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[摘要]该文提出了学生成绩分析的一种新方法——生命表法，并结合近5年实践教学进行应用。结果表明：生命表法，计算简单，可应用范围广，能够快速直观地提示了学生成绩的变化趋势，是对试卷成绩进行分析一种有效方法。
[关键词]成绩分析 生命表 存活曲线
[中图分类号]G642.0
引言
在教学管理中科学合理地对学生成绩进行综合评价是一项重要工作。成绩的评价可以检验学生学习效果，反映试卷的总体难易程度，增强教师对学生知识掌握情况的了解，从而为教师进行教学反思，开展有针对性的教学实践、提高试卷命题质量等教学活动提供理论依据[1,2]。如何对学生成绩进行合理、有效的分析，前人尝试了各种方法。目前主要应用较多的有两类，一类是尝试用统计学等数学方法对学生成绩进行分析[3,4,5,6,7,8,9]，而此类方法一般有着复杂的计算过程，应用起来受到一定的限制。另一类方法采用应用现成的统计学软件[10]来克服前者的缺陷，然而学习软件特别是一些英文的软件也是一个较为复杂的过程。本研究尝试结合成熟的生命表法来为学生成绩的分析提供一种快捷、简单且结果直观的方法。生命表最初应用于死亡研究，但其分析技术目前已经在劳动就业、人口迁移、生育、初婚、离婚、家庭等多方面研究中应用，尤其是在人寿保险中得到较多应用，但在教学管理特别是学生成绩分析中应用尚未见报。
学生成绩的分布特征与种群数量特征有着极相似之处：1）一个种群由一个个体数组成，学生成绩样本也由一定数量的学生成绩组成；2）每一个学生的成绩与种群每一个体的年龄对应，学生的成绩即为个体的死亡时的年龄；3）学生得分的过程类似于个体生长过程，并符合特定时间生命表的3个假设[11]。因此，可以尝试用种群生命表的研究方法来对学生成绩进行分析。
一、生命表
生命表和存活曲线原本是研究种群数量动态变化和进行种群统计的重要工具，存活曲线是常见而又直观的方法。通过对种群生命表的编制可得死亡率、损失率等重要参数，从而可为种群数量统计提供更多的信息[12,13,14]。
（一）静态生命表
静态生命表一般包括x：单位时间年龄等级的中值；ax在x龄级内现有个体数；lx：在x龄级开始时标准化存活个体数(一般转化为1 000)；dx：从x到x+1龄级间隔期内标准化死亡数；qx：从x到x+1龄级间隔期间死亡率；Lx：从x到x+1龄级间隔期间还存活的个体数；Tx：从x龄级到超过x龄级的个体总数；ex：进入x龄级个体的生命期望寿命；Kx：消失率(损失度)[12,15,16,17,18,19]。各项式相互关联，可通过实测值ax或dx求得，其关系如下：
lx=ax/ao×1000；dx=lx-lx+1；qx=dx/lx×100%；Lx=(lx+lx+1)/2；ex=Tx/lx ； ；Kx=lnlx-lnlx+1[12,14].
