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摘 要:数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法,是归纳法与演绎法的完善结合。为实现以上目标,教学设计基于数学归纳法的源头,基于学生头脑中蕴含的数学归纳法的萌芽,学生在教师的指导下自己发现、归纳出数学归纳法,并不断完善和深化,以达到知识、能力、思维、情感教学相互渗透、相互促进之目的。
关键词:数学归纳法 原理 过程 命题 步骤
一、教材分析
本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习,初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法,即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题、猜想或发现数学规律的重要手段。但是,由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确,这种推理方法不能作为一种论证方法。因此,在不完全归纳法的基础上,必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前,是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且,本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。
二、教学目标
1.经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程,体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法。
2.理解数学归纳法原理及其本质,掌握它的基本步骤与方法;能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可,尤其是归纳假设在证明中的地位和作用;能体会到数学归纳法的实质和核心是递推。
3.能利用数学归纳法证明简单的、蕴含着递推关系的、与正整数有关的命题;能把数学归纳法与观察、归纳、演绎等其它思维方法结合在一起加以使用。
三、教学重难点
1.重点。
(1)初步理解数学归纳法的原理。
(2)明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
(3)初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
2.难点。
(1)对数学归纳法原理的理解,即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
(2)假设的利用,即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
四、教学过程
1.提出问题,培育萌芽。
问题1:一只口袋中有许多球,第一个取出的是白球,第二个、第三个取出了也是白球,你能肯定这只口袋的球都是白球吗?为什么?
问题2:等差数列{an}通项公式:an=an-1+d=a1+(n-1)d
你能确认上式成立吗?为什么?根据是什么?
问题3:对于数列{an},已知a1=1,an-1 = ( n=1,2,3…),通过对n=1,2,3,4前4项的归纳,猜想出其通项公式an= 。
(1)你能肯定这个结论成立吗?为什么?
(2)如果对第5项,第6项,第7项继续验证,那情况会怎样?如果a100= ,
那么是否有a101= ?
(3)你能证明这个猜想成立吗?你是否认为上面的验证过程可以无限地进行下去?如果可以,你能否用更一般的形式来表示?或者,更一般地,我们能否把这个无限的问题转化为有限的问题加以解决呢?
2.明确思想,提炼方法
问题4:大家玩过多米诺骨牌游戏吗?这个游戏有怎样的规划?(多媒体演示多米诺骨牌游戏)
问题5:问题2、问题3、问题4有什么共同的特征?其结论成立的条件的共同特征是什么?
通过学生讨论,达成以下共识:
(1)问题的特征:P(1)真? P(2)真? P(3)真? P(4)真? P(5)真?…
其实质是当k≥n0,k∈N+, 时, P(k)真必有 P(k+1)真。
(2)递推公式an-an-1=d,an= 保证了“结论对前一个值成立,则对紧接着的下一个值也成立”。
问题6:你认为前面得出的结论:an=a1+(n-1)d,an= ,以及所有的多米诺骨牌都会倒下等,是否都正确?如果是,你能否由此归纳、总结、提练出证明与自然数有关命题的方法与步骤?
通过学生讨论,得出以下结论:
一般地,如果一个与自然数n有关的命题p(n)满足以下两个条件:
(1)当n取第一个值n0时命题成立;
(2)由n=k(k≥n0,∈N+)时命题成立,必有n=k+1时命题也成立。
由上,可以断定命题p(n)对从n0开始的所有正整数n都成立。
问题7:上面两个条件分别起怎样的作用?它们之间有怎样的关系?我们能否去掉其中的一个?你能举反例说明吗?
在上述两个条件中,第一个条件是归纳递推的前提和基础,没有它,后面的递推将无从谈起;第二个步骤是核心和关键,是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带。如在前面的问题3中,如果a1不是1,而是2,那么就不可能得出an= ,因此第一步看似简单,但却是不可缺少的,而第二步显然更加不可缺少。
问题8:在实际证明过程中,我们是否已经确认n=k时命题成立?
注意:这里是学生理解数学归纳法的难点之一,需要教师提醒学生注意,并做出明确的、合理的解释。因为在证明结论之前,还不知道n=k时结论是否成立,因此只能是假设成立.同时为了使这个假设有一定的基础,因此这里要求k≥ n0,k∈N+。
由上,证明一个与自然数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)证明当n取第一个值 (n0,n∈N+)时命题成立;
(2)假设n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
由上两个步骤,可以断定命题p(n)对从n0开始的所有正整数n都成立。
这种证明方法叫做数学归纳法,它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具。
3.巩固应用,形成技能。
例1.用数学归纳法证明
12+22+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6 (n∈N+)
注意:考虑到本节课是数学归纳法的第一课时,因此在例题的选择与安排上不人为拔高,避免学生分散精力,影响重点、难点的掌握和落实。在解题的技能与方法方面,重在提醒学生进行解题反思,加强解题感悟,如搞清楚利用数学归纳法证明的前提是命题不仅是与正整数有关,而且命题k=n与k=n+1存在内在的递推关系,关键是如何合理地利用归纳假设,搞清楚,注意点是书写和表述规范。
4.回顾总结,促进迁移。
(1)本节课学到了什么?
(2)这些知识是怎样得出的?
(3)你有什么体会与感悟?
