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摘 要：“数学思考”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》阐述课程目标的关键词之一，对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义。它指人们在面临各种问题时，能主动从数学的角度进行观察和分析，进而运用数学的知识与方法来解决的思考方式，是一种周到而深刻的思考，其核心在于思维活动。
关键词：数学;循标;思维
下面，以《有几瓶牛奶（9加几）》的教学为例，谈谈如何激活学生的数学思维，依托“遵循目标——借助观察启发联想——达成整合”的过程，促进学生数学思考力的生长。
一、 循标：萌生“凑十”思维，品味计数智慧
准确把握目标，能让思维更富有目的性和针对性。因此，遵循教学目标为学生数学思维的生长指明了正确方向。
经尝试发现，在计算进位加法时，最先算出正确结果的并不总是主动运用“凑十”计算的学生。例如，计算“9 2 8”，抢答成功的同学是这样表述的：“9加2，在9后面接着数2个数，就是11，11 8=19”。这是否意味着《有几瓶牛奶（9加几）》的教学无须凸显“凑十”方法呢？答案显然是否定的！“凑十”法的运用对以后的口算和笔算都是至关重要的。本节课的教学目标之一是“初步感知计算方法的多样性，并理解‘凑十’方法的简便性”，从这一目标出发构起学生数学思维起步的生长点，循着目标探索也就成为数学思维的生长线，本环节对此课教学起导向作用。
【教学片断】
师：请你试着数清屏幕上有几根小棒。
（出示并于2秒后消失）
生齐答：5根。
师：要提高难度了，瞪大眼睛仔细看哦，请你再试着数清有几根小棒。
（出示并于2秒后消失）
生1：10根 生2：12根 生3：13根
生4：14根 生5：15根
师：看来，这回大家的意见不太统一啊。（再次出示小棒，实际数一数。）
师：别灰心！还有一次机会，请你数清有几根小棒。
（出示并于2秒后消失）
指数名学生回答，答案均为14根。
师：咦，奇怪了，这次的小棒比上一次还多，为什么大家反而数得这么轻松呢？
生6：上一次的小棒很快就不见了！
生7：上一次的小棒看不清楚，这次捆在一起看得很清楚。
生8：一捆里面有10根小棒，10 4=14，很容易数清楚。
师：嗯，同学们通过对比发现，把10根小棒捆成一捆，能帮助我们数得又对又快。（板书：很好数）
师：带上这样的眼光，说一说怎样让别人也能一眼就看出上一次这些小棒有几根
（出示）
生9：把它们捆起来！
生10：数出10根，捆成一捆，再加上剩下的几根。（课件动态展示）
……
从“基本数觉→数数阶段→实物计数→符号计数”的发展历程，彰显着人类创造位值制的大智慧，这是学生在先前学习中已有所接触和体会的，我试图让“凑十”计算的思维启蒙在十进制计数法的大背景下展开。课伊始，开展“比一比，谁数得快？”的数学活动，新颖、有趣的游戏形式一下子就把学生深深地吸引住了，两次数小棒（12根、14根）这一游戏情境，指向明确、集中，让学生置身强烈的对比之中，产生“捆十，很好数”的深刻体验，基于學生生活现实与数学现实的融合点生长新知。
二、 观察-联想：强化“凑十”思维，建构数学模型
数学观察是展开数学思维活动的前提条件，学生通过观察来辨认和分析新出现的数学问题特征，找出新旧知识或经验之间的联结点，为后续思维提供必要的感性材料支撑，即为思维活动奠基。随后，依托数学思维最活跃的生长因子——数学联想，实现从新问题出发回想起相关旧问题的心理活动过程，架设起沟通知识的桥梁，实现经验的打破和重组，从而建构数学模型。
据前测，95%的孩子已经会算9加几，所以，本课教学需要思考：作为20以内进位加法计算教学的起始课，我们期待当学生走出课堂时对“9加几”的认知与进入课堂之前有何区别呢？我想，可以尝试借助直观观察积累感性材料、形成“凑十”的表象，然后，通过参与适宜的数学活动，架设起借助“10的加减法”“20以内数的不进位加法”等原有知识解决新问题（进位加法）的逻辑思路，最终，建立“凑十法”的数学模型，在感受“模型”思想的同时，积累数学活动经验。