生存率函数S(t)、积累死亡率函数F(t)、死亡密度函数f(t)和危险率函数λ(t)这4个生存分析函数常用来对静态生命表中的各年龄段进行结构分析[12,13,14,15,16,20,21,22,23]，可用以下公式计算：
（ 为存活频率）
（ 为区间长度， 为死亡频率）
（二）存活曲线
存活曲线是描述同期出生的生物种群个体存活过程与其年龄关系的曲线。Deevey(1947)把存活曲线分成3型：
I型（凸型）：绝大多数个体都能活到生理年龄，早期死亡率极低,但一旦达到一定生理年龄时，短期内几乎全部死亡。II型 （直线型）：种群各年龄的死亡基本相同。III型（凹型）：生命早期有极高的死亡率，但是一旦活到某一年龄，死亡率就变得很低而且稳定（图1）。
(三)谱分析方法
本文采用伍业钢[24]、洪伟[12]、吴承祯[14]、毕晓丽[13]等介绍Fourier级数展开的方法[24,25]进行成绩的动态谱分析。将各龄级个体分布视为一个时间系列t，以Xt表示t年龄序列时个数，因各龄级数据相差太大，计算时将数据进行标准化处理，即用Xt’=ln(ax+1)来代替Xt；n为系列总长度；p=n／2（已知）为谐波的总个数；T为正弦波的基本周期即时间系列t的最长周期，即资料的总长度，这里T=n是已知的。Fourier分解中的各个参数可利用下式来估计[12,14]：
二、成绩生命表编制
（一）成绩龄级划分
为了更好的使学生成绩与种群年龄结构匹配，现做如下几点规定：
1）百分制学生成绩按照每10分划分为一个“龄级”，即1-10分为第I龄级，11-20分为第II“龄级”，以此类推，直到90-100分为第X个“龄级”。
2）学生成绩所在的龄级即为成绩“个体”“死亡”时所在的“龄级”，则其存活“龄级”的最高一级为该成绩区间的前一级。例如：学生成绩为85分，落入81-90分区间的第IX级，则可认为该生的成绩生命到达第IX级死亡，而存活的最高一级为IIX级。
3）一个学生成绩存活过“龄级”会使该级个体数增加一个。此时，记录每一龄级到达个体数，即记录该级的成绩“死亡”的人数或人次。例如：学生成绩为85分，则该成绩种群在从第I级到第IIX级个体数均增加一个，由此统计出ax。
4）在此基础上，其它参数与静态生命表一致。
（二）成绩存活曲线
假定试卷的难易程度为50分为容易分，30分为有一定难度分，20分为较难或极难分，即难易类型为5︰3︰2型，对应典型存活曲线的类型，可以认为，I型存活曲线中大多数学生均能顺利通过低分区，到达中分区，甚至通过高分区或只在高分区出现高“死亡率”，说明大多数学生对知识点的掌握较好，并能较为灵活地应用。II型存活曲线的学生成绩在不同难易程度的题型出现了明显的等比例递减均势，各分数段人数较为平均；III型曲线的学生成绩在低分数段出现高“死亡率”，即学生对有一定难度和较困难知识的运用和掌握不好，大多数人很难取得高分。
对同一份试卷，不同班级理想的学生成绩分布表现出来的存活曲线应该全部介于I型和II型之间，越接近I型说明学生的学习效果越好；若学生成绩为明显的III型，说明学习效果较差，教师应更好地处理知识难点和疑点的教学，在今后的教学中努力提高学生答题的正确率；若是介于II型和III型之间，说明学生成绩处理危险区间，应予以警惕（图1）。若同一份试卷所有的班级学生成绩表现出来均为III型，则说明试卷的难度系数过高。同样的，不同的试卷，若同一班级成绩存活曲线介于I型和II型间较为理想。
三、应用
（一）本学科教学5门课程成绩生命表
结合本学科教学中近5年生态学专业5门课程《生物学概论》、《居住环境评价》、《生态学研究方法》、《植被生态学》学生成绩，编制学生成绩生命表。首先，统计各成绩区间学生人数/人次；其次，统计ax，并在此基础上计算出lx，lnlx，dx，qx，Lx，Tx，ex，Kx，编制出生态学近5年学生成绩总生命表（表1）。
学生成绩在50分以前保持着极低的死亡率，只有5%；到了60分也只到16%，但到了70分则有60%，在70-80分间则高达91%。从期望寿命ex来年，从I级到X级逐级递减，到第VII级时时已低于1，而到了第IX级只有0.5。而消失率Kx的趋势与期望寿命ex相反，呈逐级递增，且VII级到IIX级增幅最大，达到了1.49，说明试卷的总体难度适中，学生成绩较为理想。
表1：学生成绩静态生态表
