题都有一个核心模型，再演变出其他模型.如果教师没有对核心模型进行变式，就难以引领学生纵向深入思维，所探究新模型就难以纳入已有或后续所学的模型体系，更无法灵活运用模型解决实际问题.
例如，上面提到的乘法分配律（a b）×c=a×c b×c这个基本模型，可以将面积图灵活变化（如图5），进一步拓展乘法分配律的变式模型，比如（a b c …）×d=a×d b×d c×d …或（a-b）×c=a×c-b×c等.
因此，在核心模型建立后，深入挖掘模型的变式，可以激发学生思维，让学习能力强的学生思维得到更好的发展，从而形成模型链.
3.整合统一，整体感知模型体系
如果以前学习的知识相当于一棵棵的树，那么当儿童进入复习阶段时，就应该看见一片森林、一片美丽的风景.学生对学习过的数学知识进行系统的、结构化的梳理整合后，能够在思想方法上进行提升，感知整体模型体系，有助于模型的整合统一.
例如，教学苏教版六年级下册第74页“整理与复习——数的运算”（如表1）
加减法计算法则的模型的建立历经了小学五年的时间，在部分学生眼中，整数、小数、分数的计算法则的模型都不相同，但其实本质上是一个模型，即相同的计数单位才能相加减，如果将其纳入统一的模型体系，计算法则的本质就“显山显水”了.
三、总结
不管是数学概念的建立、数学规律的发现，还是数学问题的解决，核心问题在于数学思想方法的培养和建立.建模思想的培育不是短期训练便能见效的，需要经历一个从量变到质变的长期渗透的过程，是一个循序渐进、不断积累经验的过程.长此以往，学生在面对问题时，才会站得高，思路广，对数学的理解就会由量的积累发展到质的飞跃，从而促进学生的可持续发展.当然，建模思想在小学阶段只需要“渗透”，无须进一步“强调突出”.
【参考文献】
[1]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.
[2]史宁中.义务教育数学课程标准 （ 2011 年版） 解读 [M].北京： 北京师范大学出版，2012.
[3]张海燕.数学建模思想在小学数学教学中的应用[J].现代教育，2015（10）：88.
[4]左文艳.小学数学教学中渗透建模思想的意义和策略[J].江苏教育研究，2013（20）： 59-60.