【教学片断】
师：（课件出示右图）数一数，说一说：每格装一个苹果，一共能装多少个苹果？假如已经放入5个苹果，再装几个就满了？放入6个呢？7个、8个、9个呢？
（课件逐步出示相应的图片，结合学生的回答，闪烁出示填入的虚线苹果，小结并板书：凑十）
师：（出示下图）妈妈又买来了5个青苹果，你能提出什么数学问题？
生11：两种苹果合起来有多少个？
生12：可以用9个红苹果加5个青苹果。（师板书：9 5=）
师：仔细观察图，说一说有什么方法可以知道共有几个苹果。
生13：有9个红苹果，再接着数（青苹果）10、11、12、13、14个。
生14：把一个青苹果拿到左边的盒子里，这一盒就有十个苹果了，再和右边剩下的4个
青苹果合起来，一共有14个。
生15：把左边上面的那一排红苹果都拿到右边的盒子里，这样就有十个，再加上左边下面那一排的4个红苹果，就可以知道一共有14个苹果。
……
师：能不能借助小棒把你的想法摆一摆，摆好后和同桌说一说：你是怎样移动小棒的？为什么要这样移？
（交流汇报，略）
师：通过移动，左、右两边的小棒各有什么变化？有没有什么是不变的？ 生16：左边的小棒变多（少）了，右边的小棒变少（多）了，得数是不变的。
生17：左边的小棒变少（多）了，右边的小棒变多（少）了，一共有14根小棒是不变的。
……
师：（结合图片）嗯，是的，从右边移动1根小棒到左边来，左边的小棒变多了，右边的小棒变少了，但小棒的总根数是不变的。想知道原来的9 5等于几，现在只要计算几加几就可以了？
生齐答：10 4
师：这样，我们就把这节课遇到的新问题变成以前已经学会的问题来解答了，这样的方法称为“转化”。（板书：转化，齐读）
……
师：我们一起来玩“青苹果变变变”的游戏，好吗？
课件出示右图：
（不断变换盒子外面青苹果的个数（3个、4个、6个、7个、8个），让学生快速抢答出苹果的总个数。）
通过“把盒子装满苹果”这样一个简单、易行的生活事件，学生在“聊天”的过程中不知不觉地形成“十个就满了”的直觉思维;然后，结合直观图片探讨“有什么方法可以知道共有几个苹果”这一问题，初步建立起“凑十”的表象;紧接着，经历动手操作、语言表述、与同伴思维碰撞的过程，梳理出“‘9 5’可以转化为‘10 4’来计算”的逻辑思路，实现“凑十”经验的提升和内化;最后，依托快速、有趣的“青苹果变变变”游戏，不断强化“凑十”思维。这样教学，学生不仅能学会计算“9加几”、能运用“9加几”的知识解决实际问题，而且能建构“凑十”的数学模型、生长“模型”思想，为形成良好的运算能力奠定坚实的基础。
三、 整合：融通“凑十”思维，感悟思想方法
把联想起来的知识（计算9加几的进位加法的方法）按其内在联系，依逻辑顺序进行整理、加工、优化和重新组合，让新知识与原有认知结构中的相关知识（“满十进一”的位值思想、加法算式各部分间的关系等）产生积极的相互作用，进而融合在一起，建构起新的认知结构，并有力促进数学思维的后续生长。整合，在学生数学思维的生长中起至关重要的作用。
【教学片断】
师：通过玩“青苹果变变变”的游戏，你有什么发现？
生18：我发现，每次多一个青苹果，苹果的总个数就多一个。
生19：我有意见！有一次青苹果多了2个，苹果的总个数也多了2个。
师：嗯，红苹果的个数有什么变化呢？（不变）
生20：我发现要想知道一共有几个苹果，只要把青苹果去掉一个再加十就可以了。
师：谁听明白他的意思了？
生21：我听明白了，比如有9个青苹果嘛，拿1个和红苹果凑成十，还剩8个，8 10=18，一共有18个苹果。
师：王老师为善于思考和认真倾听的同学点赞！
师：如果 4=13，那么， 6= ，说说你是怎样想的。
生22：刚才玩“青苹果变变变”的游戏时，我就知道9 4=13了，那么9 6=15。
生23：13-4=9，所以兔子=9，9 6=15。