Table 1 Static life table of students’score
从四个生存分析函数的来看，函数S单调递减，函数F单调递增，函数f先增后减，函数?到IX级为止单调递增。VI级和VII级是两个重要的分水岭，各函数值变化幅度均很大，函数S由0.78减少到0.31，减少0.47；函数F增加0.47；函数f出现拐点，函数?增幅亦达到了0.18，但最大增幅出现在VII到IIX级，达到了0.20（表2和图2）。由此可见，学生成绩超过60分后得分就变得困难起来，这一点除了对知识点的掌握因素外，极有可能是及格线60分的心理影响，使学生不愿意进一步努力而获取高分，侧面反映出应试教育的痕迹。
表2:生存分析函数估算值
Table2:Estimated values of survival analysis function
图2：生存率(a)、积累死亡率(b)和危险率(c)曲线
Fig 2 Curves of survival rate(a), accumulated morality rate(b) and risk rate(c)
（二）本学科教学5门课程成绩存活曲线
本研究以存活量的对数值lnlx为纵座标，以年龄级为横坐标作图（图2）。学生成绩的存活曲线表明，学生成绩前期的存活数呈缓慢下降趋势，前期的死亡率极低，超过70%能进入VII级，过了VII级后存活率快速下降，呈现出明显的Deevey-I型，学习的效果较接近理想状况。用该模型对学生成绩曲线进行检验，得到：
由于r值为0.9883，极显著，说明拟合效果较好，即学生成绩存活曲线更趋于Deevey-I型。学生成绩生命表和存活曲线从整体上反映了学生成绩数量动态变化趋势。
图3:学生成绩存活曲线
Fig.3 Survival curve of students’scores
以死亡率(qx)和损失度(Kx)为纵坐标。以龄级为横坐标，作“死亡率”和“损失度”曲线(图3)。由图3可以看出，“死亡率”和“损失度”曲线变化趋势一致。第I到第IX龄级“死亡率”逐渐上升，从I级到V级变化不大，而在第VII和IIX级上升速度较快，这一点与生存函数表现一致。分析其原因，50分的容易分得分率高，随着难度的增加，学生得分的变得更加困难，大多数学生在正确率到达60%到70%后无法继续得分，少数分数存活到更高等级。因此由此可见，在教学过程中，针对中等成绩学生的强化教育，对总体成绩的提高潜力最大。
图4：学生成绩死亡率（qx）和损失度（Kx）曲线
Fig 4 Mortality rate and killing power curve of students’scores
（三）本学科教学5门课程成绩波动
从学生成绩波动振幅来看，本学科5门课程的成绩振幅呈递减趋势最大值为2.025，最小值为0.763，没有表现出明显的波动周期，即学生成绩的固有周期不明显（表3）。
表3：学生成绩周期性波动
Table 3 Periodic fluctuation of students’scores
生命表法的核心是特定时间生命的编制、存活曲线的绘制以及波动周期的计算，三者之间存在紧密的联系，其中，生命表的编制是基础，存活曲线的绘制和波动周期的计算是重点，能够更加直观的反映学生成绩内部的规律。
用生命表法对学生成绩进行分析的优点如下：1）计算方法简单，只到统计各“年龄”段的人次进而得到各“年龄”段的个体数就可以完成以后的全部计算；2）结果形象一目了然，特别是存活曲线，直接反映了各“年龄”段学生成绩的分布，并展现出各区间成绩间的变化趋势；3）对成绩分析的应用广泛，无论是百分制，还是其它分制，均可以套用。
当然，不可否认的是生命表法仅仅从成绩入手，无法针对试卷上具体的得分情况进行分析，此外，在对“年龄”即分数段的划分上没有进行更深入的比较，这些将在今后的教学过程与研究中加以深入探讨。
福建省教改项目（011859，011850）；
福建农林大学教改项目（01ts10003，01jg04018）。
[参考文献]
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[4]谭庆.基于k-means聚类算法的试卷成绩分析研究[J].河南大学学报(自然科学版).2009,39(4):412-415.
[5]丁梅芳.PCA法在学生成绩分析中的应用[J].理工高教研究.2003，22(5):71-74.
