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向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具。复习可分三部分进行：
第一部分：平面向量的概念及其线性运算；
第二部分：向量的坐标表示；
第三部分：向量的数量积及向量的应用。
第一部分：平面向量的概念及其线性运算。
在这部分中，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题。
1. 平面向量的实際背景及基本概念
(1) 了解向量的实際背景。
(2) 理解平面向量的概念及两个向量相等的含义。
(3) 理解向量的几何意义。
2. 向量的线性运算
(1) 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
(2) 掌握向量数乘的运算及几何意义，理解两个向量共线的含义。
(3) 了解向量线性运算的性质及几何意义。
针对这部分的内容和题型，笔者总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到同学们。
解题技巧
(1) 正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念。
提醒 ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两向量平行包含两向量共线,但两直线平行不包含两直线重合；③平行向量无传递性！（因为有
0)；④三点A、B、C共线AB、AC共线。
(2) 向量运算与代数运算要区别。如0•a=0与0•a=0,λ•0=0不同。
(3) 用已知向量表示另外一些向量，是向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。
第二部分：向量的坐标表示。
在这部分中，主要搞清楚平面向量的基本定理及坐标表示。
(1) 了解平面向量的基本定理及其意义。
(2) 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
(3) 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
(4) 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
结合本部分内容，笔者总结了几方面的具体的解题技巧，供同学们参考。
解题技巧
(1) 向量和点均可用有序实数对表示，但向量的坐标可以运算，点的坐标不能运算。
(2) 引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，成了数与形结合的载体。
(3) 平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，应熟练掌握向量坐标运算，并培养运用运动、变化的思想进行等价转化问题的能力。
(4) 通过对平面向量的坐标的学习，掌握用坐标进行向量运算的公式和定律，增强数形转化的能力和培养运用运动变化的思想进行等价转化问题的能力，初步领会数学建模的思想和方法。
提醒 (1) 对于平面向量基本定理：①基底不唯一，关键是不共线；②由定理可将任一向量
a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；③基底给定时，分解形式唯一λ1，λ2是被a，e1，e2确定的数量；
(2) 证明共线(或平行)问题的主要依据：
①对于向量a，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a与b共线(平行)；
②a＝(x1，y1)，b＝(x2,y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b；
③对于向量a，b，若|a•b|＝±|a|•|b|，则a与b共线。
第三部分：向量的数量积及向量的应用。
在这部分中，主要搞清楚以下几方面：
1. 平面向量的数量积
(1) 理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
(2) 了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
(3) 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
(4) 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2. 向量的应用
(1) 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
(2) 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实際问题。
解题技巧
1. 解决垂直问题：a⊥ba•
b=0x1x2+y1y2=0，其中a、b均为非零向量。这一条件不能忽视。
2. 求长度问题：|a|2=a•a，特
别地A(x1,y1),B(x2,y2），则|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2。
3. 求夹角问题：求两非零向量夹角的依据cos〈a,b〉=
a•b|a||b|=
x1x2+y1y2x21+y21•x22+y22。
4. 正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻(a+b=b+a,a•b=b•a,λa•b=λ(a•b)与a(b•c)≠(a•b)c)。
提醒 （1） 向量运算和实数运算有类似的地方，也有区别的地方：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2） 向量的“乘法”不满足结合律，即a(b•c)≠(a•b)c。
针对此部分，有些同学总结了几种常见题型，现总结如下：
(1) 应用|a|2=a2解题
a2=|a|2是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，充分利用这一性质，可以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。
【例1】 已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于 .
答案 13
解析 |a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a•b+9b2=|a|2+6|a||b|cos〈a,b〉+9|b|2,
∵|a|=1,|b|=1,〈a,b〉=60°，
∴原式=1+6×1×1×cos60°+9=13.
∴|a+3b|=13.
(2) 利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题
【例2】 已知向量a、b满足|a|=6，|b|=4，且a与b的夹角为60°，求|a+b|和|a-3b|.
解析 如图所示，OA=a,OC=b，则OB=a+b.由a、b的夹角为60°知，
∠AOC=60°，∠BAO=120°，在△AOB中，由余弦定理得，
|a+b|=|OB|=62+42+2•4•6•cos60°
=219,
如图所示，仿上可求得|a-3b|=|FE|=63.
【例3】 已知|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a，则a与b的夹角大小为 .
答案 23π
解析 如图，∵c=a+b，c⊥a，∴a、b、c构成一个三角形，且θ=π6，∴可以推知a与b的夹角为2π3.