师：嗯，都能利用已经知道的来解决未知的问题，很了不起！
生24：兔子和兔子是一样的，6比4多2，所以得数也要比13多2，那就是15。
師：祝贺这位同学，他懂得用“推理”这种方法来解决问题！（板书：推理）
师：（出示“9 7=16”）仔细观察这个算式，想一想，明明是用9加上“7个1”，但是和的个位上却只有“6个1”，少掉的“1个1”跑到哪儿去了呢？可以和小组里的同学讨论一下。
小组1：少掉的“1”跑到（和的）十位去了。
小组2：不对，不对，少掉的是“1个1”，十位上的“1”是“1个十”。
小组3：我们觉得，少掉的“1”跑去和“9”凑成“十”，就变成十位上的“1”了。
（其他小组纷纷表示赞同）
生25：所以，在计算9加几的时候，和的十位上是“1”，和的个位比9加的那个数少1。
师：嗯，你能有这么深入的想法，一定是因为你学习时非常专注！
师：同学们，受他的启发，你对如何计算“8 6=”有初步的想法了吗？
生26：十位上是“1”，个位上的数字比6少2，等于14。
师：呀，他用上了“类比”的方法，这种猜测对不对呢？我们下节课再一起学习“8加几”。
在玩“青苹果变变变”的游戏并交流“你有什么发现？”的过程中，学生依托具象的载体，自然迸发出了“（红苹果的个数不变）青苹果比上一次多了2个，苹果总个数也应该多2个”“要想知道一共有几个苹果，只要把青苹果去掉一个再加十就可以了”的想法，
这不就是“推理”思维和“归纳”思想的雏形吗？低年级学生所呈现出来的这种难能可贵的思维的火花需要我们去呵护并进一步点燃。此时，教师适时抛出“9 7=16，明明是用9加上‘7个1’，但是和的个位上却只有‘6个1’，少掉的‘1个1’跑到哪儿去了呢？”这一问题，让学生进行小组讨论，引领他们上升到符号语言的层面来表达自己的认识，从而与原有认知结构中的“满十进一”的知识及其相应的位值思想相融合，实现思维生长。最后，通过“你对如何计算‘8 6=？’有初步的想法了吗？”这一问题，让学生展开类比联想，为思维的再生长插上了希望的翅膀！
作者简介：
王培明，福建省泉州市，福建省泉州师范学院附属小学。
本文系2018年福建省基础教育课程教学研究立项课题《构建富有生长力的数学课堂的探索与实践》（课题编号：MJYKT2018-015）的研究成果之一。
关键词：数学;循标;思维
下面，以《有几瓶牛奶（9加几）》的教学为例，谈谈如何激活学生的数学思维，依托“遵循目标——借助观察启发联想——达成整合”的过程，促进学生数学思考力的生长。
一、 循标：萌生“凑十”思维，品味计数智慧
准确把握目标，能让思维更富有目的性和针对性。因此，遵循教学目标为学生数学思维的生长指明了正确方向。
经尝试发现，在计算进位加法时，最先算出正确结果的并不总是主动运用“凑十”计算的学生。例如，计算“9 2 8”，抢答成功的同学是这样表述的：“9加2，在9后面接着数2个数，就是11，11 8=19”。这是否意味着《有几瓶牛奶（9加几）》的教学无须凸显“凑十”方法呢？答案显然是否定的！“凑十”法的运用对以后的口算和笔算都是至关重要的。本节课的教学目标之一是“初步感知计算方法的多样性，并理解‘凑十’方法的简便性”，从这一目标出发构起学生数学思维起步的生长点，循着目标探索也就成为数学思维的生长线，本环节对此课教学起导向作用。
【教学片断】
师：请你试着数清屏幕上有几根小棒。
（出示并于2秒后消失）
生齐答：5根。
师：要提高难度了，瞪大眼睛仔细看哦，请你再试着数清有几根小棒。
（出示并于2秒后消失）
生1：10根 生2：12根 生3：13根
生4：14根 生5：15根
师：看来，这回大家的意见不太统一啊。（再次出示小棒，实际数一数。）
师：别灰心！还有一次机会，请你数清有几根小棒。
（出示并于2秒后消失）
指数名学生回答，答案均为14根。
师：咦，奇怪了，这次的小棒比上一次还多，为什么大家反而数得这么轻松呢？
生6：上一次的小棒很快就不见了！
生7：上一次的小棒看不清楚，这次捆在一起看得很清楚。
