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摘 要：数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合。为实现以上目标，教学设计基于数学归纳法的源头，基于学生头脑中蕴含的数学归纳法的萌芽，学生在教师的指导下自己发现、归纳出数学归纳法，并不断完善和深化，以达到知识、能力、思维、情感教学相互渗透、相互促进之目的。
关键词：数学归纳法 原理 过程 命题 步骤
一、教材分析
本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题、猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。
二、教学目标
1.经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法。
2.理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法；能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可，尤其是归纳假设在证明中的地位和作用；能体会到数学归纳法的实质和核心是递推。
3.能利用数学归纳法证明简单的、蕴含着递推关系的、与正整数有关的命题；能把数学归纳法与观察、归纳、演绎等其它思维方法结合在一起加以使用。
三、教学重难点
1.重点。
（1）初步理解数学归纳法的原理。
（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
2.难点。
（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
四、教学过程
1.提出问题，培育萌芽。
问题1：一只口袋中有许多球，第一个取出的是白球，第二个、第三个取出了也是白球，你能肯定这只口袋的球都是白球吗？为什么？
问题2：等差数列{an}通项公式：an=an-1+d=a1+（n-1）d
你能确认上式成立吗？为什么？根据是什么？
问题3：对于数列{an}，已知a1=1，an-1 = （ n=1，2，3…），通过对n=1，2，3，4前4项的归纳，猜想出其通项公式an= 。
（1）你能肯定这个结论成立吗？为什么？
（2）如果对第5项，第6项，第7项继续验证，那情况会怎样？如果a100= ，
那么是否有a101= ？
（3）你能证明这个猜想成立吗？你是否认为上面的验证过程可以无限地进行下去？如果可以，你能否用更一般的形式来表示？或者，更一般地，我们能否把这个无限的问题转化为有限的问题加以解决呢？
2.明确思想，提炼方法
问题4：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？（多媒体演示多米诺骨牌游戏）
问题5：问题2、问题3、问题4有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么？
通过学生讨论，达成以下共识：
（1）问题的特征：P（1）真？ P（2）真？ P（3）真？ P（4）真？ P（5）真？…
其实质是当k≥n0，k∈N+， 时， P（k）真必有 P（k+1）真。
（2）递推公式an-an-1=d，an= 保证了“结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立”。
问题6：你认为前面得出的结论：an=a1+（n-1）d，an= ，以及所有的多米诺骨牌都会倒下等，是否都正确？如果是，你能否由此归纳、总结、提练出证明与自然数有关命题的方法与步骤？
通过学生讨论，得出以下结论：
一般地，如果一个与自然数n有关的命题p（n）满足以下两个条件：
（1）当n取第一个值n0时命题成立；
（2）由n=k（k≥n0，∈N+）时命题成立，必有n=k+1时命题也成立。
由上，可以断定命题p（n）对从n0开始的所有正整数n都成立。
问题7：上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？
在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带。如在前面的问题3中，如果a1不是1，而是2，那么就不可能得出an= ，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的，而第二步显然更加不可缺少。
问题8：在实际证明过程中，我们是否已经确认n=k时命题成立？
注意：这里是学生理解数学归纳法的难点之一，需要教师提醒学生注意，并做出明确的、合理的解释。因为在证明结论之前，还不知道n=k时结论是否成立，因此只能是假设成立.同时为了使这个假设有一定的基础，因此这里要求k≥ n0，k∈N+。
由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）证明当n取第一个值 （n0，n∈N+）时命题成立；
（2）假设n=k（k≥n0，k∈N+）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
由上两个步骤，可以断定命题p（n）对从n0开始的所有正整数n都成立。
这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n（n取无限多个值）有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具。
3.巩固应用，形成技能。
例1.用数学归纳法证明
12+22+……+n2=n（n+1）（2n+1）/6 （n∈N+）
注意：考虑到本节课是数学归纳法的第一课时，因此在例题的选择与安排上不人为拔高，避免学生分散精力，影响重点、难点的掌握和落实。在解题的技能与方法方面，重在提醒学生进行解题反思，加强解题感悟，如搞清楚利用数学归纳法证明的前提是命题不仅是与正整数有关，而且命题k=n与k=n+1存在内在的递推关系，关键是如何合理地利用归纳假设，搞清楚，注意点是书写和表述规范。
4.回顾总结，促进迁移。
（1）本节课学到了什么？
（2）这些知识是怎样得出的？
（3）你有什么体会与感悟？
5.检测成效，反馈矫正。