（作者：贡三花，江苏省丹阳六中）
第一部分：平面向量的概念及其线性运算；
第二部分：向量的坐标表示；
第三部分：向量的数量积及向量的应用。
第一部分：平面向量的概念及其线性运算。
在这部分中，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题。
1. 平面向量的实際背景及基本概念
(1) 了解向量的实際背景。
(2) 理解平面向量的概念及两个向量相等的含义。
(3) 理解向量的几何意义。
2. 向量的线性运算
(1) 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
(2) 掌握向量数乘的运算及几何意义，理解两个向量共线的含义。
(3) 了解向量线性运算的性质及几何意义。
针对这部分的内容和题型，笔者总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到同学们。
解题技巧
(1) 正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念。
提醒 ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两向量平行包含两向量共线,但两直线平行不包含两直线重合；③平行向量无传递性！（因为有
0)；④三点A、B、C共线AB、AC共线。
(2) 向量运算与代数运算要区别。如0•a=0与0•a=0,λ•0=0不同。
(3) 用已知向量表示另外一些向量，是向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。
第二部分：向量的坐标表示。
在这部分中，主要搞清楚平面向量的基本定理及坐标表示。
(1) 了解平面向量的基本定理及其意义。
(2) 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
(3) 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
(4) 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
结合本部分内容，笔者总结了几方面的具体的解题技巧，供同学们参考。
解题技巧
(1) 向量和点均可用有序实数对表示，但向量的坐标可以运算，点的坐标不能运算。
(2) 引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，成了数与形结合的载体。
(3) 平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，应熟练掌握向量坐标运算，并培养运用运动、变化的思想进行等价转化问题的能力。
(4) 通过对平面向量的坐标的学习，掌握用坐标进行向量运算的公式和定律，增强数形转化的能力和培养运用运动变化的思想进行等价转化问题的能力，初步领会数学建模的思想和方法。
提醒 (1) 对于平面向量基本定理：①基底不唯一，关键是不共线；②由定理可将任一向量
a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；③基底给定时，分解形式唯一λ1，λ2是被a，e1，e2确定的数量；
(2) 证明共线(或平行)问题的主要依据：
①对于向量a，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a与b共线(平行)；
②a＝(x1，y1)，b＝(x2,y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b；
③对于向量a，b，若|a•b|＝±|a|•|b|，则a与b共线。
第三部分：向量的数量积及向量的应用。
在这部分中，主要搞清楚以下几方面：
1. 平面向量的数量积
(1) 理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
(2) 了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
(3) 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
(4) 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2. 向量的应用
(1) 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
(2) 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实際问题。
解题技巧
1. 解决垂直问题：a⊥ba•
b=0x1x2+y1y2=0，其中a、b均为非零向量。这一条件不能忽视。
2. 求长度问题：|a|2=a•a，特
别地A(x1,y1),B(x2,y2），则|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2。
3. 求夹角问题：求两非零向量夹角的依据cos〈a,b〉=
a•b|a||b|=
x1x2+y1y2x21+y21•x22+y22。
4. 正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻(a+b=b+a,a•b=b•a,λa•b=λ(a•b)与a(b•c)≠(a•b)c)。
提醒 （1） 向量运算和实数运算有类似的地方，也有区别的地方：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2） 向量的“乘法”不满足结合律，即a(b•c)≠(a•b)c。
针对此部分，有些同学总结了几种常见题型，现总结如下：
(1) 应用|a|2=a2解题
a2=|a|2是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，充分利用这一性质，可以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。
【例1】 已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于 .
答案 13
解析 |a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a•b+9b2=|a|2+6|a||b|cos〈a,b〉+9|b|2,
∵|a|=1,|b|=1,〈a,b〉=60°，
∴原式=1+6×1×1×cos60°+9=13.
∴|a+3b|=13.
(2) 利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题
【例2】 已知向量a、b满足|a|=6，|b|=4，且a与b的夹角为60°，求|a+b|和|a-3b|.
解析 如图所示，OA=a,OC=b，则OB=a+b.由a、b的夹角为60°知，
∠AOC=60°，∠BAO=120°，在△AOB中，由余弦定理得，
|a+b|=|OB|=62+42+2•4•6•cos60°
=219,
如图所示，仿上可求得|a-3b|=|FE|=63.
【例3】 已知|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a，则a与b的夹角大小为 .
答案 23π
解析 如图，∵c=a+b，c⊥a，∴a、b、c构成一个三角形，且θ=π6，∴可以推知a与b的夹角为2π3.
（作者：贡三花，江苏省丹阳六中）