生8：一捆里面有10根小棒，10 4=14，很容易数清楚。
师：嗯，同学们通过对比发现，把10根小棒捆成一捆，能帮助我们数得又对又快。（板书：很好数）
师：带上这样的眼光，说一说怎样让别人也能一眼就看出上一次这些小棒有几根
（出示）
生9：把它们捆起来！
生10：数出10根，捆成一捆，再加上剩下的几根。（课件动态展示）
……
从“基本数觉→数数阶段→实物计数→符号计数”的发展历程，彰显着人类创造位值制的大智慧，这是学生在先前学习中已有所接触和体会的，我试图让“凑十”计算的思维启蒙在十进制计数法的大背景下展开。课伊始，开展“比一比，谁数得快？”的数学活动，新颖、有趣的游戏形式一下子就把学生深深地吸引住了，两次数小棒（12根、14根）这一游戏情境，指向明确、集中，让学生置身强烈的对比之中，产生“捆十，很好数”的深刻体验，基于學生生活现实与数学现实的融合点生长新知。
二、 观察-联想：强化“凑十”思维，建构数学模型
数学观察是展开数学思维活动的前提条件，学生通过观察来辨认和分析新出现的数学问题特征，找出新旧知识或经验之间的联结点，为后续思维提供必要的感性材料支撑，即为思维活动奠基。随后，依托数学思维最活跃的生长因子——数学联想，实现从新问题出发回想起相关旧问题的心理活动过程，架设起沟通知识的桥梁，实现经验的打破和重组，从而建构数学模型。
据前测，95%的孩子已经会算9加几，所以，本课教学需要思考：作为20以内进位加法计算教学的起始课，我们期待当学生走出课堂时对“9加几”的认知与进入课堂之前有何区别呢？我想，可以尝试借助直观观察积累感性材料、形成“凑十”的表象，然后，通过参与适宜的数学活动，架设起借助“10的加减法”“20以内数的不进位加法”等原有知识解决新问题（进位加法）的逻辑思路，最终，建立“凑十法”的数学模型，在感受“模型”思想的同时，积累数学活动经验。
【教学片断】
师：（课件出示右图）数一数，说一说：每格装一个苹果，一共能装多少个苹果？假如已经放入5个苹果，再装几个就满了？放入6个呢？7个、8个、9个呢？
（课件逐步出示相应的图片，结合学生的回答，闪烁出示填入的虚线苹果，小结并板书：凑十）
师：（出示下图）妈妈又买来了5个青苹果，你能提出什么数学问题？
生11：两种苹果合起来有多少个？
生12：可以用9个红苹果加5个青苹果。（师板书：9 5=）
师：仔细观察图，说一说有什么方法可以知道共有几个苹果。
生13：有9个红苹果，再接着数（青苹果）10、11、12、13、14个。
生14：把一个青苹果拿到左边的盒子里，这一盒就有十个苹果了，再和右边剩下的4个
青苹果合起来，一共有14个。
生15：把左边上面的那一排红苹果都拿到右边的盒子里，这样就有十个，再加上左边下面那一排的4个红苹果，就可以知道一共有14个苹果。
……
师：能不能借助小棒把你的想法摆一摆，摆好后和同桌说一说：你是怎样移动小棒的？为什么要这样移？
（交流汇报，略）
师：通过移动，左、右两边的小棒各有什么变化？有没有什么是不变的？ 生16：左边的小棒变多（少）了，右边的小棒变少（多）了，得数是不变的。
生17：左边的小棒变少（多）了，右边的小棒变多（少）了，一共有14根小棒是不变的。
……
师：（结合图片）嗯，是的，从右边移动1根小棒到左边来，左边的小棒变多了，右边的小棒变少了，但小棒的总根数是不变的。想知道原来的9 5等于几，现在只要计算几加几就可以了？
生齐答：10 4
师：这样，我们就把这节课遇到的新问题变成以前已经学会的问题来解答了，这样的方法称为“转化”。（板书：转化，齐读）
……
师：我们一起来玩“青苹果变变变”的游戏，好吗？
课件出示右图：
（不断变换盒子外面青苹果的个数（3个、4个、6个、7个、8个），让学生快速抢答出苹果的总个数。）