（1）用数学归纳法证明：
①当n为正整数时，1+3+5+…+（2n-1）=n2。
②1+2+22+…+2n-1=2n-1。
（2）已知数列 ， ， ，…， 計算S1，S2，S3，由此推测计算Sn的公式，并给出证明。
关键词：数学归纳法 原理 过程 命题 步骤
一、教材分析
本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题、猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。
二、教学目标
1.经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法。
2.理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法；能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可，尤其是归纳假设在证明中的地位和作用；能体会到数学归纳法的实质和核心是递推。
3.能利用数学归纳法证明简单的、蕴含着递推关系的、与正整数有关的命题；能把数学归纳法与观察、归纳、演绎等其它思维方法结合在一起加以使用。
三、教学重难点
1.重点。
（1）初步理解数学归纳法的原理。
（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
2.难点。
（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
四、教学过程
1.提出问题，培育萌芽。
问题1：一只口袋中有许多球，第一个取出的是白球，第二个、第三个取出了也是白球，你能肯定这只口袋的球都是白球吗？为什么？
问题2：等差数列{an}通项公式：an=an-1+d=a1+（n-1）d
你能确认上式成立吗？为什么？根据是什么？
问题3：对于数列{an}，已知a1=1，an-1 = （ n=1，2，3…），通过对n=1，2，3，4前4项的归纳，猜想出其通项公式an= 。
（1）你能肯定这个结论成立吗？为什么？
（2）如果对第5项，第6项，第7项继续验证，那情况会怎样？如果a100= ，
那么是否有a101= ？
（3）你能证明这个猜想成立吗？你是否认为上面的验证过程可以无限地进行下去？如果可以，你能否用更一般的形式来表示？或者，更一般地，我们能否把这个无限的问题转化为有限的问题加以解决呢？
2.明确思想，提炼方法
问题4：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？（多媒体演示多米诺骨牌游戏）
问题5：问题2、问题3、问题4有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么？
通过学生讨论，达成以下共识：
（1）问题的特征：P（1）真？ P（2）真？ P（3）真？ P（4）真？ P（5）真？…
其实质是当k≥n0，k∈N+， 时， P（k）真必有 P（k+1）真。
（2）递推公式an-an-1=d，an= 保证了“结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立”。
问题6：你认为前面得出的结论：an=a1+（n-1）d，an= ，以及所有的多米诺骨牌都会倒下等，是否都正确？如果是，你能否由此归纳、总结、提练出证明与自然数有关命题的方法与步骤？
通过学生讨论，得出以下结论：
一般地，如果一个与自然数n有关的命题p（n）满足以下两个条件：
（1）当n取第一个值n0时命题成立；
（2）由n=k（k≥n0，∈N+）时命题成立，必有n=k+1时命题也成立。
由上，可以断定命题p（n）对从n0开始的所有正整数n都成立。
问题7：上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？
在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带。如在前面的问题3中，如果a1不是1，而是2，那么就不可能得出an= ，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的，而第二步显然更加不可缺少。
问题8：在实际证明过程中，我们是否已经确认n=k时命题成立？
注意：这里是学生理解数学归纳法的难点之一，需要教师提醒学生注意，并做出明确的、合理的解释。因为在证明结论之前，还不知道n=k时结论是否成立，因此只能是假设成立.同时为了使这个假设有一定的基础，因此这里要求k≥ n0，k∈N+。
由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）证明当n取第一个值 （n0，n∈N+）时命题成立；
（2）假设n=k（k≥n0，k∈N+）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
由上两个步骤，可以断定命题p（n）对从n0开始的所有正整数n都成立。
这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n（n取无限多个值）有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具。
3.巩固应用，形成技能。
例1.用数学归纳法证明
12+22+……+n2=n（n+1）（2n+1）/6 （n∈N+）
注意：考虑到本节课是数学归纳法的第一课时，因此在例题的选择与安排上不人为拔高，避免学生分散精力，影响重点、难点的掌握和落实。在解题的技能与方法方面，重在提醒学生进行解题反思，加强解题感悟，如搞清楚利用数学归纳法证明的前提是命题不仅是与正整数有关，而且命题k=n与k=n+1存在内在的递推关系，关键是如何合理地利用归纳假设，搞清楚，注意点是书写和表述规范。
4.回顾总结，促进迁移。
（1）本节课学到了什么？
（2）这些知识是怎样得出的？
（3）你有什么体会与感悟？
5.检测成效，反馈矫正。
（1）用数学归纳法证明：
①当n为正整数时，1+3+5+…+（2n-1）=n2。
②1+2+22+…+2n-1=2n-1。
（2）已知数列 ， ， ，…， 計算S1，S2，S3，由此推测计算Sn的公式，并给出证明。