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[24]伍业钢,韩进轩.阔叶红松林红松种群动态的谱分析[J].生态学杂志，1988.7(1)：19-23．
[25]闫淑君,洪伟,吴承祯,等.丝栗栲种群生命过程及谱分析[J].应用与环境生物学报,2002,8(4)：351-355.
（作者单位：福建农林大学林学院 福州）
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[关键词]成绩分析 生命表 存活曲线
[中图分类号]G642.0
引言
在教学管理中科学合理地对学生成绩进行综合评价是一项重要工作。成绩的评价可以检验学生学习效果，反映试卷的总体难易程度，增强教师对学生知识掌握情况的了解，从而为教师进行教学反思，开展有针对性的教学实践、提高试卷命题质量等教学活动提供理论依据[1,2]。如何对学生成绩进行合理、有效的分析，前人尝试了各种方法。目前主要应用较多的有两类，一类是尝试用统计学等数学方法对学生成绩进行分析[3,4,5,6,7,8,9]，而此类方法一般有着复杂的计算过程，应用起来受到一定的限制。另一类方法采用应用现成的统计学软件[10]来克服前者的缺陷，然而学习软件特别是一些英文的软件也是一个较为复杂的过程。本研究尝试结合成熟的生命表法来为学生成绩的分析提供一种快捷、简单且结果直观的方法。生命表最初应用于死亡研究，但其分析技术目前已经在劳动就业、人口迁移、生育、初婚、离婚、家庭等多方面研究中应用，尤其是在人寿保险中得到较多应用，但在教学管理特别是学生成绩分析中应用尚未见报。
学生成绩的分布特征与种群数量特征有着极相似之处：1）一个种群由一个个体数组成，学生成绩样本也由一定数量的学生成绩组成；2）每一个学生的成绩与种群每一个体的年龄对应，学生的成绩即为个体的死亡时的年龄；3）学生得分的过程类似于个体生长过程，并符合特定时间生命表的3个假设[11]。因此，可以尝试用种群生命表的研究方法来对学生成绩进行分析。
一、生命表
生命表和存活曲线原本是研究种群数量动态变化和进行种群统计的重要工具，存活曲线是常见而又直观的方法。通过对种群生命表的编制可得死亡率、损失率等重要参数，从而可为种群数量统计提供更多的信息[12,13,14]。
（一）静态生命表
静态生命表一般包括x：单位时间年龄等级的中值；ax在x龄级内现有个体数；lx：在x龄级开始时标准化存活个体数(一般转化为1 000)；dx：从x到x+1龄级间隔期内标准化死亡数；qx：从x到x+1龄级间隔期间死亡率；Lx：从x到x+1龄级间隔期间还存活的个体数；Tx：从x龄级到超过x龄级的个体总数；ex：进入x龄级个体的生命期望寿命；Kx：消失率(损失度)[12,15,16,17,18,19]。各项式相互关联，可通过实测值ax或dx求得，其关系如下：
lx=ax/ao×1000；dx=lx-lx+1；qx=dx/lx×100%；Lx=(lx+lx+1)/2；ex=Tx/lx ； ；Kx=lnlx-lnlx+1[12,14].