5.检测成效,反馈矫正。
(1)用数学归纳法证明:
①当n为正整数时,1+3+5+…+(2n-1)=n2。
②1+2+22+…+2n-1=2n-1。
(2)已知数列 , , ,…, 計算S1,S2,S3,由此推测计算Sn的公式,并给出证明。
关键词:数学归纳法 原理 过程 命题 步骤
一、教材分析
本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习,初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法,即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题、猜想或发现数学规律的重要手段。但是,由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确,这种推理方法不能作为一种论证方法。因此,在不完全归纳法的基础上,必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前,是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且,本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。
二、教学目标
1.经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程,体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法。
2.理解数学归纳法原理及其本质,掌握它的基本步骤与方法;能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可,尤其是归纳假设在证明中的地位和作用;能体会到数学归纳法的实质和核心是递推。
3.能利用数学归纳法证明简单的、蕴含着递推关系的、与正整数有关的命题;能把数学归纳法与观察、归纳、演绎等其它思维方法结合在一起加以使用。
三、教学重难点
1.重点。
(1)初步理解数学归纳法的原理。
(2)明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
(3)初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
2.难点。
(1)对数学归纳法原理的理解,即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
(2)假设的利用,即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
四、教学过程
1.提出问题,培育萌芽。
问题1:一只口袋中有许多球,第一个取出的是白球,第二个、第三个取出了也是白球,你能肯定这只口袋的球都是白球吗?为什么?
问题2:等差数列{an}通项公式:an=an-1+d=a1+(n-1)d
你能确认上式成立吗?为什么?根据是什么?
问题3:对于数列{an},已知a1=1,an-1 = ( n=1,2,3…),通过对n=1,2,3,4前4项的归纳,猜想出其通项公式an= 。
(1)你能肯定这个结论成立吗?为什么?
(2)如果对第5项,第6项,第7项继续验证,那情况会怎样?如果a100= ,
那么是否有a101= ?
(3)你能证明这个猜想成立吗?你是否认为上面的验证过程可以无限地进行下去?如果可以,你能否用更一般的形式来表示?或者,更一般地,我们能否把这个无限的问题转化为有限的问题加以解决呢?
2.明确思想,提炼方法
问题4:大家玩过多米诺骨牌游戏吗?这个游戏有怎样的规划?(多媒体演示多米诺骨牌游戏)
问题5:问题2、问题3、问题4有什么共同的特征?其结论成立的条件的共同特征是什么?
通过学生讨论,达成以下共识:
(1)问题的特征:P(1)真? P(2)真? P(3)真? P(4)真? P(5)真?…
其实质是当k≥n0,k∈N+, 时, P(k)真必有 P(k+1)真。
(2)递推公式an-an-1=d,an= 保证了“结论对前一个值成立,则对紧接着的下一个值也成立”。
问题6:你认为前面得出的结论:an=a1+(n-1)d,an= ,以及所有的多米诺骨牌都会倒下等,是否都正确?如果是,你能否由此归纳、总结、提练出证明与自然数有关命题的方法与步骤?
通过学生讨论,得出以下结论:
一般地,如果一个与自然数n有关的命题p(n)满足以下两个条件:
(1)当n取第一个值n0时命题成立;
(2)由n=k(k≥n0,∈N+)时命题成立,必有n=k+1时命题也成立。
由上,可以断定命题p(n)对从n0开始的所有正整数n都成立。
问题7:上面两个条件分别起怎样的作用?它们之间有怎样的关系?我们能否去掉其中的一个?你能举反例说明吗?
在上述两个条件中,第一个条件是归纳递推的前提和基础,没有它,后面的递推将无从谈起;第二个步骤是核心和关键,是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带。如在前面的问题3中,如果a1不是1,而是2,那么就不可能得出an= ,因此第一步看似简单,但却是不可缺少的,而第二步显然更加不可缺少。
问题8:在实际证明过程中,我们是否已经确认n=k时命题成立?
注意:这里是学生理解数学归纳法的难点之一,需要教师提醒学生注意,并做出明确的、合理的解释。因为在证明结论之前,还不知道n=k时结论是否成立,因此只能是假设成立.同时为了使这个假设有一定的基础,因此这里要求k≥ n0,k∈N+。
由上,证明一个与自然数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)证明当n取第一个值 (n0,n∈N+)时命题成立;
(2)假设n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
由上两个步骤,可以断定命题p(n)对从n0开始的所有正整数n都成立。
这种证明方法叫做数学归纳法,它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具。
3.巩固应用,形成技能。
例1.用数学归纳法证明
12+22+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6 (n∈N+)
注意:考虑到本节课是数学归纳法的第一课时,因此在例题的选择与安排上不人为拔高,避免学生分散精力,影响重点、难点的掌握和落实。在解题的技能与方法方面,重在提醒学生进行解题反思,加强解题感悟,如搞清楚利用数学归纳法证明的前提是命题不仅是与正整数有关,而且命题k=n与k=n+1存在内在的递推关系,关键是如何合理地利用归纳假设,搞清楚,注意点是书写和表述规范。
4.回顾总结,促进迁移。
(1)本节课学到了什么?
(2)这些知识是怎样得出的?
(3)你有什么体会与感悟?
5.检测成效,反馈矫正。
(1)用数学归纳法证明:
①当n为正整数时,1+3+5+…+(2n-1)=n2。
②1+2+22+…+2n-1=2n-1。
(2)已知数列 , , ,…, 計算S1,S2,S3,由此推测计算Sn的公式,并给出证明。