通过“把盒子装满苹果”这样一个简单、易行的生活事件，学生在“聊天”的过程中不知不觉地形成“十个就满了”的直觉思维;然后，结合直观图片探讨“有什么方法可以知道共有几个苹果”这一问题，初步建立起“凑十”的表象;紧接着，经历动手操作、语言表述、与同伴思维碰撞的过程，梳理出“‘9 5’可以转化为‘10 4’来计算”的逻辑思路，实现“凑十”经验的提升和内化;最后，依托快速、有趣的“青苹果变变变”游戏，不断强化“凑十”思维。这样教学，学生不仅能学会计算“9加几”、能运用“9加几”的知识解决实际问题，而且能建构“凑十”的数学模型、生长“模型”思想，为形成良好的运算能力奠定坚实的基础。
三、 整合：融通“凑十”思维，感悟思想方法
把联想起来的知识（计算9加几的进位加法的方法）按其内在联系，依逻辑顺序进行整理、加工、优化和重新组合，让新知识与原有认知结构中的相关知识（“满十进一”的位值思想、加法算式各部分间的关系等）产生积极的相互作用，进而融合在一起，建构起新的认知结构，并有力促进数学思维的后续生长。整合，在学生数学思维的生长中起至关重要的作用。
【教学片断】
师：通过玩“青苹果变变变”的游戏，你有什么发现？
生18：我发现，每次多一个青苹果，苹果的总个数就多一个。
生19：我有意见！有一次青苹果多了2个，苹果的总个数也多了2个。
师：嗯，红苹果的个数有什么变化呢？（不变）
生20：我发现要想知道一共有几个苹果，只要把青苹果去掉一个再加十就可以了。
师：谁听明白他的意思了？
生21：我听明白了，比如有9个青苹果嘛，拿1个和红苹果凑成十，还剩8个，8 10=18，一共有18个苹果。
师：王老师为善于思考和认真倾听的同学点赞！
师：如果 4=13，那么， 6= ，说说你是怎样想的。
生22：刚才玩“青苹果变变变”的游戏时，我就知道9 4=13了，那么9 6=15。
生23：13-4=9，所以兔子=9，9 6=15。
师：嗯，都能利用已经知道的来解决未知的问题，很了不起！
生24：兔子和兔子是一样的，6比4多2，所以得数也要比13多2，那就是15。
師：祝贺这位同学，他懂得用“推理”这种方法来解决问题！（板书：推理）
师：（出示“9 7=16”）仔细观察这个算式，想一想，明明是用9加上“7个1”，但是和的个位上却只有“6个1”，少掉的“1个1”跑到哪儿去了呢？可以和小组里的同学讨论一下。
小组1：少掉的“1”跑到（和的）十位去了。
小组2：不对，不对，少掉的是“1个1”，十位上的“1”是“1个十”。
小组3：我们觉得，少掉的“1”跑去和“9”凑成“十”，就变成十位上的“1”了。
（其他小组纷纷表示赞同）
生25：所以，在计算9加几的时候，和的十位上是“1”，和的个位比9加的那个数少1。
师：嗯，你能有这么深入的想法，一定是因为你学习时非常专注！
师：同学们，受他的启发，你对如何计算“8 6=”有初步的想法了吗？
生26：十位上是“1”，个位上的数字比6少2，等于14。
师：呀，他用上了“类比”的方法，这种猜测对不对呢？我们下节课再一起学习“8加几”。
在玩“青苹果变变变”的游戏并交流“你有什么发现？”的过程中，学生依托具象的载体，自然迸发出了“（红苹果的个数不变）青苹果比上一次多了2个，苹果总个数也应该多2个”“要想知道一共有几个苹果，只要把青苹果去掉一个再加十就可以了”的想法，
这不就是“推理”思维和“归纳”思想的雏形吗？低年级学生所呈现出来的这种难能可贵的思维的火花需要我们去呵护并进一步点燃。此时，教师适时抛出“9 7=16，明明是用9加上‘7个1’，但是和的个位上却只有‘6个1’，少掉的‘1个1’跑到哪儿去了呢？”这一问题，让学生进行小组讨论，引领他们上升到符号语言的层面来表达自己的认识，从而与原有认知结构中的“满十进一”的知识及其相应的位值思想相融合，实现思维生长。最后，通过“你对如何计算‘8 6=？’有初步的想法了吗？”这一问题，让学生展开类比联想，为思维的再生长插上了希望的翅膀！
作者简介：
王培明，福建省泉州市，福建省泉州师范学院附属小学。
本文系2018年福建省基础教育课程教学研究立项课题《构建富有生长力的数学课堂的探索与实践》（课题编号：MJYKT2018-015）的研究成果之一。