生存率函数S(t)、积累死亡率函数F(t)、死亡密度函数f(t)和危险率函数λ(t)这4个生存分析函数常用来对静态生命表中的各年龄段进行结构分析[12,13,14,15,16,20,21,22,23]，可用以下公式计算：
（ 为存活频率）
（ 为区间长度， 为死亡频率）
（二）存活曲线
存活曲线是描述同期出生的生物种群个体存活过程与其年龄关系的曲线。Deevey(1947)把存活曲线分成3型：
I型（凸型）：绝大多数个体都能活到生理年龄，早期死亡率极低,但一旦达到一定生理年龄时，短期内几乎全部死亡。II型 （直线型）：种群各年龄的死亡基本相同。III型（凹型）：生命早期有极高的死亡率，但是一旦活到某一年龄，死亡率就变得很低而且稳定（图1）。
(三)谱分析方法
本文采用伍业钢[24]、洪伟[12]、吴承祯[14]、毕晓丽[13]等介绍Fourier级数展开的方法[24,25]进行成绩的动态谱分析。将各龄级个体分布视为一个时间系列t，以Xt表示t年龄序列时个数，因各龄级数据相差太大，计算时将数据进行标准化处理，即用Xt’=ln(ax+1)来代替Xt；n为系列总长度；p=n／2（已知）为谐波的总个数；T为正弦波的基本周期即时间系列t的最长周期，即资料的总长度，这里T=n是已知的。Fourier分解中的各个参数可利用下式来估计[12,14]：
二、成绩生命表编制
（一）成绩龄级划分
为了更好的使学生成绩与种群年龄结构匹配，现做如下几点规定：
1）百分制学生成绩按照每10分划分为一个“龄级”，即1-10分为第I龄级，11-20分为第II“龄级”，以此类推，直到90-100分为第X个“龄级”。
2）学生成绩所在的龄级即为成绩“个体”“死亡”时所在的“龄级”，则其存活“龄级”的最高一级为该成绩区间的前一级。例如：学生成绩为85分，落入81-90分区间的第IX级，则可认为该生的成绩生命到达第IX级死亡，而存活的最高一级为IIX级。
3）一个学生成绩存活过“龄级”会使该级个体数增加一个。此时，记录每一龄级到达个体数，即记录该级的成绩“死亡”的人数或人次。例如：学生成绩为85分，则该成绩种群在从第I级到第IIX级个体数均增加一个，由此统计出ax。
4）在此基础上，其它参数与静态生命表一致。
（二）成绩存活曲线
假定试卷的难易程度为50分为容易分，30分为有一定难度分，20分为较难或极难分，即难易类型为5︰3︰2型，对应典型存活曲线的类型，可以认为，I型存活曲线中大多数学生均能顺利通过低分区，到达中分区，甚至通过高分区或只在高分区出现高“死亡率”，说明大多数学生对知识点的掌握较好，并能较为灵活地应用。II型存活曲线的学生成绩在不同难易程度的题型出现了明显的等比例递减均势，各分数段人数较为平均；III型曲线的学生成绩在低分数段出现高“死亡率”，即学生对有一定难度和较困难知识的运用和掌握不好，大多数人很难取得高分。
对同一份试卷，不同班级理想的学生成绩分布表现出来的存活曲线应该全部介于I型和II型之间，越接近I型说明学生的学习效果越好；若学生成绩为明显的III型，说明学习效果较差，教师应更好地处理知识难点和疑点的教学，在今后的教学中努力提高学生答题的正确率；若是介于II型和III型之间，说明学生成绩处理危险区间，应予以警惕（图1）。若同一份试卷所有的班级学生成绩表现出来均为III型，则说明试卷的难度系数过高。同样的，不同的试卷，若同一班级成绩存活曲线介于I型和II型间较为理想。
三、应用
（一）本学科教学5门课程成绩生命表
结合本学科教学中近5年生态学专业5门课程《生物学概论》、《居住环境评价》、《生态学研究方法》、《植被生态学》学生成绩，编制学生成绩生命表。首先，统计各成绩区间学生人数/人次；其次，统计ax，并在此基础上计算出lx，lnlx，dx，qx，Lx，Tx，ex，Kx，编制出生态学近5年学生成绩总生命表（表1）。
学生成绩在50分以前保持着极低的死亡率，只有5%；到了60分也只到16%，但到了70分则有60%，在70-80分间则高达91%。从期望寿命ex来年，从I级到X级逐级递减，到第VII级时时已低于1，而到了第IX级只有0.5。而消失率Kx的趋势与期望寿命ex相反，呈逐级递增，且VII级到IIX级增幅最大，达到了1.49，说明试卷的总体难度适中，学生成绩较为理想。
表1：学生成绩静态生态表
Table 1 Static life table of students’score
从四个生存分析函数的来看，函数S单调递减，函数F单调递增，函数f先增后减，函数?到IX级为止单调递增。VI级和VII级是两个重要的分水岭，各函数值变化幅度均很大，函数S由0.78减少到0.31，减少0.47；函数F增加0.47；函数f出现拐点，函数?增幅亦达到了0.18，但最大增幅出现在VII到IIX级，达到了0.20（表2和图2）。由此可见，学生成绩超过60分后得分就变得困难起来，这一点除了对知识点的掌握因素外，极有可能是及格线60分的心理影响，使学生不愿意进一步努力而获取高分，侧面反映出应试教育的痕迹。
表2:生存分析函数估算值
Table2:Estimated values of survival analysis function
图2：生存率(a)、积累死亡率(b)和危险率(c)曲线
Fig 2 Curves of survival rate(a), accumulated morality rate(b) and risk rate(c)
（二）本学科教学5门课程成绩存活曲线
本研究以存活量的对数值lnlx为纵座标，以年龄级为横坐标作图（图2）。学生成绩的存活曲线表明，学生成绩前期的存活数呈缓慢下降趋势，前期的死亡率极低，超过70%能进入VII级，过了VII级后存活率快速下降，呈现出明显的Deevey-I型，学习的效果较接近理想状况。用该模型对学生成绩曲线进行检验，得到：
由于r值为0.9883，极显著，说明拟合效果较好，即学生成绩存活曲线更趋于Deevey-I型。学生成绩生命表和存活曲线从整体上反映了学生成绩数量动态变化趋势。
图3:学生成绩存活曲线
Fig.3 Survival curve of students’scores
以死亡率(qx)和损失度(Kx)为纵坐标。以龄级为横坐标，作“死亡率”和“损失度”曲线(图3)。由图3可以看出，“死亡率”和“损失度”曲线变化趋势一致。第I到第IX龄级“死亡率”逐渐上升，从I级到V级变化不大，而在第VII和IIX级上升速度较快，这一点与生存函数表现一致。分析其原因，50分的容易分得分率高，随着难度的增加，学生得分的变得更加困难，大多数学生在正确率到达60%到70%后无法继续得分，少数分数存活到更高等级。因此由此可见，在教学过程中，针对中等成绩学生的强化教育，对总体成绩的提高潜力最大。
图4：学生成绩死亡率（qx）和损失度（Kx）曲线
Fig 4 Mortality rate and killing power curve of students’scores
（三）本学科教学5门课程成绩波动
从学生成绩波动振幅来看，本学科5门课程的成绩振幅呈递减趋势最大值为2.025，最小值为0.763，没有表现出明显的波动周期，即学生成绩的固有周期不明显（表3）。
表3：学生成绩周期性波动
Table 3 Periodic fluctuation of students’scores
生命表法的核心是特定时间生命的编制、存活曲线的绘制以及波动周期的计算，三者之间存在紧密的联系，其中，生命表的编制是基础，存活曲线的绘制和波动周期的计算是重点，能够更加直观的反映学生成绩内部的规律。
用生命表法对学生成绩进行分析的优点如下：1）计算方法简单，只到统计各“年龄”段的人次进而得到各“年龄”段的个体数就可以完成以后的全部计算；2）结果形象一目了然，特别是存活曲线，直接反映了各“年龄”段学生成绩的分布，并展现出各区间成绩间的变化趋势；3）对成绩分析的应用广泛，无论是百分制，还是其它分制，均可以套用。
当然，不可否认的是生命表法仅仅从成绩入手，无法针对试卷上具体的得分情况进行分析，此外，在对“年龄”即分数段的划分上没有进行更深入的比较，这些将在今后的教学过程与研究中加以深入探讨。
福建省教改项目（011859，011850）；
福建农林大学教改项目（01ts10003，01jg04018）。
[参考文献]
[1]周海林.高校成绩分析存在问题及应对策略研究[J].黑龙江教育学院学报.2010,29(10):21-23.
[2]Condon VM, Drew DE. Improving examination performance using Exam Analysis. J Nurs Educ. 1995,34(6):254-61.
[3]王亮红,宋代清,徐娜.聚类分析在学生成绩分析中的应用[J].东北电力大学学报.2009,29(4):35-38.
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（作者单位：福建农林大学林学院 福州）
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